Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные уравнения» - davaiknam.ru o_O
Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные уравнения» - davaiknam.ru o_O
|
Похожие работы
|
Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные уравнения» - страница №1/3
Государственный академический университет гуманитарных наук Макарчук Н.И. Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть 2 . «Дифференциальные уравнения» 2013 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения (Д.У.) занимают особое место в математике, имеют многочисленные применения. Основной задачей теории Д.У. является изучение функций, представляющих собой решение этих уравнений. Если функция зависит от одной переменной, то Д.У. называются обыкновенными. Теория Д.У., когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных, является более сложной и представляет специальный раздел математики – уравнения в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения Уравнение вида F(x,y,  называется Д.У. n-порядка.
Решить уравнение – значит найти функцию Порядок Д.У. – это порядок старшей производной, содержащейся в уравнении. Степень Д.У. – степень старшей производной. Пример. где x – независимая переменная, у и Если уравнение можно разрешить относительно и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Определение. Решением Д.У. первого порядка называется функция  , определенная на интервале  , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
В теории Д.У. основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши. Теорема Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение  .
Если функция  (3).
Задача о нахождении решения Д.У. называется задачей интегрирования данного интегрального уравнения. График решения Д.У. называется интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий – начальных условий (3) через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего условиям (3) , означает нахождение (выделение) из множества интегральных кривых одной кривой, проходящей через заданную точку ( Особые точки дифференциального уравнения – это точки плоскости Правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условиям Коши во всех точках плоскости Общим решением уравнения является функция  , где с произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (2). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия ( ) и подставим их в формулу общего решения. Получим  , отсюда находим частное решении  .
Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрим уравнение касательной к интегральной кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке Составить дифференциальное уравнение семейства линий Решение.  ,    .
Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными Определение. Дифференциальное уравнение вида  ( ),
где Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных. Уравнение ( Интегрируем Это общее решение. Частное решение получим, подставляя начальные условия  ,  . Частное решение исходного уравнении :  .
Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка (л.д.у.). Определение. Уравнение вида  (4),
где p(x) , q(x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка (л.д.у.). Если q(x)=0, то уравнение (4) называется однородным принимает вид Неизвестная функция и её производная входят в указанное уравнение в первой степени линейно, что объясняет название уравнения.
А. Находим общее решение однородного уравнения .
Перепишем однородное уравнение в виде уравнения с разделенными переменными  ,  . Интегрируем правую и левую часть уравнения, получим
 .,  .
Это будет общее решение однородного уравнения: В. Подставляем это решение в неоднородное уравнение , но при c=с(x). Дифференцируем y и подставляем Решаем полученное уравнение и находим с(x). Полученное выражение для с подставляем в В общем виде решение неоднородного уравнения запишется так:  .
Пример.  , p(x)=3, q(x)=e .
A.   ,  ,  , 
или В.  , берем производную  .
Подставляем выражения для y и Получим дифференциальное уравнение относительно Производим действия и получаем отсюда Это выражение подставим в Решение исходного уравнения: Положим Подставим эти выражения в исходное уравнение:
Или Потребуем (или выберем u(x) такое), чтобы Найдем u(x) из уравнения Выберем какое-нибудь частное решение (например, при с=1) подставим в (*), получим Найдем общее решение этого уравнения Для удобства положим Тогда Но исходное уравнение имеет решение у=0, которое не входит в запись Итак, получив общее решение, необходимо проверить, входит ли в его состав при подходящих числовых значениях параметра с упомянутые частные решения. Если не входят, то нужно включить.
Положим Потребуем Выберем какое-нибудь частное решение этого уравнения Подставим это решение в (*): найдем общее решение методом разделения переменных  .
Отсюда Неполные д.у.первого порядка Определение. Д.У. первого порядка  называется неполным, если функция  явно зависит только от одной переменной: либо от  , либо от  .
1. 2. Уравнение Дифференциальные уравнения второго порядка. Определение. Д.У. второго порядка называется уравнение вида  (1),
где х - независимая переменная, у – искомая функция, Будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно второй производной:  (2).
Решением Д.У. второго порядка называется функция , определенная на некотором интервале , которая обращает это уравнение в тождество.
График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения второго порядка. Теорема Коши. Пусть функция  и её частные производные  непрерывны в некоторой области D пространства переменных  . Тогда для любой внутренней точки  этой области существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям:
 . (3)
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что через заданную точку ( ) на координатной плоскости  проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом  касательной.
Условия (3) называются начальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения (2) с начальными условиями (3) называют задачей Коши. Общим решением уравнения (2) в некоторой области D называется функция  , если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах  , которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (3).
Ч  астным решением уравнения (2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных :  .
Пример.  .
Дважды интегрируя, найдем общее решение:  , где произвольные постоянные.
Это решение представляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости проходит бесконечное число таких прямых.
Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку ( задать ещё и угловой коэффициент прямой, совпадающий в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
т.е. найти прямую, проходящую через точку (1,2), с угловым коэффициентом, равным 1. Т.к. решение представлено как На чертеже - это жирная прямая. следующая страница >> |
Д.У. 3-ей степени первого порядка,
=0 (1),
- неизвестная функция и её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
и её частная производная 
непрерывны в некоторой области D плоскости xOy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки 
этой области существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию 
. Условия, которые задают значения функции 
в фиксированной точке 
называются начальными условиями (условиями Коши) и записываются в форме:
, удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной с.
, полученная при определенном значении постоянной 
.
и 
.
)
сопоставить отрезок направленный под углом наклона 
к оси 
, то мы получим поле направлений данного уравнения. В этом заключается геометрический смысл дифференциального уравнения I-го порядка. Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального уравнения и даже приближенно построить интегральные кривые.
.
,
.
. Это и есть дифференциальное уравнение семейства окружностей.
.
и 
непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
. Тогда 
.
, где 
.
. Найти частное решение при начальных условиях 
.
.
или 
.
,
. Если q(x)
0, то уравнение (4) называется неоднородным.
.
.
.
или 
, 
.
. 
.
.
(*)
.
, 
. 
,
. 
.
, где
- частное решение исходного уравнения,
- общее решение исходного уравнения.
, т.е. утеряны интегральные кривые 
. Поэтому получив методом разделенных переменных общее решение уравнения, нужно проверить, все ли частные решения мы охватили при подходящем значении с. В случае отсутствия, их нужно включить.
.
. 
. 
.
. Поэтому запишем решение как 
, где с может быть равным нулю.
. 
.
.
. 
,
или 
.
.
. Методом разделения переменных определяется неизвестная функция 
).
называется автономным Д.У., такие уравнения имеют место в теории математического моделирования. Особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки: нули функции 
, где 
.
- соответственно первая и вторая производные.
,
.