Теория вероятностей случайные события основные теоретические положения и формулы - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» 1 56.22kb.
Конспект «Предмет теории вероятностей. События. Вероятность события» 1 62.51kb.
2. Случайные величины дискретные и непрерывные случайные величины 4 521.17kb.
Семинаров 1 и 2 по курсу «Теория вероятностей, математическая статистика... 1 35.27kb.
Вопросы к экзамену по курсу «теория вероятностей и математическая... 1 24.7kb.
Вопросы по теории вероятностей 1 267.32kb.
Программа вступительного экзамена по специальности 05. 13. 18 «Математическое... 1 53.2kb.
1. Программа курса «теория вероятностей и математическая статистика»... 5 1432.57kb.
Теория вероятностей и математическая статистика 5 746.4kb.
Теория вероятностей для школьников Что изучает теория вероятностей 1 114.83kb.
Случайные события 1 61.99kb.
Конспект лекций по дисциплине " Теория вероятности и математическая... 10 393.54kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Теория вероятностей случайные события основные теоретические положения и формулы - страница №1/7

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Теория вероятностей – это раздел математики изучающий закономерности в случайных явлениях и процессах.

Случайное явление – это явление, которое при повторении опыта протекает каждый раз по иному.

Случайный процесс – это цепочка связанных каким-либо образом явлений.

Опыт (испытание) – целенаправленная, запланированная деятельность человека, как правило, неоднократно повторяемое, с целью изучения законов природы.

События (исход) – всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта.

Случайное событие – событие, которое в результате опыта может произойти, а может не произойти.

Например, стрельба по цели из орудия. Здесь выстрел из орудия можно трактовать как опыт, событие как – попадание снаряда в цель, случайное событие – как попадание или не попадание снаряда в цель.

Отметим две особенности теории вероятностей. Теория вероятностей имеет дело с массовыми случайными явлениями (много объектов исследования или опыт повторяется неоднократно). Именно в массовых случайных явлениях проявляется закономерность в виде устойчивости определенных характеристик. Свойство устойчивости лежит в основе теории вероятностей. Определенные особенности опыта в массе взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат оказывается практически не случайным. Например, при большом числе бросаний монеты отношение случаем выпадения герба к количеству бросков стремится к 0,5. Таким образом, теория вероятностей не может предсказывать исход отдельного опыта, он остается случайным, но дает возможность предсказать средний результат многократно повторяемых опытов.

Случайные события обозначаются большими буквами A, B, C,… События бывают простыми (элементарными), когда их нельзя разделить на более простые, и сложными, состоящими из композиции простых событий. Например, бросание одной монеты соответствуют два элементарных исхода – выпадение герба или решки. Для каждого опыта можно указать некоторую совокупность (множество) взаимно исключающих друг друга (альтернативных) элементарных событий.

Причем в результате опыта должен обязательно реализоваться один из них. Такая совокупность называется пространством элементарных событий и обозначается. Элементарные события обозначаются - , где i пробегает от 1 до n (количество элементарных событий). Пространство элементарных событий может быть конечномерным или бесконечномерным. Приведем пример конечного пространства. Бросают две монеты разного достоинства, имеется четыре альтернативных исхода (n = 4);

.

Примером бесконечного пространства является стрельба в мишень конечного размера, если попадание рассматривать как математическую точку. Пронумеровать все исходы, а это попадание в цель, невозможно.

Из элементарных событий можно составить более сложные события. Благоприятствующими событиями событию А называют такие события, в результате появления которых появляется и это событие А. например, при бросании двух монет событию А – выпадению одного герба – благоприятны два события: и и неблагоприятны: и . Событию В – выпадение хотя бы одного герба – благоприятны три элементарных события: , ,. Заметим, что понятие благоприятных событий очень важно для подсчетов вероятностей событий.

Для наглядной иллюстрации пространства элементарных событий служат диаграммы Вьена, где события изображаются в виде некоторых площадок или просто кругов Эйлера. На рис. 1.1 представлена диаграмма Вьена с тремя несовместными событиями А, В и С.




1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ
1. Достоверное событие – событие, которое при всех испытаниях обязательно наступает. Например, при бросании игральной кости, на каждой из сторон которой разное количество очков от 1 до 6, событие А, выпадение не более 6 очков, является достоверным. В этом случае и событие А заполняет всю диаграмму Вьена.

2. Невозможное событие – событие, которое никогда не наступает. Например, для того же примера с бросанием кости. Событие В – выпадение 12 очков, невозможное событие. В этом случае полагаем .

3. Несовместные события – это события, которые никогда не появляются совместно (одновременно). Например, выпадение герба и решки при одном бросании монеты. Такие события обозначаются на диаграмме Вьена непересекающимися кругами Эйлера.

4. Совместные события – это такие события, когда появление одного события А не исключает появление другого события В. Например, при вынимании из колоды карт туза – событие А, не исключает, что туз может быть пиковым – событие В. Совместные события на диаграмме Вьена могут быть представлены в виде перекрывающихся кругов Эйлера.



5. Равновозможные события – ни одно из событий не является более возможным, чем остальные. Такие события обладают одинаковой степенью реализации и обусловлены наличием симметрии в опытах. Например, кости должны быть однородными с правильными гранями, карты не крапленые, рулетка без тормоза и т.д. На диаграмме Вьена площадь кругов Эйлера в этом случае одинакова.

6. Полная группа событий. События образуют полную группу событий, если в результате опыта одно из них обязательно реализуется. То есть они в совокупности занимают все пространство элементарных событий. Например, .

7. Противоположные события можно рассматривать как частный случай полной группы событий с n = 2. Событие состоит в том, что событие А не произошло.


1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Различные события, как известно, отличаются различной степенью возможности из реализации. Поэтому для количественного сравнения степеней возможностей событий необходимо ввести некоторое число, которое тем больше, чем больше возможность реализации этого события. Такое число и называется вероятностью события.

Вероятность события – это численная мера степени объективной возможности этого события. Обозначается или . Здесь под скобками подразумевается не функциональная зависимость, а просто указание, что вероятность относится к событию А.

Кроме того, введем понятие случая. События называются случаями, если они образуют полную группу событий, равновозможны и несовместны. События, происходящие при азартных играх, и есть случаи. Если в опытах есть симметрия, то говорят, что они сводятся к «схеме случаем». Для таких опытов, возможно, непосредственно подсчитать вероятность того или иного события (случая). Подсчет вероятности основан на оценки доли благоприятствующих случаев в общем числе случаев. Это классическое определение вероятности. Если m – число благоприятствующих случаев событию А, а n – общее число случаев, то вероятность события А определяется как

,

где - мера события А. очевидно должно выполняться .



Примеры.

1. при бросании игральной кости возможно 6 случаев, чтобы найти вероятность выпадения четной цифры. Благоприятствующих событий выпадению четной цифры 3 – это 2, 4 и 6, поэтому .

2. В урне 5 красных, 3 синих, 7 желтых и 10 белых шаров. Найти вероятность, что случайно вытащенный из урны шар является цветным. Так как событию появления цветного шара благоприятны m = 15 шаров, а всего n = 25 шаров, то .
1.4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Математическим аппаратом вычисления вероятностей для «схемы случаев» является комбинаторика – один из разделов дискретной математики.

Основной задачей комбинаторики является задача о размещении элементов множества в соответствии со специальными правилами и выяснение, сколькими способами это можно осуществить. Важным в комбинаторики является понятие конечного счетного множества. Всякая конечная совокупность элементов произвольного рода называется множеством. Множество считается определенным, если указаны все его элементы с помощью какого-либо признака или с помощью некоторого списка, где обозначены все его элементы. Пространство элементарных событий можно рассматривать как конечное и счетное множество, а случайные события как элементы этого множества. Сложные события можно рассматривать как множество элементарных событий. Будем обозначать множества, как и события буквами A, B, C,…, а их элементы малыми буквами a, b, c,… Запись обозначает, что а есть элемент множества А. запись обозначает, что b не принадлежит множеству В. Множество характеризуется количеством элементов, которое для конечных множеств называется мощностью множества и обозначается или . Два множества считаются равными между собой , если элементы первого множества являются и элементами второго и наоборот: , . Пустым множеством называется множество , не содержащее ни одного элемента. Должно выполняться . Если каждый элемент множества , но не все элементы А входят в В, то В называют подмножеством А и обозначают . Запись обозначает включение до совпадения. Очевидно . Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число – номер элемента от 1 до n, где n – число натуральное, так, что различным элементам множества соответствуют различные числа. Всякое конечное множество можно сделать упорядоченным, если переписать все элементы в некоторый список и пронумеровать его. Обозначают упорядоченное множество как . Возможно рассмотрение упорядоченного подмножества данного множества A, которое может быть неупорядоченным. Если в множестве А имеется n элементов, то можно образовать подмножеств.

Существует два основных правила комбинаторики:


  • если два альтернативных (взаимно исключающих) действия могут быть выполнены n и m способами, то выполнение одного из них возможно n + m способами. Например, в вазе пять груш и два яблока, то способов выбрать один фрукт – семь;

  • если первое действие можно сделать n способами, а второе – m способами, то два действия можно сделать способами. Например, сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если:

  1. цифры могут повторяться;

  2. ни одна из цифр не повторяется больше одного раза;

  3. число должно быть нечетным и цифры могут повторяться.

Решение. а) Имеет три позиции. На первую позицию (сотни) претендует 6 цифр, а не семь, поскольку 0 исключается (иначе будет двухзначное число); на вторую позицию претендуют уже 7 цифр, так как 0 уже можно использовать (цифры могут повторяться); на третью позицию (единицы) опять претендуют 7 цифр. Таким образом, получаем трехзначных чисел.

б) В этом случае на первую позицию претендует, очевидно 6 цифр; на вторую (десятки) претендует уже 6 цифр, поскольку одна из цифр уже использована; на третье место претендует уже 5 цифр, поскольку две использовали. Таким образом, имеем трехзначных чисел.

в) В этом случае имеем чисел, поскольку нечетное число должно оканчиваться на нечетную цифру, а их три – 1, 3, 5.

Количество способов организации заданных подмножеств данного множества определяется известными комбинаторными коэффициентами.



Перестановки. Пусть множество А имеет n элементов, тогда количество способов различных их перестановок между собой определяется . Здесь , символ ! – знак факториала. Действительно, берем один из элементов множества и размещаем в любом месте упорядоченного множества. Способов это сделать n. Берем второй элемент и способов его размещения уже n - 1, так как одно место уже занято, и т.д. Последний элемент можно разместить только одним способом, так как остается незанятым только одно свободное место.

Примеры.

1. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке.

Решение. .

2. Сколькими способами можно переставить n элементов так, чтобы данные два элемента не стояли рядом?

Решение. Всего различных перестановок . Количество способов когда данные элементы стоят рядом, равно . Так как двумя способами их можно переставить между собой, n - 1 способами разместить среди n элементов и способами можно переставить оставшиеся n - 2 элементов, которые нас не интересуют. Таким образом, количество способов перестановки, учитывающих условие того, что заданные два элемента не стоят рядом, равно .

Размещения. Рассмотрим задачу о размещении k элементов из n элементов множества. Пусть само множество неупорядочено. Всего способов перестановок этого множества, как мы уже знаем, . Нас интересует упорядоченное распределение только k элементов из n. Остальные n - k элементов нас не интересуют, а способов их перестановки . Таким образом, количество перестановок элементов из , которое называется размещением и обозначается , будет определяться как

.

Пример. Сколькими способами можно рассадить 3 человек на 10 мест.

Решение. . Или по другому - количество способов разместить первого человека на 10 мест, очевидно, равно 10, второго 9, поскольку одно место уже занято, ну а третьего уже только 8. Итак, получаем .

Сочетания. Рассмотрим задачу о числе сочетаний k элементов из п элементов. Если нас не интересует взаимная перестановка k элементов из п, а их , а интересует только их сочетание (порядок не важен), то количество способов выбрать k элементов из п определяется как

и называется числом сочетаний k элементов из п элементов.



Примеры.

1. Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 12?

Решение. Нас не интересует последовательность выбора этих трех книг, а только их сочетание, поэтому .

2. В турнире принимают участие п шахматистов и каждые два из них встречаются между собой только один раз. Сколько партий будет сыграно?

Решение. .

Из формулы для определения числа сочетаний k элементов из п следует симметрия этого числа по индексам:



.

Числа являются коэффициентами бинома Ньютона и определяют постоянные в сумме



.

Так, для п = 2, , ; для п = 3, , .

Умножая бином Ньютона на , легко получить такое свойство:

.

Умножая бином Ньютона на можно получить еще одно свойство:



.

Задавая различные значения а и в биноме, можно получить следующие биноминальные тождества:

для ;

для .

Предпоследнее тождество определяет количество всех подмножеств множества А из п элементов, включая пусто множество.

Например. Пусть дано множество . Определить количество всех подмножеств, образующихся из этого множества.

. .

Перестановки с повторением. Если множество А имеет одинаковые повторяющиеся элементы, то их перестановка между собой не приводит к новому упорядоченному множеству. Поэтому надо исключить способы, когда меняются местами одинаковые элементы, число которых пусть будет , причем . Тогда количество способов перестановки элементов множества между собой так, чтобы при этом все комбинации были различными, определяется по формуле



Например, сколькими способами можно переставить буквы в слове "математика"? Видно, что буквы "м" и "т" встречаются по два раза, а буква "а" три раза, поэтому количество способов получить различные перестановки равно .

Размещения с повторением. Рассмотрим размещение k элементов с повторением из п элементов. Очевидно, что таких способов

.

Поясним на примере. Сколькими способами можно составить пятизначный номер из девяти цифр от 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причем цифры в номере могут повторяться? Так как


m = 5, и п = 9, то на все 5 позиций претендуют по 9 цифр: .

Сочетание с повторением. Пусть имеются п различных элементов множества и из них надо образовать k комбинаций, не принимая во внимание порядок в комбинации. Образуемые комбинации должны отличаться хотя бы одним элементом. В этом случае число сочетаний с повторением определяется

.

Действительно, если п элементов расположить по типам и их перенумеровать, а затем еще раз перенумеровать, прибавляя последовательно по единице к номеру каждого типа, то получим сочетание уже без повторений, состоящее из неповторяющихся чисел 1, 2, 3, ... ,


п + k - 1. Заметим, что все они различны, и при этом в каждое сочетание входят k элементов.

Примеры.

1. В магазине продаются пирожные 4 сортов. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение. Очевидно, что сорта пирожных среди купленных будут повторяться. Обозначим k = 7, п = 4.

.

2. Сколько костей домино, если на каждой из костей по две из 7 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение. .



следующая страница >>



Мужчина мечтает о девице, которая была бы курвой. Эдуард Далберг
ещё >>