Название работы	Кол-во страниц	Размер
Программа по дисциплине утверждено	1	168.35kb.
Программа по дисциплине утверждено	1	43.34kb.
Программа по дисциплине утверждено	1	208.4kb.
Основная образовательная программа подготовки бакалавра по направлению...	1	358.27kb.
Утверждено: Утверждено	1	98.51kb.
Учебно-методический комплекс по дисциплине фаунистическое право Для...	3	575.59kb.
Программа собеседования по дисциплине «математика»	1	95.06kb.
Основная образовательная программа по специальности «география» 050103...	1	56.79kb.
Утверждено обвинительное заключение по умышленному повреждению захоронения...	1	9.54kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	18	2384.21kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине конспект лекций по дисциплине	6	896.02kb.
Методические указания по изучению дисциплины Действительный анализ...	1	108.69kb.
Направления изучения представлений о справедливости	1	202.17kb.

УТВЕРЖДЕНО Ученым советом факультета математики и информационных технологий Протокол №________ от «____»_________2008 г. Председатель __________________А.А. Бутов (подпись, расшифровка подписи)

Рабочая программа

Дисциплина:	Математический анализ
Кафедра:	Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____ (аббревиатура)

Специальность (направление): 01.01.00 Математика

(код специальности (направления), полное наименование)

Дата введения в учебный процесс УлГУ: «_____» ___________ 2008 г.

Сведения о разработчиках:

ФИО	Аббревиатура кафедры	Ученая степень, звание
Штраус Леонид Авраамович	АГВ	к.ф.-м.н., доцент

	Заведующего кафедрой
	Мищенко С.П. /_____________/ (ФИО) (Подпись) «______»__________ 2008 г.

Оглавление

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Учебная дисциплина «Математический анализ» является одной из фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами первых курсов, обучающихся на специальностях математического профиля. Она является обязательной общепрофессиональной дисциплиной. «Математический анализ и алгебра, переплетаясь, образовали ту корневую систему, на которой держится разветвлённое дерево современной математики и через которую происходит его основной живительный контакт с внематематической сферой. Именно по этой причине основы анализа включаются как необходимый элемент даже самых скромных представлений о так называемой высшей математике». На языке математического анализа построены модели и изучаются закономерности многих процессов реального мира.

Дисциплина «Математический анализ» базируется на знаниях и умениях, полученных студентами в школе.

1. Цели

Целями изучения дисциплины являются:

1. 
   овладение начальными знаниями по математическому анализу, необходимыми для изучения других дисциплин специальности
   
2. 
   развитие навыков решения задач по математическому анализу
   

2. Задачи

Основными задачами учебной дисциплины являются:

1. формирование у будущих математиков комплексных знаний об основных структурах и методах исследования в математическом анализе.

2. приобретение студентами навыков и умений по решению простейших задач математического анализа.

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Математический анализ» студенты должны

знать основные понятия (и соответствующие факты ) данного курса:

множества и функции, поле действительных чисел, предел последовательности и функции, непрерывность функции, точки разрыва, дифференцируемая функция, дифференциал, производная, монотонная функция, экстремум, выпуклость, точки перегиба, асимптоты;

уметь решать простейшие задачи по данному курсу:

1. Находить пределы последовательностей; находить пределы рациональных и иррациональных выражений непосредственно и с помощью табличных эквивалентностей.

2. Находить точки разрыва функции и определять их тип.

3. Владеть техникой дифференцирования: применять правило дифференцирования сложной функции, приём логарифмического дифференцирования, дифференцировать параметрически и неявно заданные функции, находить производные высших порядков.

4. Применять дифференциал и формулу Тейлора к приближённым вычислениям, в том числе с заданной степенью точности.

5. Находить пределы (раскрывать неопределённости) с помощью правила Лопиталя и формулы Тейлора.

6. Проводить с помощью производной исследование функций и строить их графики.


3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Объем дисциплины и виды учебной работы:

Вид учебной работы	Количество часов (форма обучения очная)
	Всего по плану	В т.ч. по семестрам
		1	2	3
1	2	3	4	5
Аудиторные занятия:	144	144
Лекции	72	72
практические и семинарские занятия	72	72
Самостоятельная работа	144	144
Всего часов по дисциплине	288	288
Текущий контроль (количество и вид, контрольные работы)	3	3
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации (экзамен, зачет)	зачет, экзамен	зачет, экзамен

2. Распределение часов по темам и видам учебной работы:

Форма обучения очная

Название и разделов и тем	Всего	Виды учебных занятий
		Аудиторные занятия		Самостоятельная работа
		лекции	практические занятия, семинар
1	2	3	4	5
1. Множества и функции	9	6	3	9
2. Поле действительных чисел	7	6	1	7
3. Предел последовательности	16	10	6	16
4. Предел функции	26	10	16	26
5. Непрерывные функции	16	10	6	16
6. Дифференцируемые функции	24	10	14	24
7. Основные теоремы дифференциального исчисления	20	10	10	20
8. Исследование функций с помощью производных. Построение графика функции.	26	10	16	26
Итого	144	72	72	144

3. СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1: Множества и функции.

Множества и операции над ними. Отношения на множествах. Функции. Простейшая классификация функций. Свойства функций. Функция как отношение. Мощность множества. Теорема Кантора-Бернштейна. Счётные множества и их свойства. Мощность множества рациональных чисел. Существование несчётных множеств. Континуум. Мощность множества всех подмножеств данного множества.
Тема 2: Поле действительных чисел.
Принципы минимума и математической индукции для . Определение поля и упорядоченного поля. Примеры. Грани числовых множеств. Полное поле. Неполнота поля Q. Вещественные числа как бесконечные дроби. Плотность Q в R. Принципы полноты поля R. Открытые и замкнутые множества в R, их свойства. Понятие секвенциальной компактности. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Понятие компактности. Лемма Бореля-Лебега.

Тема 3. Предел последовательности.

Определение предела последовательности. Единственность. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические свойства. Предельный переход в неравенствах. Фундаментальность. Критерий Коши. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Число е. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Нижний и верхний пределы последовательности. Их свойства.
Тема 4. Предел функции.
Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Гейне и Коши. Бесконечно малые и финально ограниченные величины. Их свойства. Арифметические свойства предела функции. Предельный переход в неравенствах. Первый и второй замечательные пределы.Предел функции по базе. Предел композиции функций. Критерий Коши существования предела функции. Сравнение асимптотического поведения функций. Свойства
Тема 5. Непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке. Различные определения. Непрерывность основных элементарных функций. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация. Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака, непрерывность суммы, произведения, частного, композиции. Глобальные свойства: теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и её следствие. Теорема Вейерштрасса о максимальном значении. Критерий непрерывности монотонной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Теорема об обратной функции.
Тема 6. Дифференцируемые функции.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Примеры вычисления. Односторонние производные. Касательная. Производные суммы, произведения, частного. Дифференцируемость функции в точке. Связь с существованием производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал,его свойства, геометрический смысл. Производная сложной функции. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Тема 7. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теоремы Ферма, Ролля и теорема Лагранжа о конечном приращении. Теорема Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши. Локальная формула Тейлора. Формулы Тейлора основных элементарных функций. Оценка остаточного члена. Приближённые вычисления. Правило Лопиталя.

Тема 8. Исследование функций с помощью производных. Построение графика функции.

Условия монотонности функции. Необходимые условия внутреннего экстремума. Достаточные условия экстремума ( в том числе в терминах высших производных). Выпуклая функция. Необходимые и достаточные условия выпуклости для дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Схема полного исследования функции. Построение графиков.

4. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Множества и функции. Поле действительных чисел.

2. Предел последовательности и подпоследовательности.

3. Предел функции.

4. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.

5. Равномерная непрерывность функции.

6. Техника дифференцирования.

7. Геометрический смысл производной.

8. Дифференциал.

9. Производные и дифференциалы высших порядков.

10. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

11. Формула Тейлора.

12. Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.

13. Нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, наибольших и наименьших значений, промежутков выпуклости, точек перегиба. Доказательство неравенств.

14. Построение графиков функций, а также кривых, заданных параметрически и в полярных координатах.

5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ

Требования к уровню знаний и умений студентов на зачете.

Необходимо владеть основными понятиями и решать простейшие задачи по данному курсу:

1. Находить пределы последовательностей; находить пределы рациональных и иррациональных выражений непосредственно и с помощью табличных эквивалентностей.

2. Находить точки разрыва функции и определять их тип.

3. Владеть техникой дифференцирования: применять правило дифференцирования сложной функции, приём логарифмического дифференцирования, дифференцировать параметрически и неявно заданные функции, находить производные высших порядков.

4. Применять дифференциал и формулу Тейлора к приближённым вычислениям, в том числе с заданной степенью точности.

5. Находить пределы (раскрывать неопределённость) с помощью правила Лопиталя и формулы Тейлора.

6. Проводить с помощью производной исследование функций и строить их графики.

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Множества и операции над ними. Отношения на множествах.

2. Функции. Простейшая классификация функций. Свойства функций. Функция как отношение.

3. Мощность множества.Теорема Кантора-Бернштейна.

4. Счётные множества и их свойства. Мощность множества рациональных чисел.

5. Существование несчётных множеств. Континуум.

6. Мощность множества всех подмножеств данного множества.

7. Принципы минимума и математической индукции для .

8.Определение поля и упорядоченного поля. Примеры.

9. Грани числовых множеств. Полное поле. Неполнота поля Q.

10. Вещественные числа как бесконечные дроби. Плотность Q в R.

11.Принципы полноты поля R.

12. Открытые и замкнутые множества в R, их свойства.

13. Понятие секвенциальной компактности. Принцип Больцано-Вейерштрасса.

14. Понятие компактности. Лемма Бореля-Лебега.

15. Определение предела последовательности. Единственность. Ограниченность сходящейся последовательности.

16.Арифметические свойства предела последовательности.

17. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

18. Фундаментальность. Критерий Коши сходимости последовательности.

19. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Число е.

20. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

21. Нижний и верхний пределы последовательности. Их свойства.
22. Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Гейне и Коши.

23. Бесконечно малые и финально ограниченные величины. Их свойства.

24. Арифметические свойства предела функции.

25. Предельный переход в неравенствах для функций.

26. Первый и второй замечательные пределы.

27. Определение предела функции по базе. Примеры.

28. Предел композиции функций.

29. Критерий Коши существования предела функции.

30.Сравнение асимптотического поведения функций. Свойства

31. Непрерывность функции в точке. Различные определения. Непрерывность основных элементарных функций.

32.Односторонние пределы. Точки разрыва функции и их классификация.

33.Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра.

34. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака, непрерывность суммы, произведения, частного, композиции.

35.Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и её следствие.

36. Теорема Вейерштрасса о максимальном значении.

37. Критерий непрерывности монотонной функции.

38. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

39.Теорема об обратной функции.

40. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Примеры вычисления. Односторонние производные.

41. Касательная. Различные подходы к её определению.

42. Производные суммы, произведения, частного.

43.Дифференцируемость функции в точке. Связь с существованием производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

44.Дифференциал,его свойства, геометрический смысл.

45.Производная сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.

46. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

47.Теоремы Ферма и Роля. Геометрический смысл теоремы Ролля.

48. Теорема Лагранжа о конечном приращении и её геометрический смысл.

49. Теорема Коши и её геометрический смысл.

50. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.

51. Локальная формула Тейлора.

52.Формулы Тейлора основных элементарных функций. Оценка остаточного члена. Приближённые вычисления.

53. Правило Лопиталя.

54.Условия монотонности функции. Необходимые условия внутреннего экстремума.

55. Достаточные условия экстремума ( в том числе в терминах высших производных). 56.Выпуклая функция. Необходимые и достаточные условия выпуклости для дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба.

57.Асимптоты кривых.


Пример экзаменационного билета

Кафедра_Алгебро-геометрических вычислений. Факультет математики и информационных технологий_

Специальность: прикладная математика и информатика, математика.

Дисциплина математический анализ. Форма обучения: очная. Курс 1.

Билет №1
1.Счётные множества. Существование несчётных множеств. Континуум.

2. Определение предела последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Число е.

3. Односторонние пределы функции. Точки разрыва и их классификация.

4. Найти предел .

5. Найти предел .

6. Непрерывность функции в точке. Свойство сохранения знака.

7. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

8. Найти производную .

9. Найти производную .

10. Найти первую и вторую производные функции, заданной параметрически:

11. Указать точки недифференцируемости функции .

12. Теорема Ролля и её геометрический смысл.

13. Формула Маклорена (Тейлора) для функции с остаточным членом в форме Лагранжа.

14. Нарисовать эскиз графика функции .

15. Нарисовать эскиз графика функции .

При выполнении экзаменационного задания требуется решить задачи, сформулировать соответствующие определения и теоремы и привести доказательство одной из них по выбору студента.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.

1. Рекомендуемая литература:

1. Зорич В.А. Математический анализ, часть 1-М.: Наука,1981.-544с.

2. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т 1.:Учебник.-М.:Изд-во МГУ, 1993-400 с.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.

4. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.

5.Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.

6. Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы: методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления.- Издательство УлГУ, 2007-25 с.