Занятие 5 Ряды Тейлора и Маклорена 1 Разложение функций в степенные ряды - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Занятие №22. Ряды Тейлора и Маклорена. Контрольные вопросы 1 266.31kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 2 курса гф 1 26.15kb.
Перечень вопросов к экзамену (1 семестр) 1 63.59kb.
«Числовые и функциональные ряды» 1 14.32kb.
1. Введение: зачем все это нужно? Случайные процессы и временные... 1 65.82kb.
9–11 класс Дополните ряды географических названий 1 269.54kb.
Выпускной вечер Снимается кино Подготовка 3 388.71kb.
Размер: 44-46. Вам потребуется: пряжи "Yarn Art jeans" (55% хлопка... 1 20.62kb.
Переплетение: мотив по схеме 1 9.75kb.
Занятие 1 Ряды с неотрицательными членами 1 Определение числового... 1 364.19kb.
Исследовать числовые ряды на сходимость 1 9.74kb.
Была использована идея Дж. Томсона о слоистом расположении электронов... 1 33.33kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Занятие 5 Ряды Тейлора и Маклорена 1 Разложение функций в степенные ряды - страница №1/1

Практическое занятие 5 Ряды Тейлора и Маклорена
5.1 Разложение функций в степенные ряды

5.2 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

5.3 Приложения степенных рядов
5.1 Разложение функций в степенные ряды

Пусть функция имеет в окрестности точки производные любого порядка. Ряд





называется рядом Тейлора функции в точке .

Если , то ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена.

Радиус сходимости степенного ряда может быть как равным нулю, так и отличным от него, причем в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с . Важно определить, когда в формуле

~

допустим знак равенства, т. е. когда ряд Тейлора сходится к функции , для которой он составлен. Если на , то говорят, что функция разложима в ряд Тейлора в окрестности точки .

Частичные суммы ряда Тейлора



представляют собой многочлены Тейлора для в точке .



Теорема 1 (Тейлора) Пусть

1) функция имеет в окрестности точки производные любого порядка;

2) выполняется условие

, .

Тогда функция разлагается на множестве единственным образом:

.

Следствие 1 Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки функция разлагалась в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, чтобы остаток в формуле Тейлора стремился к нулю:

.

Следствие 2 Если для любых все производные функции ограничены одной и той же константой , то ряд Тейлора сходится к функции в интервале .
5.2 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

При формула Тейлора имеет вид:



и называется формулой Маклорена.

Основные разложения в ряд Маклорена:

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Ряд


называется биномиальным, так как при все коэффициенты данного ряда, начиная с номера , обращаются в нуль, и степенной ряд преобразуется в бином Ньютона



.
5.3 Приложения степенных рядов

Ряды Тейлора и Маклорена используются при вычислении приближенных значений функций, интегралов, решении дифференциальных уравнений.


Приближенное вычисление значений функций. Для нахождения приближенного значения функции в точке с заданной точностью поступают следующим образом. Функцию раскладывают в ряд по степеням в интервале сходимости, содержащим точку . Точка – это точка, в которой значения функции и ее производных вычисляются точно. Переменной придается значение . В полученном числовом ряду оставляются только члены, гарантирующие заданную точность вычислений. Минимальное число таких членов ряда определяется из соответствующей оценки либо остатка формулы Тейлора, либо остатка ряда Тейлора, так как в случае сходимости степенного ряда функции они равны между собой.

Приближенное вычисление интегралов. Многие определенные интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях, могут быть вычислены с помощью рядов.

Интегрирование дифференциальных уравнений. Степенные ряды могут применяться также для решения дифференциальных уравнений, например, в случае, если их решения не удается найти в элементарных функциях.
Вопросы для самоконтроля
1 Какой степенной ряд называется рядом Тейлора для функции ? Как из него получить ряд Маклорена?

2 Сформулируйте теорему Тейлора о разложении функции в ряд Тейлора.

3 Приведите разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена.
Решение типовых примеров
1 Разложить функцию в степенной ряд.

Решение. Найдем значение функции и ее производных в точке :


,

,

,

,

,

,

………………………………………………….,

,

.

Так как , то при фиксированном имеет место неравенство



при любом . Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Тейлора



.

2 Разложить функцию в степенной ряд.

Решение. Функцию можно записать в виде

.

Заменим его разложением в ряд Маклорена





.

Подставляя, получим



.

3 Разложить функцию в степенной ряд.

Решение. В разложении

заменим на . Получим



, .

4 Разложить функцию в степенной ряд по степеням .

Решение. В разложении

заменим на . Получим



.

5 Разложить функцию в степенной ряд по степеням .

Решение. Воспользуемся равенством

.

Правую часть можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей прогрессии с первым членом и и знаменателем .

Отсюда получаем

,

Тогда


.

Поскольку ряд сходится при , то разложение имеет место для всех , удовлетворяющих неравенству .



6 Разложить по целым неотрицательным степеням переменной до члена c функцию

.

Решение. Используем разложение

для разложения функций

и .

Для первой функции имеем







,

так как .

Для второй функции аналогично получим



=

.

Тогда




(воспользовались тем, что ).



7 Вычислить с точностью число .

Решение. Так как

, , ,

то из оценки



следует, что , т. е. . Полагая , , получим



.

8 Найти .

Решение. Заменим и их разложением в ряд Маклорена

.

9 Вычислить с точностью .

Решение. Имеем :

Тогда


.

Отсюда




.

Окончательно получаем



с точностью .



10 Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию .



Решение. Уравнение допускает разделение переменных:

.

Однако интеграл от левой части уравнения не выражается в элементарных функциях. В окрестности уравнение удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. Будем искать его в виде ряда Маклорена



.

Так как и , то . Дифференцируя по обе части равенства , находим



.

Откуда


.

Дифференцируя обе части найденного равенства для , находим . Продолжая этот процесс, можно получить любое число членов разложения в ряд Маклорена искомого решения :



.
Задания для аудиторной работы
1 Разложить в ряд Маклорена функции:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



2 Вычислить с точностью 0,0001 значение функций:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .




3 Найти:

а) ; б) .



4 С точность до 0,0001 вычислить определенные интегралы:

а) ; в) ;

б) ; г) .

5 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным условиям:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , , .
Задания для домашней работы
1 Разложить в ряд Маклорена функции:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



2 Вычислить с точностью 0,0001 значение функций:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) ;



3 Найти:

а) ; б) .



4 С точность до 0,0001 вычислить определенные интегралы:

а) ; в) ;

б) ; г) .

5 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным условиям:

а) , ;

б) , ;

в) , , ;



г) , , .








Не спорь с эхом: последнее слово все равно будет за ним. Рамон Гомес де ла Серна
ещё >>