«Точные науки» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Книга лауреата премии Естественные и точные науки 1 158.89kb.
Тип Гуманитарный Точные науки 1 34.62kb.
Конспект урока по математике по теме «Точные и приближенные числа» 1 37.24kb.
Детские танцы 1 20.07kb.
Детские танцы Вводная лекция 1 32.29kb.
Может ли быть история точным предметом… «Это моя страна, Господи! 1 208.97kb.
Николай Павлович Романов (Николай I) родился 25 июня (6 июля) 1 27.96kb.
Наука и философия науки в современном обществе 1 299.87kb.
Вопросы к экзамену по истории и философии науки для магистрантов... 1 17.61kb.
Программа по курсу история и социология науки 1 61.84kb.
Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Этос науки» по направлению... 1 246.29kb.
Николаев С. А. Научно-энциклопедический портал: Russika. Ru О центростремительном... 1 81.8kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

«Точные науки» - страница №1/1



Цепные дроби и их приложения
Секция «Точные науки»
Автор: Серебряков Дмитрий Кириллович, 8 класс

Научный руководитель: Горшенин Константин Петрович,

учитель математики,

кандидат физико-математических наук

Государственное бюджетное

образовательное учреждение г. Москвы

средняя общеобразовательная школа №887

Москва

2013

Аннотация
Работа посвящена изучению аппарата цепных дробей и его применению к решению задачи о расчете приближенного значения передаточного числа зубчатой передачи при конструировании модели солнечной системы. Показано, что с помощью цепных дробей можно найти технически реализуемые значения количества зубьев колес передачи; при этом передаточное число, равное отношению периодов обращения планет, приближается с хорошей точностью.

17 стр., 2 рис., 3 табл., библиография 6 наим.


Оглавление


ВВЕДЕНИЕ 4

Глава 1. ПОНЯТИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 5

1.1. Определение цепных дробей 5

1.2. Примеры разложений в цепную дробь 5

1.3. Календарь 7

1.4. Выводы 9

Глава 2. ЗАДАЧА ГЮЙГЕНСА 10

2.1. Биография Гюйгенса 10

2.2. Постановка задачи 11

2.3. Примеры расчета приближений передаточных чисел 12

2.4. Выводы 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 15




ВВЕДЕНИЕ



Актуальность исследования. Применение аппарата цепных дробей к прикладным задачам позволяет расширить кругозор учащихся и повысить мотивацию к изучению математики.

Объект исследования: цепные дроби.

Предмет исследования: последовательности подходящих дробей для приближения передаточного отношения зубчатой передачи.

Цель исследования: изучить возможность применения цепных дробей к задачам механики.

Гипотеза исследования: применение цепных дробей позволяет найти приближенное решение задач о построении механических устройств, использующих принцип цилиндрической зубчатой передачи.

Задачи исследования:

  • Изучить понятие цепных дробей.

  • Изучить примеры приближения различных чисел подходящими дробями (рациональные числа, квадратичные иррациональности, трансцендентные числа).

  • Сформулировать постановку задачи о построении приближенной модели движения планет (аналог задачи Гюйгенса), найти решение этой задачи с помощью цепных дробей.

Практическая значимость. Применение цепных дробей расширяет возможности конструирования механических устройств, моделирующих поведение реальных физических объектов.

Глава 1. ПОНЯТИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ



1.1. Определение цепных дробей



Канонической цепной (или непрерывной) дробью называется выражение вида



(1)

Числа называются элементами цепной дроби. Используется компактная запись: .

Если оборвать запись на элементе , то останется дробь . При обращении ее в обыкновенную дробь получится выражение k-я подходящая дробь (или подходящая дробь порядка k) для исходной цепной дроби. и находятся по рекуррентным формулам








(2)

Выражение вида



называется обобщенной цепной дробью.


1.2. Примеры разложений в цепную дробь

Рациональные числа представляются конечными цепными дробями:


Показанный алгоритм тесно связан с алгоритмом Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. Если , то алгоритм Евклида описывается цепочкой равенств



Здесь числа – неполные частные – имеют тот же смысл, что и в формуле (1). Т.к. остатки убывают с ростом n, то любое рациональное число представляется конечной цепной дробью.

По формулам (2) можно найти подходящие дроби для исходного числа (таблица 1).

Иррациональные числа представляются бесконечными цепными дробями. Доказано, что квадратичные иррациональности представляются


k

0

1

2

3



1

3

2

4



1







Таблица 1. Последовательность подходящих дробей

периодическими цепными дробями. Рассмотрим пример:



Число с точностью до стотысячных приближается дробью (погрешность менее ). Ту же точность дает приближение этого числа подходящей дробью 10 порядка: . Однако числитель и знаменатель последней дроби существенно меньше, чем в предыдущей. Это обстоятельство оказывается важным при проектировании механизмов.

Известны разложения в цепные дроби различных замечательных чисел:


(золотое сечение)

,
Разложения в обобщенные цепные дроби могут быть достаточно красивыми:
; .

1.3. Календарь

Выразим длину года в сутках и представим эту величину в виде цепной дроби:



Последовательность подходящих дробей для нее такова:

Возьмем подходящую дробь 1-го порядка. В этом случае за 4 года набегает один «лишний» день, – и мы получаем юлианский календарь, введенный в 46 г. до н.э. Юлием Цезарем. Каждый четвертый год должен быть на 1 сутки больше чем обычный год, состоящий из 365 суток. Длинными, или високосными, стали считать годы, номер которых делится на 4. Средняя длина юлианского года больше истинной на 11 минут 14 секунд. В 1582 году, когда расхождение между истинным и юлианским годом составило 10 дней, Папа Римский Григорий XII предпринял очередную реформу календаря. В григорианском календаре сохраняется чередование простых и високосных лет, но оно дополняется правилом: если номер года оканчивается двумя нулями, а число сотен не делится на 4, то этот год - простой (годы 1700, 1800, 1900-й – простые, а год 2000 – високосный). По григорианскому календарю средняя длина года на 26 секунд больше истинной. Такая точность вполне приемлема, ведь ошибка в 1 сутки при данной системе набежит примерно за 3300 лет.

Возьмем 3-ю подходящую дробь . Теперь за 33 года набегает 8 «лишних» дней, и это календарь, предложенный в 1079 г. персидским математиком и поэтом Омаром Хайямом. Он даже точнее григорианского.

А если выбрать 4-ю подходящую дробь , то получим соответствующий ей календарь фантастической точности, по которому средняя длина года на 1 секунду будет превышать истинную! В1864 году ввести такой календарь в России предложил профессор Дерптского университета (ныне Тартуский) Иоганн Генрих Медлер. В нем пришлось бы каждые 128 лет пропускать 1 високосный год, если високосные годы отсчитывать по принятой тогда юлианской системе. Однако этот календарь распространения не получил.


1.4. Выводы

Аппарат цепных дробей успешно применяется в различных задачах, в которых необходимо выполнять приближение точных значений различных величин рациональными числами. Поэтому этот аппарат и будет применен в дальнейшем исследовании при решении задачи Гюйгенса.


Глава 2. ЗАДАЧА ГЮЙГЕНСА



2.1. Биография Гюйгенса



Рис. 1. Христиан Гюйгенс


Христиан Гюйгенс (1629-1595) родился в Гааге (Голландия). Отец его Константин Гюйгенс, тайный советник принцев Оранских, был замечательным литератором, получившим также хорошее научное образование.

Молодой Гюйгенс изучал право и математику в Лейденском университете, затем решил посвятить себя науке.

В 1651 году опубликовал «Рассуждения о квадратуре гиперболы, эллипса и круга».

Вместе с братом он усовершенствовал телескоп, доведя его до 92-кратного увеличения, и занялся изучением неба. Первая известность пришла к Гюйгенсу, когда он открыл кольца Сатурна и спутник этой планеты Титан.

В 1657 году Гюйгенс получил голландский патент на конструкцию маятниковых часов. Часы Гюйгенса реально работали и обеспечивали превосходную для того времени точность хода. Центральным элементом конструкции был придуманный Гюйгенсом якорь, который периодически подталкивал маятник и поддерживал незатухающие колебания. Сконструированные Гюйгенсом точные и недорогие часы с маятником быстро получили широчайшее распространение по всему миру.

В 1665 году по приглашению первого министра Франции Кольбера поселился в Париже и был принят в число членов Академии наук. В 1666 году по предложению Кольбера становится её первым президентом. Гюйгенс руководил Академией 15 лет.

В 1673 году под названием «Маятниковые часы» выходит исключительно содержательный труд по кинематике ускоренного движения. Эта книга была настольной у Ньютона, который завершил начатое Галилеем и продолженное Гюйгенсом построение фундамента механики.

1681 год: в связи с намеченной отменой Нантского эдикта Гюйгенс, не желая переходить в католицизм, вернулся в Голландию, где продолжил свои научные исследования.




2.2. Постановка задачи

В 1680 г. во время строительства планетария в Париже при конструировании механизма зубчатой передачи Гюйгенсу пришлось решать задачу о выборе наилучшего приближения для отношений периодов планет. Детали постановки задачи в литературе не описаны, поэтому в настоящем исследовании рассматривается модельная задача о поиске подходящего приближения передаточного числа для пары колесо-шестерня. Подразумевается, что передаточные числа будут взяты на основе справочных данных о периодах обращений планет солнечной системы.

Рассмотрим вращательное движение двух соприкасающихся окружностей без проскальзывания. Последнее условие означает, что линейные скорости точки касания относительно центра каждой окружностей одинаковы:

Рис.2. Модель зубчатой передачи колесо-шестерня.




или

(3)

Здесь Tпериод вращения окружности. Окружности на рис.2 соответствуют т.н. начальным окружностям зубчатых колес передачи. Поскольку зубья колеса и шестерни имеют одинаковую толщину, т.е. размер вдоль начальной окружности, то отношение длин окружностей равно отношению чисел зубьев n на каждой из них. Поэтому из (3) получаем:






(4)


2.3. Примеры расчета приближений передаточных чисел

Рассмотрим пару планет Земля-Луна как элемент механической модели солнечной системы. Для расчета соответствующих колес зубчатой передачи возьмем следующие приближенные значения земного года и периода обращения Луны вокруг Земли, выраженные в земных сутках:




; .

(5)

При этом:






(6)

Если в (5) считать все цифры верными, то последней верной цифрой в десятичной дроби (6) является четвертая цифра после запятой. Рассмотрим соответствующие подходящие дроби:




k

Дробь

0

0

1



2



3



4



5



6



Таблица 2. Последовательность подходящих дробей для системы Земля-Луна.
Видно, что удовлетворительная точность достигается уже в подходящей дроби четвертого порядка.

Рассмотрим пару планет Юпитер-Уран. Используем значения периодов обращения этих планет вокруг Солнца, выраженные в земных годах:




; .

(7)

При этом:






(8)

Если в (7) считать все цифры верными, то последней верной цифрой в десятичной дроби (6) является четвертая цифра после запятой. Рассмотрим соответствующие подходящие дроби:




k

Дробь

0

0

1



2



3



4



5



Таблица 2. Последовательность подходящих дробей для системы Юпитер-Уран.
Видно, что необходимая точность достигается уже в подходящей дроби третьего порядка.

Таким образом, при создании механической модели движения планет для достижения требуемой точности передаточного числа вовсе не нужно использовать колеса зубчатой передачи с большим числом зубьев. В последнем примере это 593 и 4201. Создание таких колес является технически весьма сложной задачей. Гораздо проще сделать колеса с числом зубьев 12 и 85.




2.4. Выводы

Проведенные расчеты показали, что аппарат цепных дробей существенно облегчает конструкторскую задачу разработки зубчатой передачи, позволяя получить возможные для технического исполнения значения зубьев колес передачи, при которых передаточное число приближается с достаточной точностью. Последовательность подходящих дробей позволяет также выбирать приближенные значения передаточных чисел для разработки механизмов, относящихся к различных классам точности.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В ходе работы получены следующие основные результаты:


  1. Изучено понятие цепных дробей.

  2. Рассмотрены примеры приближения различных чисел подходящими дробями (рациональные числа, квадратичные иррациональности, трансцендентные числа)

  3. Сформулирована постановка задачи о построении приближенного передаточного отношения для механической модели движения планет (аналог задачи Гюйгенса).

  4. Найдено решение этой задачи с помощью цепных дробей.


Вывод: применение цепных дробей позволяет находить приближенное решение задач о построении механических устройств, использующих принцип цилиндрической зубчатой передачи. Гипотеза исследования подтверждена.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



  1. Арнольд, В.И. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2000. – 40 с.

  2. Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра: Пособие для учащихся 10-11 кл. /Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.

  3. Леонова, Л.М. Зубчатые передачи. Элементы расчета и конструирования: Методические указания. /Л.М. Леонова, Н.Н. Чигрик, В.П. Татурова. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. – 45 с.

  4. Материалы сайта http://ru.wikipedia.org.

  5. Хинчин, А.Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978. – 112 с.

  6. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика /Глав. ред. М.Д.Аксенова. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.






Письменные просьбы легче отклонять, а письменные приказы легче отдавать, чем устные. Георг Лихтенберг
ещё >>