Задание исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость: 29.; Задание 4

ЗАДАНИЕ 3.

Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость:

29. ;

ЗАДАНИЕ 4.

Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы :

29. б)

ЗАДАНИЕ 5.

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:

29) 30)

ЗАДАНИЕ 6.
Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y :

Образцы решения и оформления задач

Вариант 0

ЗАДАНИЕ 1.

Найти сумму ряда:

а); б)

Решение.

а);

1. Разложим на множители знаменатель дроби:

2. Разложим дробь на сумму двух простых дробей:

3. Найдем сумму n первых членов ряда:

4. Предел частичной суммы при n→∞ существует

и равен сумме ряда

Ответ: S=1/3

б)

Решение._{Разложим дробь на сумму трех дробей}

_Отсюда_A=1/2,_{В=-1, С=1/2}

_{Найдем сумму}_n_{первых членов ряда}

Предел частичной суммы при n→∞ существу

2.Исследовать ряды на сходимость:

а) b) c) d)

Решение.

а)

_{Найдем предел общего члена данного ряда}_a_n_{при неограниченном возрастании его номера}_n

Необходимый признак сходимости для этого ряда не выполняется. Поэтому данный ряд расходится

Ответ: ряд расходится по необходимому признаку
b)

Решение.

Исследуем по интегральному признаку сходимость этого ряда

Заменим в заданном выражении общего члена ряда номер n непрерывной переменной x и убедимся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем интервале изменения x.

Затем находим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним пределом

Несобственный интеграл сходится, поэтому согласно интегральному признаку и ряд сходится.

Ответ: ряд сходится по интегральному признаку

Решение.

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера.

Зная n-й член ряда a_n, находим следующий за ним (n+1)-й член, заменяя в выражении n-го члена n через n+1 :

Затем ищем предел отношения последующего члена a_n₊₁ к предыдущему a_n при неограниченном возрастании n:

Так как ρ>1, то согласно признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: ряд расходится по признаку Даламбера

Решение.
Исследуем сходимость этого ряда по признаку сравнения .

Сравним данный ряд с эталонным рядом. Каждый член данного ряда , начиная с третьего, меньше соответствующего члена бесконечной геометрической прогрессии,

которая представляет сходящийся ряд, ибо ее знаменатель q=1/2<1.

Поэтому, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится.

Ответ: ряд сходится по признаку сравнения

ЗАДАНИЕ 3.

Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость:

a) b) c)

Решение.

Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится.

Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или условно (неабсолютно), исследуем ряд с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда:

Применим интегральный признак:

Несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд с положительными членами. А данный знакочередующийся ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

Решение.

Заменим члены данного знакопеременного ряда , где ∝-любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученный ряд с положительными членами:

Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией , которая есть ряд сходящийся. Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена прогрессии:

Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно

Решение.

Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: не существует. Вследствие этого он расходится.

Ответ: ряд расходится

ЗАДАНИЕ 4.

Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы :

б)

Решение.

По известному члену ряда u_n заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член u_n₊₁

Далее, используя признак Даламбера, ищем предел

И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство

Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится ( абсолютно), а при расходится.

Граничные точки x=±3 этого интервала, для которых ρ=1 и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.

При x=-3 получим числовой ряд с положительными членами , который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом . (Каждый член исследуемого ряда больше соответствующего члена гармонического ряда.)

При x=3 получим числовой знакочередующийся ряд который сходится согласно признаку Лейбница.( Члены этого ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю.)

Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал -3<x≤3.

Ответ: -3<x≤3.

б)

Решение.

Используем признак Даламбера:

Определим, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решим неравенство

Границы двух найденных интервалов исследуем особо.

При x=-3 получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом , который сходится согласно признаку Лейбница.

При x=-1 получим гармонический расходящийся ряд .

Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов -∞<x<-3, -1<x<+∞.
Ответ: -∞<x<-3, -1<x<+∞

ЗАДАНИЕ 5.

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:

Решение.

Пользуясь рядом Маклорена для cosx,( приложение 2) заменяя в нем x на , имеем

Интегрируя в указанных пределах, получим

Пятый член этого знакочередующегося ряда меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых членов ряда:

Ответ: 0,7635

ЗАДАНИЕ 6.

Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y :

Решение.

Пусть искомый интеграл есть степенной ряд

где a₀, a₁,… a_n— неизвестные, подлежащие определению постоянные.

Допуская, что такой ряд существует и сходится в некотором интервале значений x, найдем ряд для его производной почленным дифференцированием

Ряд y² найдем почленным умножением ряда (1) на себя

_.

_{Функцию}_cosx_{также разложим в ряд по степеням}_x_:

Подставляя эти ряды вместо y’ и y² и cosx в заданное уравнение, получим:

Согласно начальному условию y(0)=a₀=1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, поскольку два ряда будут тождественно равны только при этом условии, получим следующую систему: