Ряды с неотрицательными членами - davaiknam.ru o_O
Ряды с неотрицательными членами - davaiknam.ru o_O
страница 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Похожие работы
|
Ряды с неотрицательными членами - страница №1/1
Теорема 2.1. Пусть все члены ряда неотрицательны: , . Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху и достаточно, чтобы была ограничена сверху хотя бы одна подпоследовательность последовательности его частичных сумм. Пример 2.1. Доказать, что если ряд , где , , сходится, то ряд также сходится. Решение. Пусть - последовательность частичных сумм первого ряда, а - второго ряда. Согласно теореме 2.1 (необходимость) из сходимости первого ряда следует, что последовательность ограничена сверху. Тогда ограничена сверху и последовательность : . Отсюда в силу условия следует, что для всех . Поэтому ограничена сверху последовательность . Применив теорему 2.1 (достаточность), мы видим, что сходится ряд . Пример 2.2. Доказать, что ряд расходится. Решение. Данный ряд состоит из положительных членов: , . В силу очевидного неравенства. , , последовательность частичных сумм ряда не ограничена сверху. Согласно теореме 2.1 это и означает расходимость данного ряда. Пример 2.3. Если и , , то ряд сходится или расходится одновременно с рядом . Решение. Пусть и - частичные суммы данных рядов. Поскольку , , то , , , . Сложив эти неравенства почленно, получим , т.е. . (2.1) Если ряд сходится, то по теореме 2.1 последовательность ограничена сверху. В силу неравенства (2.1) ограничена сверху подпоследовательность последовательности частичных сумм ряда . Согласно теореме 2.1 этот ряд сходится. С другой стороны, справедливы неравенства , , , Сложив эти неравенства почленно, получим , т.е. (2.2) Если ряд расходится, то (теорема 2.1) последовательность его частичных сумм не ограничена сверху. В силу неравенства (2.2) тогда не ограничена сверху и подпоследовательность . Отсюда следует расходимость ряда . Пример 2.4. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Если , то , . Поэтому не выполняется необходимое условие (1.5) сходимости ряда. Следовательно, при данный ряд расходится. Пусть . Тогда и , . Согласно примеру 2.1 исследуемый ряд сходится или расходится одновременно с рядом , т.е. с рядом , (2.3) где . Если , то и, как установлено в примере 1.5, ряд (2.3) сходится. Если , то и ряд (2.3) расходится. Итак, ряд сходится при и расходится при . Ряд называется гармоническим. Поскольку для него , то этот ряд расходится.
Для этого рассмотрим функцию , . Ее производная . Легко видеть, что при , при . Значит, - наибольшее значение функции . Поэтому при , и неравенство (2.4) доказано. Их этого неравенства следует, что . Поэтому , . Снова использовав (2.4), получаем . Значит, , . Таким образом, , . Ряд , как уже отмечалось, сходится. Следовательно, данный ряд сходится. При исследовании рядов, общий член которых содержит логарифмическую функцию, бывает полезным
. (2.5)
Для доказательства этого утверждения, покажем, что . (2.6) Если , то равенство (2.6) верно, поскольку , , а , т.к. . Пусть . Рассмотрим предел . Сделав в нем замену , получим . Положим . Применим правило Лопиталя раз: , т.к. . Итак, равенство (2.6) доказано. Согласно определению предела числовой последовательности, для найдется такой номер , что при справедливо неравенство , т.е. . Утверждение доказано. Пример 2.9. Доказать, что ряд расходится. Решение. Применяя неравенство (2.5), взяв в нем вместо , , , мы видим, что при . Значит, при , т.е. , . Поскольку ряд расходится, то расходится и исследуемый ряд. Пример 2.10. Исследовать на сходимость ряд , . Решение. При справедливо неравенство . Поэтому и, следовательно, , . При , и ряд расходится (см. пример 2.4). Тогда расходится ряд (теорема 1.1). Из неравенства , Согласно мажорантному признаку сравнения получаем, что при данный ряд расходится. Пусть . Тогда найдется число такое, что . Применив неравенство (2.5) для этого и , получим: при . Тогда , и ряд сходится (пример 2.4). Из неравенств согласно мажорантному признаку сравнения следует, что при данный ряд сходится.
Рассуждая как при решении примера 2.10, легко установить, что сходится ряд . Как уже упоминалось, сходится ряд . Согласно теореме 1.1 сходится ряд . Наконец, из неравенства (2.7) следует сходимость ряда . Упражнения. Используя мажорантный признак сравнения, исследовать на сходимость ряды 2.1-2.6: 2.1. . Ответ: сходится. 2.2 . Ответ: расходится. 2.3. . Ответ: сходится. 2.4. . Ответ: сходится. 2.5. . Ответ: расходится. 2.6. . Ответ: сходится. 2.7. Пусть ряд , где , , сходится. Доказать, что сходится ряд . Указание: применить неравенство .
Поступая также, как при решении примера 1.10, получим: и, аналогично, . Поэтому (см. (2.8)) при . Ряд сходится при (см. пример 2.4). Согласно следствию 2 данный ряд сходится при . При исследовании рядов, члены которых содержат факториалы, иногда бывает полезной формула Стирлинга: при . Пример 2.15. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Применив формулу Стирлинга: при . Ряд сходится при (см. пример 2.4). В силу следствия 2 исследуемый ряд сходится при . Упражнения. Используя признак сравнения в предельной форме, исследовать на сходимость ряды: 2.8. . Ответ: сходится. 2.9. . Ответ: сходится. 2.10. . Ответ: сходится. 2.11. . Ответ: сходится, если и расходится, если . 2.12. . Ответ: сходится, если и расходится, если . 2.13. . Ответ: сходится, если и расходится, если . Признак Даламбера. Ряд , 1) сходится, если существуют такие и , что для всех , в частности, если ; 2) расходится, если для всех , в частности, если . Если , то ряд может как сходится, так и расходится. Следствие. Пусть , и существует . Тогда при ряд сходится, а при - расходится. При ряд может как сходится, так и расходится. Пример 2.16. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Имеем: , . Поскольку для всех , то согласно признаку Даламбера ряд расходится. Пример 2.17. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Имеем: , , . Значит, , и в силу следствия признака Даламбера ряд расходится. Пример 2.18. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Имеем: , , и поэтому ряд сходится. Пример 2.19. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Имеем: , , . Значит, . Поскольку , то ряд сходится. Пример 2.20. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Имеем , , . Пусть . Все члены последовательности содержатся в последовательностях и . Поэтому , . Значит, , и признак Даламбера ответа не дает. Данный ряд можно исследовать с помощью приводимого ниже радикального признака Коши. Упражнения. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряды: 2.14. . Ответ: расходится. 2.15. . Ответ: сходится. 2.16. . Ответ: сходится. 2.17. . Ответ: сходится. 2.18. . Ответ: сходится. 2.19. . Ответ: расходится. 2.20. . Ответ: сходится.
Если , то ряд может как сходится, так и расходится. Следствие. Пусть , , и существует . Тогда при ряд сходится, а при - расходится. При ряд может как сходится, так и расходится. Пример 2.21. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Общий член данного ряда можно записать в виде . Ясно, что . Значит, для всех , где . Согласно радикальному признаку Коши ряд сходится. Пример 2.22. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Имеем: , , . Значит, , и согласно следствию радикального признака Коши ряд сходится. Пример 2.23. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Пусть . Имеем: , т.к. и, аналогично, . Поскольку , то . Значит, ряд сходится. Упражнения. Используя радикальный признак Коши, исследовать на сходимость ряды: 2.21. . Ответ: сходится. 2.22. . Ответ: сходится. 2.23. . Ответ: сходится. 2.24. . Ответ: сходится. 2.25. . Ответ: сходится. 2.26. . Ответ: расходится. 2.27. . Ответ: сходится.
и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. Пример 2.24. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Рассмотрим функцию при . Ясно, что и при , т.е. убывает на промежутке . Исследуем на сходимость несобственный интеграл: . Значит, несобственный интеграл сходится и согласно интегральному признаку Коши сходится и данный ряд. Пример 2.25. Исследовать на сходимость ряд , . Решение. Пусть , . При справедливо неравенство и, следовательно, . Пусть - наибольшие из чисел: 2 и . Поскольку функция положительна и убывает на промежутке , то для исследования ряда на сходимость можно применить интегральный признак Коши. При . Если , то и . Если , то и . При и . Значит, несобственный интеграл сходится при и расходится при . Пример 2.26. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Поскольку при , то и, стало быть, . Ряд расходится (см. пример 2.25). Согласно мажорантному признаку сравнения данный ряд расходится. Пример 2.27. Исследовать на сходимость ряд , . Решение. Если , то . Поэтому не выполнено условие (1.5) и ряд расходится. Пусть . Рассмотрим функцию на промежутке . Имеем: при . Функция положительна и убывает на промежутке . Исследуем на сходимость несобственный интеграл . Для этого найдем интеграл . Пусть . Применим формулу интегрирования по частям , положив , . Тогда , и . Поэтому . Если , то и согласно (2.6) предел существует и конечен. При этот предел бесконечен. При имеем: . Итак, несобственный интеграл и, следовательно, данный ряд сходятся при и расходятся при . Пример 2.28. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Пусть . Если , то, очевидно, и ряд расходится. Пусть . Тогда согласно (2.6) . Поэтому можно применить эквивалентность при , взяв . Имеем: при . Значит, . Использовав следствие 1 признака сравнения в предельной форме и пример 2.27, получаем, что данный ряд сходится при . Пример 2.29. Пусть , , и . Доказать, что ряд сходится. Решение. Выберем число так, что . Из определения верхнего предела следует, что найдется такое натуральное число , что при . Значит, . Поскольку , то получаем: . Поскольку , то . Но тогда, как установлено в примере 2.25, сходится ряд . Поэтому в силу мажорантного признака сравнения сходится ряд . Упражнения. Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряды: 2.28. . Ответ: расходится. 2.29. . Ответ: расходится. 2.30. . Ответ: сходится. 2.31. . Ответ: сходится. 2.32. . Ответ: ряд сходится при любом , если , и при , если ; ряд расходится при любом , если , и при , если . |