Название работы	Кол-во страниц	Размер
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	1	376.58kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	4	594.35kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	1	330.53kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки: 080500...	1	332.35kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	1	300.3kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	5	648.33kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	2	466.77kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	3	530.21kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	1	375.75kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	1	384.86kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Направление подготовки 080500.	3	488.34kb.
Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной величины.	1	26.39kb.
Направления изучения представлений о справедливости	1	202.17kb.

УДК ББК

Д
Принята Учебно-методическим советом от 28.06.2012г., протокол № 10.

Утверждена приказом ректора от 10.07.2012 г. № 143-т

Составитель: Л. А. Суяргулова

Д Дифференциальные и разностные уравнения: рабочая программа учебной дисциплины / сост. Л. А. Суяргулова. - Оренбург : ОГИМ, 2011. - 30 с.

Рабочая программа учебной дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» определяет ее содержание, объем, порядок изучения и преподавания студентам очной формы обучения направления подготовки 080500.62 «Бизнес-информатика». Программа составлена в соответствии с с ФГОС ВПО направления подготовки 080500.62 – «Бизнес информатика»и Положением «Рабочая программа учебной дисциплины, реализуемая по федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования» принятым в институте.

Рабочая программа учебной дисциплины

«Дифференциальные и разностные уравнения» адресована студентам заочной форм, обучающимся по направлению подготовки 080500.62 «Бизнес-информатика».

УДК ББК
© Суяргулова Л.А., составление, 2011

© ФГБОУ ВПО «ОГИМ», 2011
Содержание

1. 
   Цели освоения дисциплины
   
2. 
   Место дисциплины в структуре ООП ВПО
   
3. 
   Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
   дисциплины (модуля)
   
4. 
   Структура и содержание дисциплины (модуля)
   

4.1 Распределение трудоемкости в часах по всем видам
аудиторной и самостоятельной работы студентов

2. 
   Наименование тем, их содержание
   
3. 
   Тематический план изучения дисциплины
   

1. 
   Заочная форма обучения
   
2. 
   Компетенции обучающегося, формируемые в
   результате освоения дисциплины (модуля)
   

5 Образовательные технологии

6 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,

промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-
методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов

1. 
   Система и формы контроля
   
2. 
   Критерии оценки качества знаний студентов
   
3. 
   Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
   студентов
   

6.3.1 Виды самостоятельной работы

6.3.2 Примерный вариант контрольной работы для

студентов заочной формы обучения

6.3.3 Примерный перечень вопросов к зачету по всему

курсу

7 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины...

1. 
   Основная литература
   
2. 
   Дополнительная литература
   

1 ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Цели освоения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения»:

• 
  изучение основных математических понятий, их взаимосвязи и развития, а также отвечающих им методов расчета, используемых для анализа, моделирования и решения прикладных задач;
  
• 
  развитие алгоритмического и логического мышления студентов, овладение методами исследования и решения математических задач, выработка у студентов умения самостоятельно расширять свои математические знания и проводить математический анализ прикладных задач;
  
• 
  формирование знаний и четкого, ясного понимания основных объектов исследования дифференциальных уравнений и рядов, уравнений математической физики.
  

Задачи:

• 
  усвоить основные понятия и определения;
  
• 
  отчетливо знать формулировки прочитанных в курсе теорем существования и единственности, меть применять их к конкретным дифференциальным уравнениям;
  
• 
  усвоить элементарные методы интегрирования и приобрести навыки в решении примеров, в которых требуется либо найти все решения данного уравнения, либо решить задачу Коши и изучить свойства найденного решения;
  
• 
  овладеть общей теорией линейных уравнений и систем линейных уравнений, методами нахождения их решений;
  
• 
  применять методы качественного исследования для построения интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка, исследовать поведение фазовых траекторий линейных систем второго порядка с постоянными вещественными коэффициентами;
  
• 
  усвоить методы исследования устойчивости, как линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, так и линейных конечно-разностных уравнений;
  
• 
  иметь представление об использовании дифференциальных и разностных уравнений в экономике и социологии.
  

2 МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина «Дифференциальные и разностные уравнения» входит в «Математический и естественнонаучный цикл» и является базовой частью цикла для студентов, обучающихся по направлению 080500.62 «Бизнес -информатика».

Для изучения курса дифференциальных и разностных уравнений необходимо твердое знание студентами базового курса математики средней школы, курсов «Линейная алгебра» и «Математический анализ». Дифференциальные уравнения и ряды являются фундаментом для изучения других разделов курса высшей математики. Она призвана дать студентам математический аппарат, который будет использоваться в дальнейшем при изучении дисциплин профессионального цикла, таких как «Общая теория систем», «Исследование операций», «Анализ данных» и др., в учебно-исследовательской и научно-исследовательской работе.

В курсе выделено несколько разделов: обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков, системы ОДУ, основные методы интегрирования, задача Коши для ОДУ и нормальной системы ОДУ, общая теория линейных ОДУ и систем линейных ОДУ, основы теории устойчивости; линейные и нелинейные разностные уравнения, построение разностных схем, их корректность и устойчивость, сходимость разностных аппроксимаций к решению исходных дифференциальных уравнений. Курс имеет практическую часть в виде практических занятий, направленных на формирование навыков решения дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальные уравнения пригодны для описания и последующего конструктивного анализа многих проблемных ситуаций, в том числе не поддающихся описанию традиционными средствами классической математики, и позволяют при необходимости активно использовать современную вычислительную технику, новые информационные технологии.

Кроме того знания и навыки, полученные при изучении данной дисциплины, используются при выполнении курсовых работ по специальным дисциплинам и дипломном проектировании.

Рабочей программой дисциплины предусмотрено чтение лекций, проведение практических занятий. Дисциплина «Дифференциальные уравнения и ряды» общим объемом 72 часа изучается в течение второго курса и завершается зачетом.

3 КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

В процессе освоения данной дисциплины студент формирует и демонстрирует следующие общепрофессиональные компетенции:

• 
  способен использовать, обобщать и анализировать информацию, ставить цели и находить пути их достижения в условиях формирования и развития информационного общества (ОК-1);
  
• 
  способен самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, стремиться к саморазвитию (ОК-5);
  

В процессе освоения данной дисциплины студент формирует и демонстрирует следующие профессиональные компетенции:

• 
  способен при решении профессиональных задач анализировать социально-экономические проблемы и процессы с применением методов системного анализа и математического моделирования (ПК-2).
  
• 
  способен использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности и эксплуатировать современное электронное оборудование и информационно-коммуникационные технологии в соответствии с целями образовательной программы бакалавра (ПК-3);
  
• 
  способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
  
• 
  способен применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач (ПК-21);
  

В результате освоения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» обучающийся должен:

Знать:

• основные понятия - ОДУ порядка n система ОДУ, решение, общее,

частное, особое решение, задача Коши для ОДУ n-го порядка и для системы ОДУ n-го порядка, классификацию уравнений первого порядка, виды особых точек системы ОДУ на плоскости, обыкновенное разностное уравнение, его решение, свойства решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.

Уметь:

• уметь интегрировать уравнения 1-го и высших порядков (в том числе решать задачу Коши, краевую задачу), решать системы ОДУ, строить фазовый портрет на плоскости, ставить и решать разностную задачу.

Владеть:

• 
  навыками решения задач на составление дифференциальных уравнений.
  

4 СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Общая трудоемкость дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» составляет 1,5 зачетные единицы или 72 часа.

4.1 Распределение трудоемкости в часах по всем видам аудиторной и самостоятельной работы студентов

Таблица 4.1 - Виды аудиторной и самостоятельной работы студентов по дисциплине (заочная форма обучения)

Вид занятий	Количество часов в семестре		Всего часов
	1	2
	заочн.	заочн.	заочн.
Лекции (Л)	4	-	4
Практические занятия	4	-	4
Самостоятельная работа, в т.ч.		64	64
Подготовка к практическим занятиям (ПЗ)	8	-	8
Изучение тем дисциплины, выносимых для самостоятельного изучения (СИ)		56	56
Форма рубежного контроля		Зачет(4)	Зачет(4)
Итого часов:	16	124	140

4.2 Наименование тем, их содержание

Тема 1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (решение уравнения, интегральная кривая, задача Коши для уравнения в нормальной форме). Уравнение первого порядка в дифференциалах и методы его решения (уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение, уравнение в полных дифференциалах). Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной. Уравнение Бернулли.

Тема 2 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, задание начальных значений). Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение) Структура общего решения линейной неоднородной системы. Вариация постоянных.

Тема 3 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости нулевого решения линейного однородного уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частных решений неоднородного уравнения.

Тема 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Методы понижения порядка дифференциальных уравнений. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков. Методы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Тема 5 Количественный и качественный анализ автономных (стационарных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Общие понятия и свойства (решение системы, фазовая траектория, положения равновесия, циклы). Устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Полный анализ однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для случая двух неизвестных. Исследование нелинейных автономных систем вблизи положений равновесия по линейному приближению. Приложения к исследованию экономических моделей.

Тема 6 Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.

Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка.

Общие понятия для рекуррентного уравнения первого порядка в нормальной форме (решение уравнения, начальные условия, задача Коши, решение рекуррентного уравнения подстановкой). Линейное уравнение первого порядка (арифметическая и геометрическая прогрессии, частичные суммы и произведения, метод вариации постоянной).

Тема 7 Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.

Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Решение уравнения подстановкой.

Линейные разностные (рекуррентные) уравнения.

Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами.

Тема 8 Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений.

Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, начальные условия). Решение подстановкой. Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение). Методы решения систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости нулевого решения линейной однородной системы. Структура общего решения линейной неоднородной системы. Частные решения. Элементы количественного и качественного анализа нелинейных разностных (рекуррентных) уравнений. Приложения к исследованию экономических моделей.

4.3 Тематический план изучения дисциплины

4.3.1 Заочная форма обучения

Наименование разделов, тем	Аудиторная работа, час				Самостоятельная работа		Общий объем часов
	Л	Практ	КСР	Всего	Часы	Виды
1 Дифференциальные уравнения первого порядка	1			1	12	-	13
2 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.	1			1	10	ПЗ.СИ	11
ЗЛинейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами	1			1	8	ПЗ,СИ	9
4Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка	1			1	8	ПЗ,СИ	9
5Количественный и качественный анализ автономных (стационарных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме		1		1	8	ПЗ,СИ	9
6 Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.		1		1	6	ПЗ, СИ	7
7Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.		1		1	6	ПЗ, СИ	7
8Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений.		1		1	6	ПЗ СИ	7
Рубежный контроль				4			4
Итого часов:	4	4		12	64	-	140

5 ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки реализация компетентностного подхода предусматривает использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий. На занятиях по дисциплине «Дифференциальные и разностные уравнения» используются формы, указанные в таблице 5.1.

Таблица 5.1 - Технологии интерактивного обучения при разных формах занятий

Семестр	Наименование разделов, тем	Используемые образовательные технологии
1	1 Дифференциальные уравнения первого порядка	Практикум. Исследовательский метод
	2 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.	Практикум. Исследовательский метод
	З Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами	Решение ситуационных задач. Практикум.
	4Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка	Решение ситуационных задач Практикум. Исследовательский метод
	5Количественный и качественный анализ автономных (стационарных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме	Поисковый метод. Решение ситуационных задач Практикум. Исследовательский метод
	6 Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.	Решение ситуационных задач Практикум. Исследовательский метод
	7Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.	Практикум. Исследовательский метод
	8Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений.	Поисковый метод. Решение ситуационных задач Практикум. Исследовательский метод

6 ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

6.1 Система и формы контроля

Дисциплина предполагает следующие формы контроля:

1. 
   Предварительный контроль необходим для установления исходного уровня знаний студентов.
   
2. 
   Тематический контроль определяет степень усвоения обучающимися каждого раздела, их способности связать учебный материал с уже усвоенными знаниями, проследить развитие, усложнение явлений, понятий, основных идей
   
3. 
   Межсессионная аттестация проводится в форме контрольной
   работы.
   

4. Рубежной формой контроля является зачет.

6.2 Критерии оценки качества знаний студентов

Изучение дисциплины завершается зачетом.

Формой проведения зачета может быть собеседование по теоретическим и практическим вопросам по дисциплине или выполнение студентом тестового задания, с учетом текущего рейтинга. Тесты разрабатываются преподавателем и могут включать в себя как теоретические вопросы, так и практические задания, которые должен выполнить студент. Критерий рейтинга представлен в таблице 6.1-6.3

Таблица 6.1 – Текущий рейтинг (max 70баллов)

		Баллы
П1	Посещение всех лекций	max 5 баллов
П2	Присутствие на всех практических занятиях	max 5 баллов
П3	Оценивание работы ан практических занятиях	max 30 баллов
П4	Оценивание самостоятельной работы	max 30 баллов

Таблица 6.2 – Рубежный контроль (max 30баллов)

Оценка	Баллы
5	30
4	20
3	10
2	0

Таблица 6.3 – Академический рейтинг по дисциплине

Итоговая сумма баллов, с учетом успешного сданного экзамена	Оценка
85-100	5
65-84	4
50-64	3
0-49	2

кК едставлен

ки

6.3 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы

студентов

Виды самостоятельной работы студентов, обеспечивающие реализацию цели и решение задач данной рабочей программы:

• 
  подготовка к практическим занятиям;
  
• 
  изучение тем дисциплины, выносимых для самостоятельного изучения студентам заочной формы изучения;
  
• 
  выполнение контрольной работы;
  
• 
  подготовка и сдача зачета.
  

6.3.1 Примерный вариант контрольной работы для студентов заочной

формы обучения

1. 
   Решите задачу Коши и укажите промежуток
   наибольшей длины, на котором решение этой задачи определено.
   
2. 
   Решите задачу Коши и вычислите для
   решения этой задачи значение
   
3. 
   Найдите решениеуравнения,
   удовлетворяющее условию. Вычислите для этого решения значение л:(3).
   
4. 
   Найдите все решения уравнения
   
5. 
   Решите задачу Коши , и вычислите для
   решения этой задачи значение
   
6. 
   Для последовательности, удовлетворяющей рекуррентному уравнению
   

и условию, вычислите величину

7. 
   Укажите все возможные значения дробидля всех тех решений рекуррентного
   уравнения , для которых она определена.
   
8. 
   Решите систему уравнений
   
9. 
   Решите неоднородную систему уравнений
   

и изобразите фазовый портрет однородной системы.

10. Найдите все значения параметра Ь, при которых нулевое решение уравнения

асимптотически устойчиво


6.3.2 Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу

1. 
   ДУ первого порядка, его решение, геометрическое истолкование ДУ и его решений
   
2. 
   Интегрирование некоторых типов ДУ первого порядка:
   

S с разделяющимися переменными

■S однородные

S линейные

S Бернулли в полных дифференциалах

3. 
   ДУ высших порядков, допускающих понижение порядка
   
4. 
   Линейные однородные ДУ высших порядков, в частности, второго порядка:
   

S линейная зависимость и независимость функций

S вронскиан, необходимое и достаточное условие линейной зависимости

функций S определитель Вронского решений линейного однородного ДУ второго

порядка S теорема о структуре общего решения

5. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами:

S характеристическое уравнение, характеристические числа S общее решение прии(вещ.)

S общее решение при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения, его вещественная форма

6. 
   Линейные неоднородные ДУ второго порядка, теорема о структуре общего
   решения, теорема о суперпозиции решений
   
7. 
   Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Отыскание частного решения для правой части специального вида методом неопределенных коэффициентов
   
8. 
   Обобщение результатов на линейные уравнения n-го порядка
   
9. 
   Основные понятия о дифференциальных уравнениях n-го порядка
   
10. 
    Определитель Вронского. Критерий линейной независимости системы функций
    
11. 
    Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение
    
12. 
    Фундаментальная система решения. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка
    
13. 
    Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
    
14. 
    Построение общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
    
15. 
    Определение линейно зависимых и независимых функций. Первое свойство линейной зависимости
    
16. 
    Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
    
17. 
    Уравнение Бернулли
    
18. 
    Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения п-го порядка
    
19. 
    Уравнение в полных дифференциалах
    
20. 
    Решение линейных неоднородных уравнений второго порядка со специальной правой частью
    
21. 
    Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
    
22. 
    Построение фундаментальной системы решений для ЛОУ второго порядка с постоянными коэффициентами
    
23. 
    Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
    
24. 
    Уравнения в полных дифференциалах
    

6. 
   Теорема о суперпозиции решений линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
   
7. 
   Задача Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение
   

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка7 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

7.1 Основная литература

1. 
   Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного
   исчисления.- М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.
   
2. 
   Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу дифференциальных и
   разностных уравнений.- М: Изд-во ГУВШЭ, 1998.
   

7.2 Дополнительная литература

1. 
   1 Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию.-
   М: Изд-во ГУВШЭ, 2000.
   
2. 
   Тарасевич Д.С., Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И.
   Макроэкономика. Учебник. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского
   университета экономики и финансов. 1999.
   

Учебно-программное издание
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И РЯДЫ

Рабочая программа дисциплины

Составитель:

Суяргулова Лилия Александровна

Книга выходит в авторской редакции

Подп. в печать 00.00.00. формат 60x84 Vi₆.

Бум. офсетная. Гарнитура «Times». Печать цифровая.

Объём 00 уч.-изд. л. Тираж 000 экз. Заказ № 00.

Отпечатано в типографии ГОУВПО «ОГИМ» 460038, г. Оренбург, ул. Волгоградская, д. 16.