Занятие №22. Ряды Тейлора и Маклорена. Контрольные вопросы - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Занятие 5 Ряды Тейлора и Маклорена 1 Разложение функций в степенные... 1 85.56kb.
Перечень вопросов к экзамену (1 семестр) 1 63.59kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 2 курса гф 1 26.15kb.
Представлено: США 1 60.5kb.
Контрольные вопросы к методико-практическим занятиям для студентов... 1 119.73kb.
Контрольные вопросы по дисциплине «Микроэкономика» 1 36.95kb.
«Числовые и функциональные ряды» 1 14.32kb.
Контрольные вопросы по предмету «правоохранительные органы» 7 1173.17kb.
1 Микробный ценоз навоза 30 Контрольные вопросы 35 1 33.85kb.
Контрольные вопросы по дисциплине «Мировая экономика» 1 23.17kb.
Контрольные вопросы по каждой теме, три блока примерных тестовых... 10 2491.58kb.
Урок в 9 классе по теме: «Радианная мера угла. Применение основных... 1 31.91kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Занятие №22. Ряды Тейлора и Маклорена. Контрольные вопросы - страница №1/1





Практическое занятие №22.

Ряды Тейлора и Маклорена.



Контрольные вопросы.

1. Дайте определения рядов Тейлора и Маклорена.

2. Укажите необходимые и достаточные условия разложения функции в ряды Тейлора и Маклорена.

3. По каким формулам вычисляются коэффициенты указанных рядов.

4. Укажите план (порядок действий) разложения данной функции f(x) в ряд Тейлора (Маклорена).

Примеры с решениями:

Будем рассматривать два основных приема разложения функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена.

1. Непосредственное разложение, т.е. по указанному выше плану.

2. Применение простейших разложений и действий над степенными рядами.

1) Разложить в ряд Маклорена функцию

1. Находим производные , , , ...

2. Вычисляем , , , ...

... , , ...

3. Составляем коэффициенты ряда

4. Составляем (формально) ряд Маклорена



5. Находим радиус сходимости



6. .

Заметим, что указанное разложение можно получить, используя разложение

и представление

Заменяя t на xln3, получаем

2) Разложить в ряд по степеням х функцию

f(x) =

Так как , то искомое разложение получим путем почленного суммирования рядов, представляющих функции



и :







3) разложить в ряд по степеням x функцию



Разложим f(x) на простейшие дроби:



Отсюда A=1, B=2. Следовательно



Так как:





то

.

4) Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) = ln(x+2) в окресности точки a=1.

1. Находим производные



2. Вычисляем:



; ; ; ; ; …;
;…

3. Составляем коэффициенты ряда:



4. Составляем ряд Тейлора:



5. Находим радиус сходимости R и интервал сходимости


6. Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости:




- расходится (гармонический).


- сходится по признаку Лейбница.

7.



Примеры для практических занятий:

Разложить в степенные ряды данные функции в окрестностях указанных точек и найти их области сходимости:

5) = , а = -2; 6) = , а = 0;

7) = , a = 2; 8) = , a = 0;



9) =, a = 0; 9) = , a =1.

Ответы:

;





Примеры для самостоятельной работы:

Задание смотрите выше.







Ответы:







Практическое занятие №23.

Ряды Фурье.



Контрольные вопросы.

        1. Какая функция называется периодической и каковы ее свойства?

        2. Какой ряд называется тригонометрическим? В чем состоит задача разложения функции в тригонометрический ряд?

        3. Назовите основную тригонометрическую систему функций и укажите ее свойства.

        4. Каковы условия разложения функции в ряд Фурье?

        5. Сформулируйте теорему Дирихле.

Примеры с решениями:

  1. Разложить в ряд Фурье функцию

периода

Решение: эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, ее график представлен на рисунке a); b).


1
y=f(x)


x
a)


1

x
b) S(x)

Вычисляем коэффициенты Фурье:



;

;



Ряд Фурье:



Сумма ряда S(x) отличается от f(x) в точках разрыва x=±n, в которых сумма ряда равна (рис. b)

2) Разложить в ряд Фурье функцию

при .

Решение: l=3

Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Вычисляем коэффициенты Фурье:

;

=

=







Ряд Фурье:



= -3 f(x) 3 x

S(x) 3

3/2

Примеры для практических занятий:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках функции:

3) 4) 5)

6) 7)



Ответы:

3)

4)

5)

6)

7)



Примеры для самостоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках функции:


8) ; 9) ;

10) ; 11)

12) .

Ответы:

8) ;

9) ;
10) ;

11) ;

12)



Практическое занятие №24.

Ряды Фурье (продолжение).

Контрольные вопросы.

1. Ряды Фурье для четной и нечетной функции.

2. Разложение в ряд Фурье, заданный в промежутке

Примеры с решениями:

1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x² при



Решение: функция четная, удовлетворяет условия Дирихле,







Ряд Фурье:



при

2. Разложить в ряд по синусам функцию f(x)=x на



Решение: график f(х) и ее нечетное продолжение на симметричную часть промежутка [-π,0) представлены на рисунке, из которого видно, что f(х) на [-π,π] удовлетворяет условиям Дирихле и нечетная. Поэтому коэффициенты Фурье вычисляем по формулам а0=0 , аn=0 .

f(x)


- x

-



Ряд Фурье:





Примеры для практических занятий:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках:

3)

4)

5)

6)Разложить в ряд Фурье по косинусам

7) Разложить в ряд Фурье по синусам

Ответы:

3)4)

5) 6)

7)



Примеры для самостоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках:

8) 9)

10)Разложить в ряд Фурье по синусам

11) Разложить в ряд Фурье по косинусам
Ответы:

8) 9)

10) 11)

Практическое занятие №25.

Функции нескольких переменных.

Контрольные вопросы.


        1. Дайте определение функции нескольких переменных и области ее определения.

        2. Дайте геометрическое толкование функции двух переменных и ее области определения.

        3. Дайте определение частных производных функции двух переменных и их геометрическое толкование.

        4. Определите полный дифференциал функции двух переменных и укажите его связь с полным приращением функции.


Примеры с решениями:

Найти область определения функций:

1)

(вся плоскость xoy, за исключением начала координат);

2)

(внутренность круга радиуса R=1 с центром в начале координат); область ограниченная, незамкнутая;

3)

(множество точек, лежащих выше параболы ); область не ограниченная, незамкнутая;


Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных:

4)



5)




Найти полные дифференциалы функций:

6)




7)


Примеры для практических занятий:

Найти области определения функций:

8) 9) 10)

11) 12)

Найти частные производные данных функций:

13) 14) 15)

16) 17)

Найти полные дифференциалы функций:

18) 19) 20)

Ответы:

8) квадрат - область ограниченная, замкнутая;

9) - вся плоскость, кроме точек, лежащих на окружности

- неограниченная, незамкнутая область;

10) - полуплоскость, расположенная над прямой

- неограниченная, незамкнутая область;

11) две полосы и

12) .

При x=0 функция не определена;

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Примеры для самостоятельного решения:

Найти области определения функций:

21) 22) 23) 24)

25) 26) 27)

Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных:

28) 29) 30) 31)

Найти полные дифференциалы функций:

32) 33) 34) 35)



Ответы:

21) первый и третий квадраты, за исключением прямых x=0, y=0;

22)вся плоскость, кроме начала координат;

23)

24) полуплоскость, расположенная под прямой

25) 26) 27) 28)

29) 30)

31) 32)

33) 34)

35)


Практическое занятие №26.

Функции нескольких переменных (продолжение).

Контрольные вопросы.

              1. Дайте определение второй, третьей и n-ой частной производной.

              2. Дайте определение второго, третьего и n-го дифференциала.

              3. Укажите символические формулы для выражения, второго, третьего и n-го полных дифференциалов через частные производные функции

              4. Укажите правила дифференцирования сложной функции нескольких аргументов.


Примеры с решениями:

1) Найти частные производные и полный дифференциал второго порядка функции

Решение:

Находим


2) Найти полную и частную производные функции где

Решение:

3) Найти частные производные и функции где

Решение:


Примеры для практических занятий:

Найти функций:

4) где 5) где 6) где

Найти и функции:

7) где

Найти и функций:

8) где 9) где

Найти :

10)

Ответы:

4) 5) 6)

7)

8)

9) 10)
Примеры для самостоятельных занятий:

Найти функций:

11) где 12) где

13) где

Найти и функции:

14) где

Найти и функций:

15) где 16) где

Найти : 17)

Ответы:

11) 12) 13)

14) 15) 16)

17)



Практическое занятие №27.

Скалярное поле.

Контрольные вопросы.

1. Как и при каких условиях определяется производная от неявной функции одного аргумента, двух аргументов?

2. Приведите определение скалярного поля.

3. Какие поверхности называют поверхностями уровней? Запишите уравнение поверхностей уровня в декартовых координатах.

4. Приведите определение производной по направлению от скалярной функции и укажите формулу для ее вычисления в декартовых координатах.
Примеры с решениями:

1)Дано уравнение Найти

Решение:

Неявная функция задана уравнением вида где

В этом случае

при условии, что

2)Функция переменных и задана уравнением

Найти и

Решение:




при

при
3) Найти поверхности уровня скалярного поля
Решение:

Поверхности уровня находятся из уравнения Отсюда это семейство круговых конусов с общей вершиной в начале координат (в начале координат поле неопределенно).


4)Найти линии уровня плоского поля

Решение:


Линии уровня находятся из уравнения это семейство концентрических окружностей с центром в начале координат радиуса
5)Найти производную по направлению от точки к точке плоского скалярного поля в точке

Решение:


Находим

Направление определяется вектором его длина

Направляющие косинусы

Тогда


Примеры для практических занятий:

6) Найти если y как неявная функция x задается уравнением:

a) b) c)

7)Найти и если неявная функция z двух переменных задается уравнением:

a) b)

8)Найти поверхности уровня скалярных полей:

a) b) c)

9)Найти линии уровня плоских скалярных полей:

a) b) c)

10) Найти производную по направлению вектора скалярного поля в точке

11)Найти производную функции в точке по направлению к точке

12)Найти производную функции в точке окружности по дуге окружности (направление отсчета s по часовой стрелке).


Ответы:

6) a) b) c)


7) a) b)

8) a) семейство параллельных плоскостей;

b) семейство конусов с вершиной в начале координат и осью симметрии OZ;

c) семейство концентрических сфер с центром в начале координат и радиусом

9) a) семейство параллельных прямых; b) семейство парабол;

c) семейство парабол;

10) 11) 12)
Примеры для самостоятельных занятий:

13) Найти если y как неявная функция x задается уравнением:









    1. в точке M(-1,2).

14)Найти и если неявная функция z двух переменных задается уравнением:

a) b) в точке M(-1,2,0).

15)Найти поверхности (линии) уровня скалярных полей:

a) b) c) d)

Найти производные скалярных полей в указанных точках по заданным направлениям:

16) в точке M(3,1) по направлению к точке N(7,4);

17) в точке M(1,1,1) по направлению

18) в точке M(3,1,1) по направлению вектора если образует с осями координат острые углы причем .



Ответы:

13) a) b) c) d)2;

14) a) b)

15) a) семейство концентрических сфер с центром в начале координат;

b) семейство круговых конусов собщей вершиной в начале координат;

c) семейство параллельных прямых;

d) семейство эллипсов;

16) 17) 18)


Практическое занятие №28.

Градиент скалярного поля.

Контрольные вопросы.

1. Приведите различные определения градиента скалярного поля.

2. Укажите формулу вычисления градиента в декартовых координатах.

3. В каком направлении производная скалярного поля принимает наибольшее значение? Наименьшее значение?

4. В чем состоит основное свойство градиента?

Каков физический смысл градиента?


Примеры с решениями:

1) Найти градиент скалярного поля в точке M(2,-1,0).

Решение:

Находим частные производные данной функции в точке М:



Следовательно,

2)Найти наибольшую скорость возрастания поля в точке М(6,4).

Решение:


3)Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке М(3,4).

Решение:

Находим и :



Пусть угол между указанными векторами. Тогда



откуда



Примеры для практических занятий:

4)Найти градиент скалярного поля в точке (1,1,-1);

5)Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля в точке (-1, ½,-1);

6)Найти угол между градиентами поля в точках А(2,3,-1) и В(1,-1,2).



Ответы:

4) 5) 6)



Примеры для самостоятельных занятий:

7)Найти точки, в которых модуль градиента функции равен 2.

8)Найти точки, в которых градиент функции равен

9)Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля в точке А(2,2,1),

где

10)Найти производную скалярного поля в точке М(-2,2,1) по направлению где

11)Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке

Ответы:

7)точки окружности 8) 9) 10) 11)


Практическое занятие №29.

Экстремумы функции нескольких переменных.

Контрольные вопросы.

        1. Дайте определение экстремума функции нескольких переменных.

2. В чем состоит необходимое и достаточное условие локального экстремума?

3. Укажите схему отыскания локального экстремума.


Примеры с решениями:

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

Находим точки, подозрительные на экстремум





Получили четыре точки, подозрительные на экстремум:



Находим матрицу Гессе:



Находим матрицу Гессе в полученных точках, находим угловые миноры и делаем вывод о наличии экстремума:







экстремума нет;

экстремума нет.
Примеры для практических занятий:

Исследовать на экстремум функции:










Ответы:

1)



экстремума нет;



экстремума нет;

  1. экстремума нет;

экстремума нет;

3)


Примеры для самостоятельных занятий:

Исследовать на экстремум функции:

4) 5) 6)
Ответы:

4) экстремума нет;





экстремума нет;

5)

6) экстремума нет;


Практическое занятие №30.

Двойной интеграл.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение двумерной интегральной суммы.

2. Дайте определение двойного интеграла и перечислите его основные свойства.

3. Каков геометрический смысл двойного интеграла если во всех точках области

4. Укажите типы областей в декартовых координатах, когда вычисление двойного интеграла сводится к одному повторному.
Примеры с решениями:

Вычислить заданные двойные интегралы по указанных областям интегрирования:





Решение:

Сначала изображаем область (рис.1).

y
1

Рис. 1. 1 x

Для указанной прямоугольной области интеграл сводится к одному повторному:

или

Вычисляем



Заметим, что при интегрировании внутреннего интеграла по y переменную x рассматриваем как const.



  1. где область ограничена линиями и

Решение:

Изображаем область (рис.2).

y


1

B


A

0 Рис.2. 1 x


Для определения пределов интегрирования по x решаем систему:

Для определения пределов интегрирования по y проводим прямую, параллельную оси OY: получаем «точку входа» в область А на линии и «точку выхода» В на линии .

Итак,

Следовательно,





  1. Вычислить площадь плоской области, ограниченной линиями

Решение:

Изображаем область (рис.3).

y

4


2


0 Рис.3. 4 x

По свойству двойного интеграла площадь плоской области



Примеры для практических занятий:

Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:













Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями:





Ответы:

4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)


Примеры для самостоятельного решения:

Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:















Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями:





Ответы:

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)



Литература


  1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Наука, М., 1969.

  2. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие для вузов. Высшая школа. М., 1984.

  3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник. Наука, М., 1982.

  4. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай А.Г., Головач Г.И. Математический анализ в примерах и задачах. Высшая школа, Ч.1 – 1974., Ч.2 – 1977.

  5. Сборник задач по математическому анализу. ВАС. Часть 1 – 1984. Часть 2 – 1985.

  6. Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. Наука, 1997.

Панневиц Оксана Владимировна,

Рыбакин Альберт Сергеевич,

к.т.н.

Математический анализ

Учебно-методическое пособие


Рецензенты Рейнов Ю.И., к.т.н., доцент кафедры математики СПб филиала ГУ-ВШЭ

Тамонов А.А., к.ф.-м.н., доцент кафедры математики ФИНЭКа

Тех. редактор



Верстка




Четвертый раз смотрю этот фильм и должна вам сказать, что сегодня актеры играли как никогда. Фаина Раневская
ещё >>