Похожие работы
|
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 01. 05 теория - страница №1/1
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
Высшая школа экономики
УТВЕРЖДЕНО
Проректор НИУ-ВШЭ
________________ С.Ю. Рощин
«___»________________ 2013 г. Одобрена на заседании
кафедры высшей математики
МИЭМ НИУ ВШЭ
28 июня 2013 г.
Заведующий кафедрой
высшей математики
МИЭМ НИУ ВШЭ
______________ Л.И. Кузьмина
ПРОГРАММА
вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика
Москва, 2013 год.
Раздел 1. Теория вероятностей.
-
Основные понятия теории вероятностей.
-
Случайное явление в объективной реальности. Случайный эксперимент. Математическое описание случайного эксперимента.
-
Пространство элементарных событий. Алгебра и σ – алгебра событий. Операции над событиями и их свойства.
-
Вероятность как характеристика случайного события. Аксиомы вероятности (система Колмогорова). Свойства вероятности.
-
Основные вероятностные схемы.
Классическое определение вероятности. Дискретные вероятностные пространства. Геометрические вероятности. Абсолютно непрерывные вероятностные пространства.
-
Условные вероятности и независимость.
-
Понятие условной вероятности. Вероятность совместного осуществления событий (формула умножения вероятностей). Независимость системы событий.
-
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
-
Последовательность независимых испытаний.
Вероятностное описание последовательности независимых испытаний (схема Бернулли). Дискретные вероятностные распределения, связанные с последовательностью независимых испытаний.
-
Случайные величины и распределения вероятностей.
-
Понятие случайной величины (идея и формальное определение).
-
Функции распределения случайных величин и их свойства.
-
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины и соответствующие вероятностные распределения. Общее описание. Основные виды дискретных и абсолютно непрерывных вероятностных распределений.
-
Совместные распределения системы случайных величин. Независимость случайных величин.
-
Распределения функций от случайных величин.
-
Числовые характеристики случайных величин и соответствующих вероятностных распределений.
-
Определение математического ожидания случайной величины. Свойства математического ожидания.
-
Определение дисперсии случайной величины. Свойства дисперсии.
-
Моменты и центральные моменты высших порядков.
-
Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин.
-
Классические неравенства, связанные с моментами. Неравенство Коши – Буняковского. Неравенство Минковского. Неравенство Чебышева.
-
Условные математические ожидания и условные распределения вероятностей относительно отдельных событий. Условные математические ожидания относительно систем событий.
-
Многомерное нормальное (гауссовское) распределение и его моментные характеристики.
-
Предельные теоремы в теории вероятностей.
-
Классические предельные теоремы в схеме независимых испытаний (локальная и интегральная).
-
Математический аппарат для доказательства предельных теорем. Производящие функции. Характеристические функции случайных величин и их основные свойства. Связь характеристических функций с моментами. Формула обращения и теорема единственности. Теорема непрерывности (необходимое и достаточное условие слабой сходимости в форме сходимости характеристических функций).
-
Закон больших чисел. Идея вероятностного свойства, называемого законом больших чисел. Закон больших чисел в форме Хинчина. Теорема о достаточных условиях применимости закона больших чисел к последовательности независимых, произвольным образом распределенных случайных величин.
-
Усиленный закон больших чисел. Теорема Колмогорова о достаточных условиях применимости усиленного закона больших чисел к последовательности независимых, произвольным образом распределенных случайных величин.
-
Центральная предельная теорема теории вероятностей и ее различные формы. Центральная предельная теорема для сумм независимых, одинаково распределенных случайных величин (теорема Ляпунова). Центральная предельная теорема для сумм произвольных независимых случайных величин. Условие Линдеберга.
-
Различные виды сходимости последовательностей случайных величин.
Сходимость по вероятности. Сходимость в среднем квадратическом, сходимость в среднем порядка p , 0 < p < ∞ . Сходимость с вероятностью, равной единице (сходимость почти наверное). Сходимость по распределению (слабая сходимость). Связи между различными видами сходимости.
Раздел 2. Основы теории случайных процессов.
-
Понятие случайного процесса. Случайный процесс как математический объект.
-
Первый подход к определению случайного процесса (случайный процесс как семейство случайных величин, зависящих от временного параметра). Случайный процесс как функция двух аргументов. Траектории случайного процесса. Конечномерные распределения случайного процесса.
-
Второй подход к определению случайного процесса (случайный процесс как измеримое отображение). Пространство траекторий.
-
Теорема Колмогорова о существовании случайного процесса с заданной системой конечномерных распределений.
-
Марковские процессы с дискретным временем и дискретным множеством состояний (цепи Маркова).
-
Определение марковской цепи. Различные формы марковского свойства.
-
Вероятности перехода марковской цепи и их свойства. Уравнения Колмогорова – Чепмена. Представление произвольных совместных распределений через вероятности перехода.
-
Классификация состояний марковской цепи. Определения свойств существенности, возвратности, положительности и периодичности. Связи между свойствами существенности, возвратности и положительности для конечных и счетных марковских цепей.
-
Предельное, эргодическое и стационарное распределения марковской цепи. Теоремы о необходимых и достаточных условиях существования эргодического распределения для конечной и счетной марковских цепей.
-
Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний.
-
Определение марковского процесса.
-
Вероятности перехода марковского процесса и их свойства. Представление произвольных совместных распределений через вероятности перехода.
-
Инфинитезимальные характеристики марковского процесса (интенсивности перехода и выхода из данного состояния). Соотношения между интенсивностями перехода и выхода.
-
Дифференциальные уравнения Колмогорова относительно переходных вероятностей (прямая и обратная системы).
-
Свойства траекторий марковского процесса. Распределения вероятностей, описывающие характер траекторий.
-
Процесс гибели и размножения. Основные свойства. Условия существования предельного (стационарного) распределения. Аналитическое представление для предельного распределения.
-
Пуассоновский процесс. Различные определения пуассоновского процесса. Вероятности состояний и вероятности перехода пуассоновского процесса. Свойства траекторий.
-
Марковские процессы с непрерывным временем и непрерывным множеством состояний.
-
Вероятностные характеристики марковского процесса. Вероятности перехода и их свойства. Плотности вероятностей перехода. Представление произвольных совместных распределений значений процесса через плотности вероятностей перехода.
-
Определение диффузионного процесса. Дифференциальные уравнения для диффузионного процесса: обратное уравнение Колмогорова и прямое уравнение Колмогорова – Фоккера – Планка.
-
Винеровский процесс (броуновское движение). Определение винеровского процесса. Вероятностные характеристики винеровского процесса. Свойства траекторий.
Раздел 3. Математическая статистика.
-
Основные понятия математической статистики.
Задачи математической статистики. Понятие выборки. Вариационный ряд выборки. Эмпирическая (выборочная) функция распределения. Свойства эмпирических функций распределения. Гистограмма. Выборочные моменты. Моменты выборочных среднего и дисперсии.
-
Основы теории оценивания неизвестных параметров распределений.
-
Понятие точечной статистической оценки. Несмещенные оценки. Оптимальность несмещенной оценки. Несмещенные оценки с минимальной дисперсией.
-
Неравенство Рао – Крамера. Эффективность оценки. Критерий Бхаттачария оптимальности оценки.
-
Оценки максимального правдоподобия. Определение. Уравнения правдоподобия. Общие свойства оценок максимального правдоподобия. Асимптотические свойства оценок максимального правдоподобия (состоятельность, асимптотическая нормальность).
-
Интервальное (доверительное) оценивание. Построение доверительных интервалов с использованием распределения точечной оценки параметра.
-
Проверка статистических гипотез.
-
Основные понятия и общие принципы теории проверки гипотез.
-
Проверка гипотезы о виде распределения. Критерий согласия Колмогорова. Критерий согласия хи – квадрат К. Пирсона. Критерий хи – квадрат для сложной гипотезы. Критерий пустых ящиков.
-
Гипотеза и критерии однородности. Критерий однородности Смирнова. Критерий однородности хи – квадрат.
-
Гипотеза независимости. Критерий независимости хи – квадрат. Критерий Спирмена. Критерий Кендалла.
-
Регрессионный анализ.
-
Модель линейной регрессии. Описание модели. Оценивание неизвестных параметров (коэффициентов регрессии) в модели линейной регрессии. Метод наименьших квадратов. Оптимальность оценки, полученной по методу наименьших квадратов.
-
Модель нормальной регрессии. Оценки максимального правдоподобия для неизвестных параметров нормальной регрессии. Совпадение оценок, полученных по методу наименьших квадратов, с оценками максимального правдоподобия.
-
Общая линейная гипотеза нормальной регрессии. F – критерий для проверки линейной гипотезы.
Основная литература
-
Айвазян С.А., Мхитарян В.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. –М.: издательство Юнити-ДАНА, 2001.
-
Боровков А.А. Теория вероятностей, –М.: издательство Едиториал УРСС, 2003.
-
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. –М.: издательство ЛКИ, 2007.
-
Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. – М.: издательство ЛКИ, 2010.
-
Карлин С. Основы теории случайных процессов. –М.: издательство Мир, 1973.
-
Чжун К.Л., АитСахлиа Ф. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика. –М.: издательство Бином. Лаборатория знаний, 2007.
-
Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. –М.: издательство Государственный университет – Высшая школа экономики, 2005.
-
Ширяев А.Н. Вероятность (в двух томах). –М.: издательство МЦНМО, 2007.
-
F.M. Dekking, G. Kraaikamp, H.P. Lopuhaa, L.E. Meester. A Modern Introduction to Probability and Statistics. Cambridge University Press, 2005.
-
Y. Suhov, M. Kelbert. Probability and Statistics by Exemple. Cambridge University Press, 2005.
Дополнительная литература
-
Боровков А.А. Математическая статистика. –М.: издательство Физматлит, 2007.
-
Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. –М.: издательство Дрофа, 2003.
-
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. –М.: издательство Высшая школа, 2000.
-
Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. –М.: издательство Наука, 1977.
-
Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. –М.: издательство Книжный дом «Либроком», 2012.
-
Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков А. В. Задачи с решениями по математической статистике. –М.: издательство Дрофа, 2007.
-
Крамер Г. Математические методы статистики. –М.: издательство Мир, 1975.
-
Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. –М.: издательство Наука, 1985.
-
Теория вероятностей и математическая статистика: энциклопедия. Главный редактор Ю.В. Прохоров. –М.: издательство Большая Российская энциклопедия , 1999.
-
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения (в двух томах). –М.: издательство Книжный дом «Либроком», 2010.
-
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. –М.: издательство Дрофа, 2007.
-
Renyi A. Probability Theory. –Amsterdam, North – Holland, 1970.
|