Пример 1. Пусть, как и в [2], даны две выборки. Первая содержит m = 12 элементов 17; 22; 3; 5; 15; 2; 0; 7; 13; 97; 66; 14. Вторая содержит n = 14 элементов 47; 30; 2; 15; 1; 21; 25; 7; 44; 29; 33; 11; 6; 15. Проведем проверку однородности функций распределения двух выборок с помощью критерия Смирнова.

Переставим элементы первой выборки в в порядке возрастания: 0 < 2 < 3 < 5 < 7 < 13 < 14 < 15 < 17 < 22 < 66 < 97. Аналогично для второй выборки: 1 < 2 < 6 < 7 < 11 < 15 = 15 < 21 < 25 < 29 < 30 < 33 < 44 < 47. Точнее говоря, элементы переставлены в порядке неубывания, поскольку два элемента совпадают. С точки зрения теории вероятность совпадения двух элементов равна 0, но из-за неизбежных округлений эта вероятность положительна. Поскольку совпадений мало (как внутри одной выборки, так и для элементов разных выборок), то использование теории, основанной на нулевой вероятности совпадения элементов выборок, является допустимым.

Расчет значений статистик и целесообразно проводить с помощью разработанных нами таблиц 1 и 2 соответственно.
Таблица 1

Расчет значения статистики

№ п/п	Элементы выборок x	Номера выборок	Fm(x)	r/n	r/n – Fm(x)	Gn(x)		Gn(x)- (s-1)/m
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)
1	0	1	0			0	0	0
2	1	2	0,083	0,071	-0,012	0
3	2	1	0,083			0,071	0,083	-0,012
4	2	2	0,083	0,143	0,06	0,071
5	3	1	0,167			0,143	0,167	-0,024
6	5	1	0,25			0,143	0,25	-0,107
7	6	2	0,333	0,214	-0,119	0,143
8	7	1	0,333			0,214	0,333	-0,119
9	7	2	0,333	0,286	-0,047	0,214
10	11	2	0,417	0,357	-0,06	0,286
11	13	1	0,417			0,357	0,417	-0,06
12	14	1	0,5			0,357	0,5	- 0,143
13	15	1	0,583			0,357	0,583	-0,226
14	15	2	0,583	0,429	-0,154	0,357
15	15	2	0,583	0,5	-0,083	0,357
16	17	1	0,667			0,5	0,667	-0,167
17	21	2	0,75	0,571	-0,179	0,5
18	22	1	0,75			0,571	0,75	-0,179
19	25	2	0,833	0,643	-0,19	0,571
20	29	2	0,833	0,714	-0,119	0,643
21	30	2	0,833	0,786	-0,047	0,714
22	33	2	0,833	0,857	0,024	0,786
23	44	2	0,833	0,929	0,096	0,857
24	47	2	0,833	1,0	0,167	0,929
25	66	1	0,833			1,0	0,833	0,167
26	97	1	0,917			1,0	0,917	0,083

Таблица 2

Беря максимум по столбцу (6) табл.1, получаем, что . Таков же максимум и по столбцу (9), как и должно быть в соответствии с приведенным выше равенством. Максимум по столбцу (6) табл.2 равен 0,262, как и максимум по столбцу (9) той же таблицы. По формуле (3) значение двухвыборочной статистики Смирнова

В табл.6.5а справочника [4] приведены критические значения для двухвыборочной статистики Смирнова, соответствующие обычно используемым уровням значимости (табл.3). Поскольку полученное по статистическим данным значение меньше критического значения для уровня значимости = 0,1, а потому и для всех остальных рассматриваемых уровней значимости, то нет оснований отклонять гипотезу однородности. Как и при использовании критерия Вилкоксона [2], эффект не обнаружен, нулевую гипотезу абсолютной однородности принимаем.

Разработаны алгоритмы и программы для ЭВМ, позволяющие рассчитывать точные распределения, процентные точки и достигаемый уровень значимости для двухвыборочной статистики Смирнова , разработаны подробные таблицы (см., например, разработанную под нашим руководством методику [5], содержащую описание алгоритмов, тексты программ и подробные таблицы).

Однако у критерия Смирнова есть и недостатки. Его распределение сосредоточено в сравнительно небольшом числе точек. Ясно, что принимаемые этой статистикой значения пропорциональны величине 1/L, где L – наименьшее общее кратное объемов выборок m и n. Поэтому функция распределения растет большими скачками. Для рассматриваемого примера L – наименьшее общее кратное 12 и 14, т.е. 84. Следовательно, принимаемые статистикой Смирнова входят в арифметическую прогрессию с шагом 1/84 = 0,012. Именно поэтому критические значения в сборнике [4] приведены в виде дроби с знаменателем L = 84.

Кроме того, не удается выдержать заданный уровень значимости. Реальный (другими словами, истинный) уровень значимости может значительно, даже в несколько раз отличаться от номинального (подробному обсуждению неклассического феномена существенного отличия реального уровня значимости от номинального посвящена работа [1]).

При больших объемах выборок можно воспользоваться доказанной Н.В. Смирновым в 1939 г. теоремой: в случае совпадения непрерывных функций распределения элементов двух независимых выборок

,

где K(y) – функция распределения Колмогорова, заданная формулой

Поскольку согласно [4] квантиль порядка 0,9 функции распределения Колмогорова равна 1,224, то критическое значение двухвыборочной статистики Смирнова , соответствующее уровню значимости 10%, при больших объемах выборок имеет вид

При m=12, n=14 эта формула дает 0,4815, в то время как точное значение равно 0,464 (см. табл.3). Видим, что приближение удовлетворительное, т.е. рассматриваемые объемы выборок (более 10 элементов) можно считать большими. Для построения правил принятия решений на основе значений двухвыборочной статистики Смирнова, соответствующих другим уровням значимости, можно воспользоваться небольшой табл.4 квантилей функции распределения Колмогорова, взятой из справочника [4].

где H_m+n(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по объединенной выборке. Легко видеть, что

Статистика A типа омега-квадрат была предложена Э. Леманом в 1951 г., изучена М. Розенблаттом в 1952 г., а затем и другими исследователями. Она зависит лишь от рангов элементов двух выборок в объединенной выборке. Пусть - первая выборка, - соответствующий вариационный ряд, - вторая выборка, - вариационный ряд, соответствующий второй выборке. Поскольку функции распределения независимых выборок непрерывны, то с вероятностью 1 все выборочные значения различны, совпадения отсутствуют. Статистика А представляется в виде (см., например, [4]):

где r_i - ранг x'_i и s_j - ранг y'_j в общем вариационном ряду, построенном по объединенной выборке.

Расчет значения статистики А типа омега-квадрат (статистики Лемана-Розенблатта) по тем же данным, по которым были найдены значения статистик критериев Вилкоксона и Смирнова, представлен в разаработанной нами табл.5. Суммируя значения в столбце (6), получаем, что

.

Аналогично получаем с помощью столбца (9), что

Следовательно,

Известно [6], что

(в обозначениях [4]), где a₁(x) – предельная функция распределения классической статистики омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова), используемой для проверки согласия эмпирического распределения с заданным теоретическим.

Квантили функции распределения a₁(x) приведены в табл.6. Известно [4, 6], что в случае статистики Лемана-Розенблатта предельным распределением можно пользоваться и для выборок умеренного объема (5 и 7, 6 и 7, 7 и 7,8 и 8 и т.д.). Поскольку наблюдаемое значение А = 0,1621 меньше любого критического значения в табл.6, то гипотезу однородности двух рассматриваемых выборок следует принять.
Таблица 6

Квантили предельной функции распределения статистики омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова)

Величина a	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
Квантиль порядка a	0,245	0,347	0,461	0,620	0,743

Рекомендации по выбору критерия однородности. Для критерия типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта) нет выраженного эффекта различия между номинальными и реальными уровнями значимости. Поэтому мы рекомендуем для проверки абсолютной однородности функций распределения (гипотеза H₀) применять статистику А типа омега-квадрат. Если методическое, табличное или программное обеспечение для статистики Лемана - Розенблатта отсутствует, рекомендуем использовать критерий Смирнова.
Литература

1. Камень Ю.Э., Камень Я.Э., Орлов А.И. Реальные и номинальные уровни значимости в задачах проверки статистических гипотез // Заводская лаборатория. 1986. Т.52. № 12. С.55-57.

2. Орлов А.И. Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона? //Заводская лаборатория. 1999. Т.65. № 1. С.51-55.

3. Орлов А.И. О проверке однородности двух независимых выборок // Заводская лаборатория. 2003. Т.69. No.1. С.55-60.

4. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. - 416 с.

5. Методика. Проверка однородности двух выборок параметров продукции при оценке ее технического уровня и качества. – М.: ВНИИ стандартизации, 1987. – 116 с.