страница 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
Задание исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость: 29.; Задание 4 - страница №1/1
![]() ЗАДАНИЕ 3. Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость: 29. Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы : 29. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001: 29) Найти сумму ряда: а) а) 1. Разложим на множители знаменатель дроби:
2. Разложим дробь ![]() ![]() 3. Найдем сумму n первых членов ряда: ![]() 4. Предел частичной суммы при n→∞ существует ![]() и равен сумме ряда Ответ: S=1/3 б) Решение.Разложим дробь на сумму трех дробей ![]() ![]() Отсюда A=1/2, В=-1, С=1/2
![]() ![]()
2.Исследовать ряды на сходимость: а) Решение. а) Найдем предел общего члена данного ряда an при неограниченном возрастании его номера n ![]() Необходимый признак сходимости Ответ: ряд расходится по необходимому признаку
Исследуем по интегральному признаку сходимость этого ряда Заменим в заданном выражении общего члена ряда Затем находим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним пределом ![]() Несобственный интеграл сходится, поэтому согласно интегральному признаку и ряд сходится. Ответ: ряд сходится по интегральному признаку c) Решение. Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Зная n-й член ряда an, Затем ищем предел отношения последующего члена an+1 к предыдущему an при неограниченном возрастании n: ![]() Так как ρ>1, то согласно признаку Даламбера ряд расходится. Ответ: ряд расходится по признаку Даламбера d) Решение. Исследуем сходимость этого ряда по признаку сравнения . Сравним данный ряд с эталонным рядом. Каждый член данного ряда которая представляет сходящийся ряд, ибо ее знаменатель q=1/2<1. Поэтому, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится. Ответ: ряд сходится по признаку сравнения
Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость: a) a) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или условно (неабсолютно), исследуем ряд с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда: Применим интегральный признак: ![]() Несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд с положительными членами. А данный знакочередующийся ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.
b) Решение. Заменим члены данного знакопеременного ряда , где ∝-любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученный ряд с положительными членами: Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно. Ответ: ряд сходится абсолютно c) Решение. Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: Ответ: ряд расходится
Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы : ![]() ![]() Решение. ![]() По известному члену ряда un заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член un+1 ![]() Далее, используя признак Даламбера, ищем предел ![]() И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство ![]() Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится ( абсолютно), а при Граничные точки x=±3 этого интервала, для которых ρ=1 и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо. При x=-3 получим числовой ряд с положительными членами При x=3 получим числовой знакочередующийся ряд Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал -3<x≤3. Ответ: -3<x≤3. б) Решение. Используем признак Даламбера: ![]() ![]() Определим, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решим неравенство ![]() Границы двух найденных интервалов исследуем особо. При x=-3 получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом При x=-1 получим гармонический расходящийся ряд Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов -∞<x<-3, -1<x<+∞.
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001: Решение. Пользуясь рядом Маклорена для cosx,( приложение 2) заменяя в нем x на ![]() Интегрируя в указанных пределах, получим ![]() Пятый член этого знакочередующегося ряда меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых членов ряда: ![]() Ответ: 0,7635 ЗАДАНИЕ 6. Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y : ![]() Решение. Пусть искомый интеграл есть степенной ряд ![]() где a0, a1,… an— неизвестные, подлежащие определению постоянные. Допуская, что такой ряд существует и сходится в некотором интервале значений x, найдем ряд для его производной почленным дифференцированием
Ряд y2 найдем почленным умножением ряда (1) на себя ![]() Функцию cosx также разложим в ряд по степеням x: ![]() Подставляя эти ряды вместо y’ и y2 и cosx в заданное уравнение, получим: ![]() ![]() Согласно начальному условию y(0)=a0=1. ![]() Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, поскольку два ряда будут тождественно равны только при этом условии, получим следующую систему: ![]() Найдем первые коэффициенты : a1=2, a2=-1/2, a3=-5/3, a4=-5/4, a5=13/12 и т.д. Следовательно, искомый интеграл есть Ответ: Приложение 1
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 24. Приложение 2Ряды Тейлора и МаклоренаРяд Тейлора ![]() ![]() Приложение 3Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
ещё >> |