Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Маркова Характеристические функции и закон больших чисел - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лабораторная работа №1. Тесты разложимости и тесты простоты 1 141.04kb.
Технология обработки числовой информации. Коды чисел 1 26.75kb.
Темы контрольных работ по дисциплине «Электронная цифровая подпись... 1 46.69kb.
Урок-путешествие по теме: «Делимость чисел» 1 43.77kb.
Программа государственного экзаменА по специальности 230201. 1 52.42kb.
Конспект урока по математике (6 класс) Тема урока: «Умножение положительных... 1 45.58kb.
Урок по теме: «Сравнение чисел. Координаты» Учитель математики моу... 1 62.48kb.
История чисел и вычислений 1 308.01kb.
Урок по теме: «Модуль числа» 1 68.71kb.
Конспект открытого урока «Представление вещественных чисел в памяти... 1 107.02kb.
Закон Алгебра логики Аналог в алгебре действительных чисел Законы... 1 27.13kb.
Вопросы к экзамену по твиМС. 1 поток, 2008 г 1 14.3kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Маркова Характеристические функции и закон - страница №1/1

ЧАСТЬ 6
Типы сходимостей случайных величин (по вероятности, почти наверное, по

распределению, в среднем порядка r ) и соотношения между ними

Центральная предельная теорема ( теорема Леви- с доказательством, теорема Ляпунова – без доказательства)

Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Маркова

Характеристические функции и закон больших чисел (теорема Хинчина)

Лемма Бореля- Кантелли. Закон нуля и единицы

Усиленный закон больших чисел (теоремы Колмогорова- без доказательства)

Типы сходимости


I Сходимость по вероятности.



II Сходимость почти наверное.

I
II Сходимость в среднем порядка r.


Сх-ть в среднем (r=1)

Cх-ть в среднем квадратичном (r=2)
IV Сходимость по распределению.


В каждой точке непрерывности F(x).


Пусть s>r


  1. 2 из неравенства Ляпунова

  2. 4 из неравенства Чебышева


Центральная предельная теорема
Теорема Леви

Пусть 1, 2,… – посл-ть независимых одинаково распределенных случайных величин с мат.ожиданием a и дисперсией 20.

Тогда , где .

Док-во:


  1. Не умаляя общности, будем считать: a=0, =1. Положим , , . Тогда .

  2. , где . Пусть f(t) – x.ф. одинаково распределенных k, gn(t) – х.ф. , .

  3. Исследуем свойства: , . , при t – фикс. .

  4.  фиксированного t. Предельная функция непрерывна в точке 0  является характеристической. – станд. норм. распр-е  , но (x) – непрерывна  (по лемме о равн. сх-ти) .

Чтд
Теорема Ляпунова (без док-ва)

Пусть 1, 2,… – независимые с.в., , , , , , , ,



– дробь Ляпунова.

Тогда верно нер-во , где С – абсолютная константа.


Если 1, 2,… – iid (independent identically distributed), то дробь Ляпунова
и , где c0,7655.
Рассмотрим схему Бернулли: пусть k – независимые одинак. распределенные с.в., – есть ли успех в данном испытании. Пусть . Т.о. находимся в условиях теоремы Леви, где , . Т.о.
.
Отметим, что для iid 1, 2,…, имеющих третьи моменты, справедлива следующая неравномерная оценка: , где С3.
Задача

Пусть , рассмотрим . Какое распределение может иметь Sn? Сумма может лежать в интервале [-1,1], получаем равномерную решетку с шагом 1/2k. Характеристическая ф-ция Sn – х.ф. равномерного распр-я на [-1,1].



Закон больших чисел.





-случайные величины с мат.ожиданиями a1,a2,…
Def. Последовательность удовлетворяет закону больших чисел, если



Или

Теорема Чебышева.

Пусть -независимые случайные величины

-математические ожидания

случайных величин

- дисперсии

Если


то удовлетворяет закону больших чисел.


Замечание

Независимость с.в. можно заменить ортогональностью.

Эта теорема представляет собой частный случай следующего утверждения.
Теорема Маркова.


Пусть произвольные случайные величины




Тогда удовлетворяет закону больших чисел.


Теорема Хинчина.


Пусть -независимые случайные величины с одинаковым распределением и мат.ожиданием a

Тогда


Замечание Из теоремы Хинчина следует теорема Бернулли

где частота появления успехов в n независимых испыианиях,

а p- вероятность успеха в одном испытании.




Усиленный закон больших чисел (УЗБЧ)
Пусть (,F,P) – вероятностное пр-во, – произвольная посл-ть событий из -алгебры F. Рассмотрим – событие. Событие A состоит в том, что появляется бесконечное число событий в нашей посл-ти.
Лемма Бореля-Кантелли

I. Если , то P{A}=0.

II. Если – независимы и , то P{A}=1.

Закон нуля и единицы


Пусть – независимые события.

Тогда .


(Следует из леммы Бореля-Кантелли при независимых событиях.)
Замеч. Пусть , (0
, то ,…; если , то ,…  P{A}=вероятность того, что событие A1 произошло.) Таким образом, независимость во втором утверждении существенна.
Опр. Посл-ть с.в. удовлетворяет УЗБЧ, если существует неслучайная посл-ть : .
Теорема1 (А.Н. Колмогоров)

Пусть – посл-ть независ. одинак. распред. с.в.

Тогда  ( E||< и E=a).
Теорема2 (А.Н. Колмогоров)

Пусть – нез.с.в. с мат.ожиданиями и дисперсиями



Пусть .

Тогда – удовлетворяют УЗБЧ.




Эмиграция — капля крови нации, взятая на анализ. Мария Розанова
ещё >>