Сложение векторов

ГЕОМЕТРИЯ.

УРОК: «СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ»

Предмет: Геометрия

Тема: Сложение векторов

Класс: 9 класс
Педагог: Аширбекова Лариса Александровна, заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики.

Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа Кемеровской области
Город: Кемеровская область

Учащиеся должны:
Знать, как находится сумма двух и нескольких векторов, законы сложения векторов; какие векторы называются противоположными.

Уметь строить сумму данных векторов, пользуясь правилом треугольника и параллелограмма, применять правила при решении задач.
Ход урока.

Организационный момент: объяснить цели урока
Проверка пройденного материала:

Тестирование:

1. Верно ли утверждение:

Если = , то и коллинеарны

да нет

2. № 751 (б). Определите вид четырехугольника АВСD, если:

, а векторы

не коллинеарны. (трапеция)

3. №748 (в).

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы и

Да нет

III. Объяснение нового материала

План объяснения

1. Противоположные векторы

Определение:

Два вектора, имеющие равные модули и противоположные направления, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается (- ) и (произносится «минус »).

На рисунке изображены противоположные векторы и , т.е. = и . Если =, то = -

2. Правило треугольника

Если переместить тело из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С (Рисунок1), то суммарное перемещение из А в С представляется вектором . Так складывают векторы и :

В рассмотренном случае конец первого вектора является началом второго вектора . В общем случае векторы и складываются следующим образом ( рисунок справа). Сначала откладывают от какой-либо точки А вектор = , а потом от точки В вектор=. Тогда вектор представляет сумму векторов и : + = + =

3. Сумма двух векторов.

Итак, суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

В частности, если вектор

складывается с противоположным ему вектором (-

), то в сумме получается нулевой вектор:

+ (-

) = 0. Складывая векторы

по правилу треугольника, мы поступали так:

Выбирали точку А, откладывали от нее

, затем от точки В откладывали вектор

и получали вектор

. Покажем, что полученный таким образом результат, т.е. сумма

векторов

не зависит от выбора точки А. Для этого выберем какую-нибудь точку А₁, отличную от точки А. По правилу треугольника построили векторы

.Требуется проверить, что векторы

и АС равны. Действительно, т.к.

, то

, тогда АВВ₁А₁ - параллелограмм, отсюда АА₁ = ВВ₁. Аналогично из векторного равенства

вытекает, что

. Тогда т.к. два вектора

равны третьему вектору

, то

. Следовательно,АСС₁А₁ - параллелограмм, отсюда

При сложении векторов

имеют место следующие неравенства для модулей этих векторов:

 +     +  и  +    -  причем равенство  + =  -  достигается только в случае противоположно направленных векторов и .

Эти неравенства вытекают из неравенства треугольника для любых точек А,В и С ( в том числе и лежащих на одной прямой).

Анимация двух векторов.

4. Сложение векторов

При сложении векторов, как и при сложении чисел, выполняются переместительный и сочетательный законы. Кроме этого вы познакомитесь с правилом, по которому можно построить сумму двух неколлинеарных векторов.

5. Переместительный закон сложения.

Теорема: (Переместительный закон сложения векторов или коммутативность сложения)

Для любых векторов

справедливо равенство:

Доказательство: Рассмотрим сначала случай коллинеарных векторов

. Тогда либо

, либо

. Если

, то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор

, а затем от точки В отложим вектор

. Тогда по определению

. Теперь на прямой b а от произвольной точки А₁ отложим вектор

, затем

. Тогда по определению

, т.к. 

 = 

 + 

 и 

 = 

 +

. 

 и

 - скаляры, то

  + = +, поэтому =.

сли

, то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор

, а затем от точки В отложим вектор

. Тогда по определению

. Теперь на прямой b а от произвольной точки А₁ отложим вектор

, затем

. Тогда по определению

, т.к. 

 = 

 = 

 -

 и 

 = 

 =  

 -

. 

 и

 - скаляры, то

   - =  - , поэтому =.

6. Правило параллелограмма

Правило параллелограмма.

Раньше, чтобы получить сумму векторов и , мы пользовались правилом треугольника. В доказательстве предыдущей теоремы мы получили правило параллелограмма: Если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма. Итак, чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от произвольной точки О вектор = и = и построить параллелограмм ОАСВ. Тогда = +

Тренажер

Укажи вектор, равный сумме двух векторов

7.Сочетательный закон умножения

Операция сложения векторов, как и операция сложения чисел, обладает и сочетательным свойством.

Теорема: (Сочетательный закон сложения, или ассоциативность сложения).Для любых

справедливо равенство: (

+ (

)

Доказательство: Отложим от точки А вектор

, а затем от точки В - вектор

и от точки С - вектор

. Т.к. по правилу треугольника

И + =+=, то ( + )+ = (+)+=+ =

И + (+) = +(+)=+=. Итак, ( + )+ = + (+)

Теорема доказана.

Замечание: Сочетательный закон сложения векторов справедлив для любого числа векторов

Тренажер (отрабатываются навыки законов сложения)

Укажите недостающие значения в формулах.

8. Сумма нескольких векторов

Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий и т.д. Сумма векторов

обозначается так:

. Из определения вытекает способ построения суммы нескольких векторов.

Построим, например, сумму ++ + векторов , , и. От произвольной точки О отложим вектор =, от точки А отложим вектор =, а затем от точки В - вектор =, наконец, от точки С - вектор =. Тогда, по определению, вектор - сумма векторов , , и или = ++ +.

Тренажер (показ анимации сложения пяти и семи векторов)
Выводы по теме:

1. Два вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными.

2. Суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

3. Правилом треугольника называется следующее последовательное построение: сначала откладывают от произвольной точки А вектор =, а потом от точки В - вектор =. Тогда = +

4. Если вектор складывается с противоположным ему вектором, то в сумме получится нулевой вектор.

5. Теорема (Переместительный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: +=+

6. Правило параллелограмма: если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного параллелограмма.

7. Теорема(Сочетательный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: ( +)+ = +(+ ).

8. Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий.

9. Способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

10. Если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то суммой таких векторов будет нулевой вектор.

IV. Закрепление полученных знаний:

Тестирование:

1. Дан треугольник АВС. Выразите через векторы = и = вектор

А) -

Б) -

В) +

2. Векторы и отложены от точек А и А₁, причем = =, ==. Как называется фигура АСС₁А₁?

А) трапеция

б) параллелограмм

в) ромб

3. №770. Дан параллелограмм АВСD. Выразите вектор через векторы и, если =, =
а)

б)

в) =+
4. Какой вектор является суммой векторов , , и ?

А) Вектор

Б) Вектор

В) Вектор

V. Подведение итогов.
VI. Задание на дом: п.79-81, №№ 759, 761, 762 (а,в,г,д)