Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 2301 Издательство Московского государственного университета - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебное пособие Москва Издательство Московского государственного... 13 1114.2kb.
Учебное пособие кемерово 2003 введение 12 1964.98kb.
Учебное пособие для самостоятельной работы студентов заочного отделения... 14 2194.42kb.
Учебное пособие издательство Санкт-Петербургского государственного... 13 3709.73kb.
В специальность «государственное и муниципальное управление» 9 2805.83kb.
Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм... 42 5411.89kb.
Учебное пособие для самостоятельной (внеаудиторной) работы студентов... 10 1601.79kb.
Н. Р. Шишкина Экономическая теория 27 6085.05kb.
Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного... 2 532.01kb.
Методическое пособие для студентов специальности 080507 "Менеджмент... 13 1258.65kb.
Реклама в коммуникационном процессе 4 990.32kb.
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов 1 41.67kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 2301 Издательство Московского - страница №1/4



Министерство образования

Российской Федерации

Московский государственный университет леса

_____________________________________________________________________________

В.В. Быков А.И. Родионов

Математические методы и модели
Учебное пособие
для студентов заочного обучения

специальности 2301

Издательство Московского государственного университета

Москва ­  2002


УДК 519.6

6Л2 Быков В.В., Родионов А.И. Математические методы и модели: Учебно методическое пособие для студентов заочного обучения специальностей: 2301 — М.: МГУЛ, 2002. - 40 с.




Учебное пособие включает рассмотрение таких основополагающих математических понятий как вектора, матрицы. В пособии рассматриваются вопросы управления запасами на складе, однокритериальной и многокритериальной оптимизации, решение задач линейного программирования симплекс—методом. Данное учебное пособие будет полезно и для студентов других факультетов МГУЛ.
Разработано в соответствии с Государственным обязательным стандартом ВПО 2000 г. для направления подготовки ______________ на основе примерной программы дисциплины «___________________­­_» для специальности «__________________» __________ года.

Одобрено и рекомендовано к изданию в качестве учебно методического пособия редакционно издательским советом университета

Рецензент — профессор А.М. Ветошкин
Кафедра прикладной математики

Авторы: Владимир Васильевич Быков, доцент, Александр Иванович Родионов, доцент


© Быков В.В., Родионов А.И., 2002

© Московский государственный университет леса, 2002



1. Математические модели, их создание и совершенствование
Особенностью настоящего времени является широкое применение математических методов, и ЭВМ в различных областях человеческой деятельности: в науке, технике, экономике, медицине и даже в лин­гвистике. Такое широкое внедрение математики в сферу общественно-политической, производственной и др. областей жизни вызвано необходимостью анализа и прогнозирования происходящих явлений и процессов в обществе и природе. Для осуществления указанных целей, прежде всего, необходимо разработать математическую модель рассма­триваемого явления, процесса или объекта.

Математическая модель - это описание наиболее существенных свойств и особенностей явления на языке математических понятий и уравнений.

Математическая модель, основанная на упрощении, идеализации, не тождественна реальному явлению, объекту, а является его приближенным описанием. Однако благодаря замене реального объекта приближенной моделью становится возможным его математическое описание и применение математического аппарата для его анализа. Ма­тематика позволяет провести детальный анализ рассматриваемого явления, предсказать его поведение в различных условиях и в буду­щем.

Сложность математической модели и ее исследования зависит от сложности исследуемого объекта. Если раньше математические методы и модели применялись лишь в механике, физике, астрономии, изучаю­щих простейшие формы движения, то с появлением ЭВМ и развитием вычислительной математики математические методы находят примене­ние и в других областях деятельности человека.

Построение модели объекта, явления начинается с выделения его наиболее существенных черт и свойств и описания их с помощью математических соотношений. Затем, после создания математической модели, ее исследуют математическими методами, т.е. решают сфор­мулированную математическую задачу.



В качестве примера рассмотрим задачу определения площади по­верхности стола. Моделью этой поверхности, на первый взгляд, мо­жет служить прямоугольник со сторонами, равными сторонам стола. Если же длины противоположных сторон стола и его диагоналей ока­жутся не. равными, в качестве модели нужно принять четырехуголь­ник. Для более точного определения площади стола необходимо учесть еще округления его угловых кромок. Таким образом, с повы­шением требований к точности определения площади стола его математические модели постоянно уточняются. Следовательно, математи­ческая модель не определяется однозначно исследуемым объектом. Выбор конкретной модели определяется требованиями ее точности!

Построение математической медали является одним из наиболее сложных и ответственных этапов исследования объекта. Математичес­кая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Она основывается на упрощении, идеализации и является приближениям описанием объ­екта. Поэтому, результаты, получаемые на основе этой модели, имеют всегда приближенный характер. Их точность определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта. Вопрос о точности является важнейшим в прикладной математике. Однако, он не являет­ся чисто математическим вопросом и не может быть решен математи­ческими методами. Основным критерием истины является эксперимент, т.е. сопоставление результатов, получаемых на основе математичес­кой модели, с рассматриваемым объектом. Только практика позволяет сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них наибо­лее простую и достоверную, указать области применимости различных моделей и направление их совершенствования. Рассмотрим развитие модели на примере известной задачи бал­листики об определении траектории тела, выпущенного с начальной скоростью под углом к горизонту. Для начала, предположим, что скорость и дальность полета тела небольшие. Тогда для данной задачи будет справедлива математическая модель Галилея, основан­ная на следующих допущениях:

1) Земля - инерциальная система;



2) ускорение свободного падения ;

3) Земля - плоское тело;

4) сопротивление воздуха отсутствует.

В этом случав составляющие скорости движения тела по осям х и у равны

а их пути



,

где t - время движения.

Определяя t из первого уравнения и подставляя его во второе, получаем уравнение траектории тела, представляющее собой параболу



из условия получаем дальность полета тела

(1)

Однако, как показывает практика, результаты, получаемые на основе этой модели, оказываются справедливыми лишь при малых на­чальных скоростях движения тела v <30м/с. С увеличением скорости дальность полета становится меньше величины, даваемой формулой (1).

Такое расхождение эксперимента с расчетной формулой (1) го­ворит о неточности модели Галилея, не учитывающей сопротивление воздуха.


Рис. 1. Траектория полета тела.
Дальнейшее уточнение модели баллистической задачи в части учета сопротивления воздуха было сделано Ньютоном. Это позволило с достаточной точностью рассчитывать траектории движения пушечных ядер, выстреливаемых со значительными начальными скоростями.

Переход от гладкоствольного к нарезному оружию позволил уве­личить скорость, дальность и высоту полета снарядов, что вызвало дальнейшее уточнение математической модели задачи. В новой математической модели были пересмотрены все допущения, принятые в мо­дели Галилея, т.е. Земля уже не считалась плоской и инерциальной системой, и сила земного притяжения не принималась постоянной.

Последующее совершенствование математической модели задачи связано с использованием методов теории вероятности. Это было вы­звано тем, что параметры снарядов, орудий, зарядов и окружающей среды в силу допусков и других причин не остаются неизменными, а подчиняются случайным колебаниям.

В результате последовательных уточнений и усовершенствований была создана математическая модель наиболее полно и точно описы­вающая задачу внешней баллистики. Сопоставление ее данных с ре­зультатами стрельб показало хорошее их совпадение.

На этом примере показаны этапы создания, развития и уточне­ния математической модели объекта, которые сопровождаются посто­янно сопоставлением и проверкой практикой, т.е. с самим реальным объектом или явлением. Именно не достаточно хорошее совпадение ре­зультатов, предоставляемых моделью, с объектом вызывает дальней­шее совершенствование модели.
2. Подбор эмпирических формул

При обработке экспериментальных данных часто приходится представлять их в виде некоторой приближенной зависимости типа . Задача формулируется следующим образом. Пусть в результате измерений получена таблица данных

Необходимо построить зависимость , приближенно отображающую эти данные. Эта зависимость называется эмпирической формулой.

Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы может быть произвольным. В этом случае предпочтение отдается наиболее простым формулам, обладающим достаточной точностью. Вид их первоначально можно выбрать из геометрических соображений.


3. Определение параметров эмпирической формулы

3.1. Метод выбранных точек
Пусть получена некоторая таблица данных . На плоскости наносим эти точки, а затем проводим простейшую кривую , примыкающую к этим точкам. На этой линии выбираем точки, которые могут не принадлежать табличным значениям. Число выбранных точек должно быть равным количеству исходных параметров эмпирической зависимости. Координаты этих точек тщательно измеряются и используются для вычисления коэффициентов эмпирической зависимости.

Если используется эмпирическая зависимость



,

то для вычисления коэффициентов нужно задать точку. В результате, для вычисления получим систему линейных уравнений:



так как значения и известны.
3.2. Метод средних
Этот метод заключается в том, что параметры эмпирической зависимости определяются из условия равенства нулю суммы отклонений ее табличных значений во всех точках :



Поскольку из одного уравнения нельзя однозначно определить коэффициент эмпирической формулы , а других условий нет, то уравнение разбивают на систему уравнений. Например:



Решая систему, находим неизвестные параметры .

Пример. Рассмотрим торможение движущегося тела.



05101520250106182234261275 Считая движение равнозамедленным, найти приближенные значения скорости и ускорения тела.

Решение. Согласно физическим соображениям, уравнение движения имеет вид следующей эмпирической зависимости:





Из таблицы следует, что , т.к. при . Отсюда получаем



Для определения параметров и нужно получить два уравнения. Воспользуемся методом средних и запишем уравнение для всех точек (кроме начальной).

Запишем вместо этого уравнения систему двух уравнений путем расщепления:





Используя выражение и табличные данные, получаем систему



Откуда и находим: .

Следовательно, эмпирическую зависимость можно записать в виде





Тогда получаем приближенное значение ускорения , а приближенное значение скорости при .
3.3. Метод наименьших квадратов
Этот метод находит самое широкое применение на практике и обеспечивает приемлемую точность.

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек



Параметры эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции

.

Поскольку здесь параметры выступают в роли независимых переменных функции , то ее минимум найдем, приравняв к нулю частные производные по этим переменным:



Полученные соотношения - система уравнений для определения . Для примера рассмотрим применение в качестве эмпирической функции многочлена

Тогда


;



…………………………………………………..





Приравнивая эти выражения к нулю, и собирая коэффициенты при неизвестных , получаем следующую систему уравнений:


Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты , которые и являются искомыми параметрами эмпирической формулы.

После того как уравнение найдено, можно оценить, насколько хорошо оно приближает результаты наблюдений. Для этого вычисляется так называемая средняя квадратическая погрешность или ошибка уравнения, которую будем обозначать буквой :

Чем меньше , тем ближе результаты наблюдений к заданной эмпирической кривой.



Замечание 1. Вычисление средней квадратической погрешности имеет большое значение тогда, когда наряду с моделью линейной зависимости от рассматриваются и другие модели, другие уравнения зависимости. Для каждого из уравнений следует найти свою среднюю квадратическую погрешность, после чего выбрать из них минимальную. Соответствующая модель и является наилучшей.

Замечание 2. Возможно рассмотрение параметра от нескольких параметров , например, в таком виде:


следующая страница >>



В чем заключается добродетель? В целомудрии? Нет, отвечу я, потому что вымер бы род человеческий. В брачном сожительстве? Нет, в воздержании больше добродетели. В том, чтобы не убивать? Нет, потому что нарушился бы всякий порядок и злодеи поубивали бы праведных. В том, чтобы убивать? Нет, убийство уничтожает живую тварь. Наша истина и наше добро только отчасти истина и добро, и они запятнаны злом и ложью. Блез Паскаль
ещё >>