Занятие 1 Ряды с неотрицательными членами 1 Определение числового ряда, необходимый признак сходимости - davaiknam.ru o_O
Занятие 1 Ряды с неотрицательными членами 1 Определение числового ряда, необходимый признак сходимости - davaiknam.ru o_O
страница 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Похожие работы
|
Занятие 1 Ряды с неотрицательными членами 1 Определение числового ряда, необходимый - страница №1/1
Практическое занятие 1 Ряды с неотрицательными членами 1.1 Определение числового ряда, необходимый признак сходимости 1.2 Простейшие свойства числовых рядов, критерий Коши сходимости ряда 1.3 Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
Пусть – числовая последовательность. Выражение вида называется числовым рядом, числа , , …, , … – членами ряда, а число – -м или общим членом ряда. Сумма конечного числа первых членов
называется -й частичной суммой данного ряда. В частности,
……………………
………………………… . Если для последовательности частичных сумм ряда существует конечный предел , то ряд называется сходящимся, а число – суммой данного ряда:
Выражение вида , представляющее собой числовой ряд, называется -м остатком ряда и обозначается или . Для сходящегося ряда можно записать равенство
Очевидно, что если числовой ряд сходится, т. е. , то . Следовательно, отбрасывание любого конечного числа членов не влияет на сходимость ряда. 1.2 Простейшие свойства числовых рядов, критерий Коши сходимости ряда Ряд
, называется рядом с неотрицательными членами. Для рядов с неотрицательными членами справедливы следующие свойства: – перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость); – если ряды и сходятся и их суммы равны и соответственно, то ряд также сходится и
Ряд называется суммой рядов и ; – если ряд сходится и его сумма равна , то ряд также сходится и
Ряд называется произведением ряда на число ; – если ряд сходится, то и ряд, полученный группировкой его членов без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Теорема 3 (критерий Коши сходимости ряда) Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что для всех и всех имело место неравенство: . 1.3 Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами Теорема 4 Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена. Теорема 5 (интегральный признак Коши) Если неотрицательная интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство: . Теорема 6 (признак сравнения) Пусть для членов рядов и справедливо неравенство . Тогда: 1) если ряд сходится, то и ряд сходится, 2) если ряд расходится, то и ряд расходится. Следствие (предельный признак сравнения) Пусть для членов рядов ( ) и ( ) существует конечный предел: , . Тогда ряды и сходятся и расходятся одновременно. Для исследования на сходимость рядов с помощью признаков сравнения используются ряды: – ряд из элементов геометрической прогрессии: , , сходящийся при и расходящийся при ; – обобщенный гармонический ряд: , сходящийся при и расходящийся при . Теорема 7 (признак Д’аламбера) Пусть для ряда ( ) существует предел . Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится. Вопрос о сходимости ряда остается открытым, если . Теорема 8 (признак Коши) Пусть для ряда ( ) существует предел . Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится. Вопрос о сходимости ряда остается открытым, если . Из существования предела следует, что существует и предел . Обратное утверждение не всегда имеет место, т. е. признак Коши «сильнее» признака Д’аламбера.
2 Что называется суммой ряда? 3 Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда. 4 Какое выражение называется остатком ряда? 5 Перечислите простейшие свойства сходящихся числовых рядов. 6 Сформулируйте критерий Коши сходимости ряда. 7 Какие ряды называются рядами с неотрицательными членами? 8 Сформулируйте интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами. 9 Сформулируйте признаки сравнения сходимости рядов с неотрицательными членами. 10 Сформулируйте признак Д’аламбера сходимости рядов с неотрицательными членами. 11 Сформулируйте признак Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
Ряд можно записать в виде . 2 Найти общий член ряда . Решение. Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена, поэтому показатель степени -го члена равен . Числители дробей , , , , … образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью 1. Поэтому -й числитель равен . Знаменатели образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4. Поэтому -й знаменатель равен . Следовательно, общий член ряда имеет вид . 3 Вычислить сумму ряда . Решение. Поскольку , то
, , , , ……………………………….…. Следовательно,
Тогда
. Значит, ряд сходится и сумма ряда равна . 4 Исследовать сходимость рядов: а) , , ; б) , .
составим частичные суммы: , , …, , , …. Последовательность частичных сумм этого ряда не имеет предела и поэтому данный ряд расходится; б) сумма первых членов ряда
имеет вид , . Так как
то
При ряд совпадает с рядом , при , и . Следовательно, ряд сходится при и его сумма , при он расходится. 5 Исследовать сходимость ряда Решение. Вычислим предел: . Согласно теореме 1 не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Значит, данный ряд расходится. 6 Исследовать сходимость гармонического ряда . Решение. Очевидно, что , однако гармонический ряд расходится. Докажем, что гармонический ряд расходится двумя способами. 1 способ. Действительно, предположим, что ряд сходится и его сумма равна . Тогда . Из неравенства , , предельным переходом по получаем противоречие: . 2 способ. Имеем: = . Для любого положим и . Так как , ,то получим:
Таким образом, для любого критерий Коши не выполняется. Следовательно, гармонический ряд расходится. 7 Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда (ряда Дирихле) , . Решение. При ряд совпадает с гармоническим рядом и расходится. Если , то и . В этом случае ряд расходится, так как нарушается необходимое условие сходимости ряда. Пусть и . Положим . Функция монотонно убывает на промежутке . Обобщенный гармонический ряд сходится и расходится одновременно с интегралом . Известно, что несобственный интеграл
Следовательно, ряд сходится при и расходится при . 8 Исследовать сходимость рядов: а) ; в) ; д) ; б) ; г) ; е) .
б) сравним ряд с гармоническим рядом . Поскольку , , и гармонический ряд расходится, то расходится и исходный ряд; в) вычислим предел:
Так как , то по признаку Д’аламбера данный ряд сходится; г) вычислим предел:
Так как , то согласно признаку Д’аламбера исходный ряд расходится; д) так как
то согласно признаку Коши данный ряд расходится; е) сравним ряд с обобщенным гармоническим рядом . Вычислим предел:
Поскольку для ряда имеем , то исходный ряд сходится вместе с обобщенным гармоническим рядом. Задания для аудиторной работы 1 Записать первые шесть членов ряда по заданному общему члену: а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; б) . 5 С помощью интегрального признака исследовать сходимость рядов: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . 6 С помощью признаков сравнения исследовать сходимость рядов: а) ; д) ; б) ; е) ; в) ; ж) ; г) ; и) .
а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . Задания для домашней работы 1 Записать первые шесть членов ряда по заданному общему члену: а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; б) . 5 С помощью интегрального признака исследовать сходимость рядов: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . 6 С помощью признаков сравнения исследовать сходимость рядов: а) ; д) ; б) ; е) ; в) ; ж) ; г) ; и) .
а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . Практическое занятие 2 Знакопеременные ряды 2.1 Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница 2.2 Абсолютно и условно сходящиеся ряды 2.3 Признаки Дирихле и Абеля
где , , – числа одного знака. Теорема 1 (признак Лейбница) Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) ; 2) . Тогда ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, т. е. . Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 1 называется рядом Лейбница. Остаток ряда Лейбница удовлетворяет неравенству . Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными. 2.2 Абсолютно сходящиеся ряды Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд с неотрицательными членами сходится. Теорема 2 Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Обратное утверждение в общем случае не имеет места. Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами: – если ряд абсолютно сходится и = , = , то ; – если ряды и абсолютно сходятся, то при любых и ряд абсолютно сходится; – если ряд абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна сумме исходного ряда; – если ряды и абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, расположенных в любом порядке, также абсолютно сходится. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся. Для ряда обозначим через , , …, ,… и , , …, , … соответственно его неотрицательные и отрицательные члены, взятые в том же порядке, в котором они расположены в ряде . Рассмотрим ряды и , члены которых неотрицательны.
Для исследования сходимости знакопеременных рядов часто используются признаки Дирихле и Абеля. Теорема 5 (признак Дирихле) Пусть 1) последовательность монотонна и , 2) последовательность сумм , , ограничена. Тогда ряд сходится. Теорема 6 (признак Абеля) Пусть 1) последовательность ограничена и монотонна, 2) ряд сходится. Тогда ряд сходится. Вопросы для самоконтроля 1 Какой ряд называется знакочередующимся? 2 Сформулируйте признак Лейбница. 3 Какой ряд называется абсолютно сходящимся? 4 Перечислите свойства абсолютно сходящихся рядов. 5 Какой ряд называется условно сходящимся? 6 Какими свойствами обладают условно сходящиеся ряды? 7 Сформулируйте признак Дирихле. 8 Сформулируйте признак Абеля. Решение типовых примеров 1 Исследовать сходимость ряда . Решение. Так как и , то данный ряд, согласно признаку Лейбница, сходится. 2 Исследовать сходимость рядов: а) , б) . Решение. а) ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда, имеет вид и является сходящимся. Значит, ряд является абсолютно сходящимся; б) по признаку Лейбница ряд сходится. С другой стороны, ряд является расходящимся гармоническим рядом. Значит, ряд не является абсолютно сходящимся. 3 Найти сумму ряда . Решение. Ряд является расходящимся, так как не существует. Ряды
и
полученные из него путем объединения его членов, сходятся:
Таким образом, для исходного ряда сумма ряда не существует, а ряды, полученные из него указанным объединением его членов, имеют конечные суммы. 4 Исследовать на сходимость ряд . Решение. Последовательность монотонно убывающая и . Рассмотрим последовательность . При , , имеем . Поэтому
. При , , все рассматриваемые суммы ограничены. В силу признака Дирихле ряд сходится. При , , все члены ряда обращаются в нуль и ряд также сходится.
Следовательно, данный ряд сходится, причем абсолютно, поскольку ряд является сходящимся обобщенным гармоническим рядом ( ). Определим число членов, которые нужно взять, чтобы вычислить его сумму с заданной точностью. Если
или , то . Следовательно, нужно взять 10 членов данного ряда. Так как , то оценка ряда есть . 7 Составить сумму рядов и . Сходится ли полученный ряд? Решение. Ряд есть геометрический со знаменателем , его сумма , второй геометрический ряд со знаменателем , его сумма . По определению суммы двух рядов полученный ряд имеет вид . Данный ряд сходится, его сумма . Задания для аудиторной работы 1 Исследовать сходимость знакопеременных рядов: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . 2 Исследовать абсолютно или условно сходятся ряды: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . 3 С точностью до 0,001 вычислить сумму рядов: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . 4 Найти сумму ряда . 5 Составить ряд, полученный из разности соответствующих членов рядов и . Сходится ли полученный ряд? 6 Даны два ряда и . Записать первые пять членов их произведения. Сходится ли полученный ряд? Задания для домашней работы 1 Исследовать сходимость знакопеременных рядов: а) ; г) ; б) ; д) ; в) ; е) . 2 Исследовать, абсолютно или условно сходятся ряды: а) ; в) ; б) ; г) .
а) ; в) ; б) ; г) . 4 Найти сумму ряда . 5 Составить ряд, полученный из разности соответствующих членов рядов и . Сходится ли полученный ряд? 6 Даны два ряда и . Записать первые пять членов их произведения. Сходится ли полученный ряд? |