Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные уравнения» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебное пособие по математике «математический анализ в схемах» 1 190.73kb.
Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. 1 35.76kb.
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения, часть ii» 1 276.08kb.
Теория бифуркаций 1 36.45kb.
Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения» 1 18.61kb.
Программа по курсу "Введение в математический анализ" 1 190.58kb.
Вопросы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» 1 38.9kb.
Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ... 1 224.36kb.
Вопросы к экзамену по курсу "дифференциальные уравнения" 1 34.01kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов2 курса зик 1 18.63kb.
Учебно-тематические планы лекционных занятий по курсу «Дифференциальные... 1 32.72kb.
Пример выполнения индивидуального задания 4 1 122.57kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные уравнения» - страница №1/3

Центральный экономико-математический институт РАН
Государственный академический университет гуманитарных наук

Макарчук Н.И.


Учебное пособие по курсу «Математический анализ»

Часть 2 . «Дифференциальные уравнения»
2013

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения (Д.У.) занимают особое место в математике, имеют многочисленные применения.

Основной задачей теории Д.У. является изучение функций, представляющих собой решение этих уравнений. Если функция зависит от одной переменной, то Д.У. называются обыкновенными. Теория Д.У., когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных, является более сложной и представляет специальный раздел математики – уравнения в частных производных.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнение вида F(x,y, называется Д.У. n-порядка.

Решить уравнение – значит найти функцию , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Порядок Д.У. – это порядок старшей производной, содержащейся в уравнении.

Степень Д.У. – степень старшей производной.

Пример. Д.У. 3-ей степени первого порядка,

Д.У. 1-й степени второго порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Слово «обыкновенные» будет опускаться.

Определение. Уравнение вида

F(x,y,=0 (1),

где xнезависимая переменная, у и - неизвестная функция и её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно , то уравнение имеет вид

(2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.



Определение. Решением Д.У. первого порядка называется функция , определенная на интервале , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

В теории Д.У. основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши.



Теорема Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение .

Если функция и её частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости xOy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию . Условия, которые задают значения функции в фиксированной точке называются начальными условиями (условиями Коши) и записываются в форме:



(3).
Задача о нахождении решения Д.У. называется задачей интегрирования данного интегрального уравнения.

График решения Д.У. называется интегральной кривой.

В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий – начальных условий (3) через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего условиям (3) , означает нахождение (выделение) из множества интегральных кривых одной кривой, проходящей через заданную точку () области D.

Особые точки дифференциального уравнения – это точки плоскости , через которые либо не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит более одной интегральной кривой. Это случаи, когда не выполняются начальные условия (условия Коши).

Определение. Общим решением уравнения (2) называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной с.
Определение. Частным решением уравнения (2) в области D называется функция , полученная при определенном значении постоянной .

Геометрический смысл: общее решение дифференциального уравнения (2) представляет собой семейство интегральных кривых, зависящее от произвольной постоянной с. Условия Коши (3) фиксируют произвольную постоянную с и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых одну интегральную кривую , проходящую через точку ().
Пример.

Правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условиям Коши во всех точках плоскости : определены и непрерывны на всей плоскости , т.к. и .



Общим решением уравнения является функция , где с произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (2). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия () и подставим их в формулу общего решения. Получим , отсюда находим частное решении .
Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Рассмотрим уравнение . Пусть его решение, график которого представляет собой непрерывную интегральную кривую, причем в каждой её точке существует касательная. Из записи дифференциального уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой её точке равен правой части этого уравнения. Следовательно, уравнение I-го порядка задает угловой коэффициент ()

касательной к интегральной кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке сопоставить отрезок направленный под углом наклона к оси , то мы получим поле направлений данного уравнения. В этом заключается геометрический смысл дифференциального уравнения I-го порядка. Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального уравнения и даже приближенно построить интегральные кривые.
Пример1. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей .

Решение. ,

.

. Это и есть дифференциальное уравнение семейства окружностей.
Пример2.

Составить дифференциальное уравнение семейства линий .



Решение. , .

Дифференциальные уравнения I-го порядка

с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение вида

(),

где и непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных.

Уравнение () перепишем в виде. Тогда .

Интегрируем , где .
Пример. . Найти частное решение при начальных условиях .

Решение. . или .

Это общее решение. Частное решение получим, подставляя начальные условия ,



, . Частное решение исходного уравнении : .


Линейные дифференциальные уравнения

I-го порядка (л.д.у.).
Определение. Уравнение вида

(4),

где p(x) , q(x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка (л.д.у.). Если q(x)=0, то уравнение (4) называется однородным принимает вид . Если q(x)0, то уравнение (4) называется неоднородным.

Неизвестная функция и её производная входят в указанное уравнение в первой степени линейно, что объясняет название уравнения.

Методы решения л.д.у. первого порядка.


  1. Метод вариации постоянной.


А. Находим общее решение однородного уравнения .

Перепишем однородное уравнение в виде уравнения с разделенными переменными



, . Интегрируем правую и левую часть уравнения, получим

., .

Это будет общее решение однородного уравнения: .


В. Подставляем это решение в неоднородное уравнение , но при c=с(x).

Дифференцируем y и подставляем в неоднородное уравнение.

Решаем полученное уравнение и находим с(x).

Полученное выражение для с подставляем в .



В общем виде решение неоднородного уравнения запишется так:

.
Пример. , p(x)=3, q(x)=e.

A. , , ,

или , где c=.


В. , берем производную .

Подставляем выражения для y и в уравнение .

Получим дифференциальное уравнение относительно

.

Производим действия и получаем или ,

отсюда .

Это выражение подставим в =.

Решение исходного уравнения: .
2. Метод подстановки.
Найти общее решение уравнения .

Положим

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

.

Или (*)

Потребуем (или выберем u(x) такое), чтобы .

Найдем u(x) из уравнения , применив метод разделяющих переменных. Получим , .

Выберем какое-нибудь частное решение (например, при с=1) ,

подставим в (*), получим .

Найдем общее решение этого уравнения .

Общее решение исходного уравнения имеет вид: , где

- частное решение исходного уравнения,

- общее решение исходного уравнения.
Замечание . При решении уравнения методом разделенных переменных может быть потеряно решение , т.е. утеряны интегральные кривые . Поэтому получив методом разделенных переменных общее решение уравнения, нужно проверить, все ли частные решения мы охватили при подходящем значении с. В случае отсутствия, их нужно включить.
Пример (потеря решения).

.

Для удобства положим .

Тогда . .

Но исходное уравнение имеет решение у=0, которое не входит в запись . Поэтому запишем решение как , где с может быть равным нулю.

Итак, получив общее решение, необходимо проверить, входит ли в его состав при подходящих числовых значениях параметра с упомянутые частные решения. Если не входят, то нужно включить.
Пример (на метод подстановки). .

Положим .

Потребуем .

.

Выберем какое-нибудь частное решение этого уравнения .

Подставим это решение в (*): ,

найдем общее решение методом разделения переменных



.

Отсюда или .



Неполные д.у.первого порядка
Определение. Д.У. первого порядка называется неполным, если функция явно зависит только от одной переменной: либо от , либо от .

1. .

2. . Методом разделения переменных определяется неизвестная функция (или).

Уравнение называется автономным Д.У., такие уравнения имеют место в теории математического моделирования. Особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки: нули функции , где .


Дифференциальные уравнения второго порядка.
Определение. Д.У. второго порядка называется уравнение вида

(1),

где х - независимая переменная, у – искомая функция, - соответственно первая и вторая производные.


Будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно второй производной:

(2).

Решением Д.У. второго порядка называется функция , определенная на некотором интервале , которая обращает это уравнение в тождество.

График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения второго порядка.
Теорема Коши. Пусть функция и её частные производные непрерывны в некоторой области D пространства переменных . Тогда для любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям:

. (3)
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что через заданную точку () на координатной плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной.

Условия (3) называются



начальными условиями,

а задачу отыскания решения

уравнения (2) с начальными

условиями (3) называют



задачей Коши.

Общим решением уравнения (2) в некоторой области D называется функция , если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах , которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (3).

Частным решением уравнения (2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных : .
Пример. .

Дважды интегрируя, найдем общее решение:



, где произвольные постоянные.

Это решение представляет собой семейство прямых,

проходящих в произвольных направлениях,

причем через каждую точку плоскости



проходит бесконечное число таких прямых.

Поэтому для выделения частного решения,

проходящего через заданную точку (), следует

задать ещё и угловой коэффициент прямой,

совпадающий в данном случае со своей касательной.

Например, найдем частное решение, удовлетворяющее

начальным условиям

,

т.е. найти прямую, проходящую через точку (1,2), с угловым коэффициентом, равным 1.

Т.к. решение представлено как , подставим в него начальные условия, получим

.

На чертеже - это жирная прямая.


следующая страница >>



«Книги имеют свою судьбу...» Это значит, что книги, взятые для прочтения, обратно не возвращаются. Дон-Аминадо
ещё >>