Название работы	Кол-во страниц	Размер
Рабочая учебная программа по дисциплине «Геометрия» для специальности...	5	575.69kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине «Дифференциальные уравнения...	1	195.94kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика»	1	132.58kb.
Программа дисциплины «математическая логика»	1	233.76kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине «Архитектура компьютера»...	1	80.8kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине «международное частное право»	3	607.34kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине: Теория оптимального управления...	1	44.27kb.
Учебная программа для специальности: ( рабочий вариант) 1-31 03 03...	1	196.37kb.
Учебная программа Дисциплины б5 «Математическая логика и теория алгоритмов»	1	127.11kb.
Программа учебной дисциплины по выбору 050201. 65 для специальности...	1	144.64kb.
Программа учебной дисциплины по выбору для специальности 050201.	1	195.08kb.
Полнота этимология	1	23.16kb.
Направления изучения представлений о справедливости	1	202.17kb.

Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский государственный педагогический университет»
Математический факультет

Кафедра алгебры и теории чисел

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
«Математическая логика»

для специальности «050201 – Математика»

по циклу ДПП.Ф.10 – Дисциплины предметной подготовки
(федеральный компонент)
Очная форма обучения Заочная форма обучения
Курс - 4 Курс - 6

Семестр – 8 Семестр – 11

Объем в часах всего – 126 Объем в часах всего – 126

в т.ч.: лекции – 30 в т.ч.: лекции – 8

практические занятия – 30 практические занятия – 6

самостоятельная работа – 66 самостоятельная работа - 112

Зачет – 8 семестр Зачет – 11 семестр

Контрольная работа – 11 семестр

Екатеринбург 2012

Рабочая учебная программа по дисциплине
«Математическая логика»
ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Екатеринбург, 2012. – 8 с.

Составитель:

Ершова Т.И., к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и теории чисел, математический факультет УрГПУ

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ (Протокол № 9 от 05.05.2012).

Зав. кафедрой Коробков С.С.

Декан математического факультета Толстопятов В.П.

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Современная математика может быть представлена как наука об абстрактных объектах таких, как вещественные числа, функции, поверхности, алгебраические системы и т.д. Математическая логика рассматривает новое направление в этой науке, сосредоточивая внимание на языке, используемом в математике, на способах определения абстрактных объектов и на законах логики, которыми мы руководствуемся, когда рассуждаем об этих объектах. Логики предприняли это изучение с надеждой понять природу математического опыта и в конечном счете внести вклад в математику как важными результатами, возникающими в самой логике (теорема Гёделя о неполноте является наиболее известным примером), так и их приложениями к другим разделам математики.

Курс математической логики для студентов математических специальностей педагогических вузов имеет своей целью изложить основы этой науки, познакомить студентов с формализованным аксиоматическим методом построения математических теорий, охватывающим также и логические средства; его основными составными частями: языком, аксиомами, правилами вывода; проблемами непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий.

Изучение математической логики, безусловно, будет способствовать более ясному представлению об общей структуре математических теорий, о математике в целом, а значит, и о школьной математике. Курс математической логики имеет разнообразные межпредметные связи с алгеброй и теорией чисел, геометрией, математическим анализом. Настоящая программа предусматривает также существенную связь его с курсом информатики. Это касается изучения языка первого порядка и формализованного построения математических теорий. Исчисление высказываний может быть изложено на основе книги Д.Шенфилда “Математическая логика”.

На практических занятиях студенты решают задачи по разделам «Логика высказываний», «Исчисление высказываний», «Логика предикатов», «Теории 1-го порядка», «Модели теорий». Они должны овладеть техникой логических преобразований, особенно обращению с кванторами, научиться доказывать выводимость формулы счисления высказываний с использованием правил вывода. По курсу математической логики предусматривается проведение двух контрольных работ.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

1. 
   . Учебно-тематический план очной формы обучения
   

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия			Самостоятельная работа
			Всего	Лекции	Практические
1.	Аксиоматический метод в математике	8	4	2	2	4
2.	Алгебра высказываний. Нормальные формы	32	16	8	8	16
3.	Исчисление высказываний	24	12	6	6	12
4.	Предикаты и кванторы	16	8	4	4	8
5.	Теории 1-го порядка	16	8	4	4	8
6.	Модель теории 1-го порядка	10	4	2	2	6
7.	Теорема полноты К.Геделя	10	4	2	2	6
8.	Теорема Геделя о неполноте	10	4	2	2	6
	Итого:	126	60	30	30	66

2.2 Учебно-тематический план заочной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия			Самостоятельная работа
			Всего	Лекции	Практические
1.	Аксиоматический метод в математике	11	1	1		10
2.	Алгебра высказываний. Нормальные формы	22	2	1	1	20
3.	Исчисление высказываний	16	2	1	1	14
4.	Предикаты и кванторы	16	2	1	1	14
5.	Теории 1-го порядка	16	2	1	1	14
6.	Модель теории 1-го порядка	16	2	1	1	14
7.	Теорема полноты К.Геделя	16	2	1	1	14
8.	Теорема Геделя о неполноте	13	1	1		12
	Итого:	126	14	8	6	112

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1. 
   Аксиоматический метод в математике
   

Аксиоматический метод в математике. Математическая логика и формализация математических теорий. Применение математической логики в других областях знаний.

2. 
   Алгебра высказываний. Нормальные формы
   

Алгебра высказываний. Операции над высказываниями и их свойства. Истинностные значения формул. Тавтологии - законы логики высказываний. Равносильность и преобразования формул. Нормальные формы. Представление истинностных функций формулами. Применение алгебры высказываний к переключательным схемам.

3. 
   Исчисление высказываний
   

Принципы построения исчислений высказываний (гильбертовского и генценовского типа). Классическое и конструктивное (Интуиционистское) исчисления. Аксиомы, правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из гипотез. Производные правила. Теорема дедукции. Характеристики исчислений высказываний – непротиворечивость, полнота, разрешимость и связанные сними теоремы. Независимость аксиом, правила вывода. Законы исключенного третьего и снятия двойного отрицания – законы классической логики. Эффективные и неэффективные доказательства.

4. 
   Предикаты и кванторы
   

Понятие предиката. Формулы логики предикатов. Истинностные значения формул. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений.

5. 
   Теории 1-го порядка
   

Языки 1-го порядка: переменные, логические и нелогические символы, термы и формулы. Однозначность построения термов и формул, часть формулы. Cвободные и связанные вхождения переменных. Операция подстановки терма в формулу и ее допустимость. Логические и нелогические аксиомы, правила вывода. Теоремы и доказательства в теории 1-го порядка

6. 
   Модели теории 1-го порядка
   

Структуры для языка 1-го порядка. Истинность формулы в структуре для языка 1-го порядка. Теорема истинности. Модель теории.

7. 
   Теорема полноты К. Геделя
   

Истинность формулы в теории. Две формы теоремы полноты К.Геделя. Изоморфизм моделей. Категоричность теории.

8. 
   Теорема Геделя о неполноте
   

Формализация математических теорий.

Примеры формализации математических теорий: теория групп, теория N, теория множеств. Проблема непротиворечивости в математике. Программа Гильберта. Метод формализации. Конструктивное направление в математике.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ
КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

1. 
   . Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
   

Формулы логики предикатов Истинностные значения формул. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений.

2. 
   Примерные темы курсовых работ
   

1. 
   Аксиоматический метод в математике.
   
2. 
   Решение логических задач.
   
3. 
   Математическая логика и формализация математических теорий.
   
4. 
   Некоторые применения математической логики.
   
5. 
   Теория формальных систем.
   
6. 
   Теории 1-го порядка. Формализация математических теорий.
   
7. 
   Теорема Геделя о неполноте.
   

4.3. Вопросы для зачета

1. 
   Аксиоматический метод в математике и формализация математических теорий.
   
2. 
   Алгебра высказываний.
   
3. 
   Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы.
   
4. 
   Построение исчисления высказываний в виде формальной системы.
   
5. 
   Свойства выводимых формул.
   
6. 
   Совпадение классов выводимых и тождественно истинных формул.
   
7. 
   Функции и предикаты.
   
8. 
   Формализация математических теорий на языке первого порядка.
   
9. 
   Аксиомы и правила вывода теории первого порядка.
   
10. 
    Модель теории первого порядка.
    
11. 
    Теорема о полноте.
    
12. 
    Алгоритмы и машина Тьюринга.
    
13. 
    Теорема Геделя о неполноте.
    

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Студент, изучивший дисциплину, должен знать:
– о применениях математической логики в вопросах обоснования математики;

– формализованный аксиоматический метод построения математических теорий, его основные составные части;

– проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий; алгебру высказываний и нормальные формы;

– применение алгебры высказываний;

– изложение исчисления высказываний в виде формальной теории; предикаты и кванторы;
– проблему разрешения для общезначимости и выполнимости;

– теории 1-го порядка, язык теории, теоремы и доказательства, модель теории, изоморфизм моделей, категоричность теории; теорему К. Геделя о полноте;

– алгоритмы, рекурсивные функции и их связь с аксиоматическим методом; теорему Геделя о неполноте.

Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:

– записывать математические утверждения с использованием логической символики;

– преобразовывать формулы, в частности, формулы с кванторами и предикатами;

– вычислять нормальные формы;

– применять алгебру высказываний;

– доказывать выводимость формулы исчисления высказываний; записывать математические утверждения на языке 1-го порядка;

– строить модели теории;

– проверять непротиворечивость, независимость системы аксиом.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

6.1.Рекомендуемая литература
Основная

1.	Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. пособие для студентов вузов по спец. "Математика" – М.: Академия, 2008. - 448 с.	50 экз.
2.	Лавров Н.Я., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, 5-е изд. – М.: Физмалит, 2004. – 256 с.	3 экз.
3.	Ершов Ю.Л., Е.А. Палютин. Математическая логика: учеб. пособие для вузов. – 4-е изд. стер. СПб.: Лань, 2005. – 336 с.	25 экз.

Дополнительная

Успенский, В. А. Вводный курс математической логики [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В. А. Успенский, Н. К. Верещагин, В. Е. Плиско. – М. : Физматлит, 2007. – 65 с. Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/75959/

6.2. Информационное обеспечение дисциплины

1. 
   Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет
   
   1. 
      www.exponenta.ru;
      
   2. 
      www.school.edu.ru),
      
   3. 
      http://e-lib.uspu.ru.
      

7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Карточки-задания для организации и контроля самостоятельной работы

8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ
Ершова Тамара Ивановна,

к.ф.-м.н.,

доцент каф. алгебры и теории чисел УрГПУ

Рабочий телефон: (343) 371-45-97