Вынужденные колебания - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лекция 12 Вынужденные колебания без сопротивления 1 53.26kb.
11 Магнитное поле 1 48.07kb.
№ урока Тема урока Опорные понятия Актуализирующие понятия Дата проведения... 1 51.04kb.
Лабораторная работа №4 Вынужденные колебания линейного осциллятора... 1 245.21kb.
Колебания виды колебаний. Гармонические колебания 2 422.72kb.
Самостоятельная работа «Колебания математического маятника и груза... 1 40.92kb.
Электромагнитные колебания и волны 1 71.42kb.
«Механическое колебание и величины, характеризующие колебания» 1 86.77kb.
Развитие средств связи 1 65.81kb.
7. малые колебания и устойчивость равновесия 1 110.67kb.
Задачи для подготовки к проверочной работе по физике «Электромагнитные... 1 18.82kb.
Контрольные вопросы: Что называется периодом, частотой, амплитудой... 1 44.32kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Вынужденные колебания - страница №1/1

Реферат

На тему «Вынужденные колебания»


Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001



Вначале рассмотрим затухающие колебания.
Во всякой реальной колебательной системе всег­да имеется сила трения (для механической систе­мы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.

Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.



. (1.1)
Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обуслов­лен тем, что сила F и скорость v направлены в про­тивоположные стороны.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид



. (1.2)

Применим следующие обозначения



, (1.3)

Тогда


(1.4)

Где ω0 — собственная частота коле­бательной системы.

Будем искать решение уравнения в виде

(1.5)

Найдём первую и вторую производные





Подставим выражения в уравнение (1.5)



Сократим на






(1.6)
Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэф­фициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. <ω0 — тре­ние мало). Введя обозначение , придем к уравнению

Решением этого уравнения будет функция

Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем




(1.7)
Здесь A0 и α — постоянные, значения которых зави­сят от начальных условий, ω — величина, определяе­мая формулой

.

Скорость затухания колебаний определяется ве­личиной , которую называют коэффи­циентом затухания.

Для характеристики колебательной системы употребляется также величина

называемая добротностью колебательной си­стемы. Она пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.



Вынужденные колебания.
Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изме­няющейся со временем по гармоническому закону:

(2.1)

В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид



Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид:



(2.2)

Здесь — коэффициент затухания, ω0 — собственная частота колебательной системы, ω — частота выну­ждающей силы.

Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид

(2.3)

Где .

Попробуем найти частное решение (2.2) в виде (2.4)

где — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.



(2.5)

(2.6)

Развернем и по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) :



Сгруппируем члены уравнения:



(2.7)


Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosωt и sinωt в обеих частях уравнения будут оди­наковыми.

(2.8)

(2.9)

Найдём значения A и при которых функция (2.4) удовлетворяет уравне­нию (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом





(2.10)

Из (2.9) следует, что



(2.11)

Подставим значения A и в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):



(2.12)
Общее решение имеет вид




Первое слагаемое играет за­метную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается, и по прошест­вии достаточного времени им можно пренебречь, со­хранив в решении только второе.


Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказы­вается особенно отзывчивой на действие вынуждаю­щей силы при данной частоте. Это явление называет­ся резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой.

Для того чтобы определить резонансную частоту ωрез, нуж­но найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по ω и приравняв производную нулю:



Решения этого уравнения ω=0 и , но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответст­вует максимуму знаменателя, а не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).



(2.13). Следовательно (2.14)

Зависимость амплиту­ды вынужденных колеба­ний от частоты ко­лебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра . Чем меньше , тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании (таком, что 2 > ω0) выражение для ре­зонансной частоты становится мнимым. Это означает, что резонанс в этом случае не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.

Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.

Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при <<ω0) амплитуда при резонансе

Если разделить это выражение на смещение x0 из положе­ния равновесия под действием постоянной силы F0, равное . В результате получим, что

где - логарифмический декремент затухания.

Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резо­нансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).

Лит-ра:

И. В Савельев “Курс общей физики”.

P.S.


Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему «Сложение колебаний».




Конкуренция — это централизованное планирование, осуществляемое множеством самостоятельных индивидов. Фридрих Хаек
ещё >>