Программа к вступительным испытаниям по математике на базе основного общего образования ( 9 классов)

Министерство образования Республики Коми
ГАОУСПО «Сыктывкарский политехнический техникум»

ПРОГРАММА

К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ИСПЫТАНИЯМ

по математике

на базе основного общего образования

( 9 классов)

Сыктывкар, 2011

Уровень обязательной подготовки абитуриентов определяется

следующими требованиями:
Алгебра

выполнять арифметические действия над точными и приближенными значениями; находить приближенное значение квадратного корня, значение синуса, косинуса, тангенса; вычислять по формулам, используя для этих целей калькулятор; делать прикидку и оценку результатов вычислений;
выполнять тождественные преобразования целых и рациональных выражений, раскрытие скобок и заключение в скобки, приведение подобных членов, сложение, вычитание и умножение многочленов, разложение многочленов на множители при помощи вынесения общего множителя за скобки и формул сокращенного умножения; сложение, вычитание, умножение и деление дробей;
выполнять тождественные преобразования несложных тригонометри-

ческих выражений с использованием формул, указанных в программе;

решать указанные в программе виды уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, используя в необходимых случаях тождественные преобразования;
решать текстовые задачи методом уравнений;
выражать на простых приемах функциональные зависимости между величинами; находить значение функций, заданных формулой, таблицей, графиком;
строить и читать графики функций, указанных в программе.

Геометрия

изображать геометрические фигуры, указанные в условиях теорем и задач, выделять известные фигуры на чертежах и моделях;
решать типовые задачи на вычисление, доказательство и построение, опираясь на теоретические сведения, изученные в курсе;
проводить доказательные рассуждения в ходе решения типовых задач;
вычислять значение геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства и формулы;
выполнять основные построения циркулем и линейкой, решать несложные комбинированные задачи, сводящихся к выполнению основных построений;
применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
использовать векторы и координаты для решения стандартных задач (вычисление длин углов, сложение векторов и умножение вектора на число).

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
ОСНОВНАЯ ШКОЛА
Числа и вычисления

Натуральные числа и нуль. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Свойства арифметических действий. Делители и кратные числа. Признаки делимости. Разложение числа на простые множители.

Обыкновенные дроби. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Освоение задачи на дроби. Среднее арифметическое.

Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление обыкновенных дробей десятичными.

Проценты. Решение задач на проценты.

Отношения. Пропорции. Пропорциональные и обратно пропорциональные величины.

Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа, модуль числа. Целые числа. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами.

Степень с натуральным показателем. Степень с целым показателем. Запись числа в стандартном виде. Квадратный корень, корень третьей степени.

Рациональные числа. Свойства арифметических действий. Координатная прямая. Понятие об иррациональном числе.

Приближенные значения величин. Округление чисел. Абсолютная и относительная погрешности.

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Применение свойств неравенств к оценке суммы и произведения.

Вычисления с помощью калькулятора.

Выражения и их преобразования
Применение букв для записи выражений. Числовые подстановки в буквенные выражения. Формулы. Вычисления по формулам. Буквенная запись законов арифметических действий. Раскрытие скобок. Приведение подобных слагаемых.

Свойства степени с натуральным показателем. Многочлены. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочленов на множители. Квадратный трехчлен: выделение квадрата двучлена, разложение на множители.

Арифметическая дробь. Сокращение алгебраических дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Свойства степени с целым показателем.

Свойства арифметического квадратного корня. Преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Радианное измерение углов. Синус, косинус, тангенс угла. Основные тригонометрические тождества, формулы приведения.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена и формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессии.

Уравнения
Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений.

Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем, содержащих уравнение второй степени. Графическая интерпретация решения систем уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач с помощью уравнений.

Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Неравенства второй степени с одной переменной.
Функции
Координатная плоскость.

Функция. Способы задания функции. Область определения функции. График функции. Свойства функции: возрастание, убывание, сохранение знака.

Линейная и квадратичная функции, функция y = k / x , у = х³, у = √ х, их свойства и графики.
Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин
Представления о начальных понятиях планиметрии и геометрических фигурах. Понятие о равенстве фигур.

Отрезок. Длина отрезка. Равенство отрезков. Расстояние между точками. Неравенство треугольника.

Угол. Виды углов. Равенство углов. Градусная мера угла. Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла, ее свойство.

Пересекающиеся и параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Перпендикулярные прямые. Серединный перпендикуляр к отрезку. Расстояние от точки до прямой.

Треугольник и его элементы. Признаки равенства треугольников. Свойства равнобедренного и правильного треугольников. Сумма углов треугольника. Понятие о подобии фигур, признаки подобия треугольников.

Теорема Пифагора. Синус, косинус, тангенс угла от 0° до 180°. Решение прямоугольных треугольников. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов, теорема косинусов.

Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Трапеция. Правильные многоугольники.

Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства. Центральный и вписанный углы. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник.

Шар, конус, цилиндр.

Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Осевая симметрия. Центральная симметрия.

Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.

Длина окружности, площадь круга. Длина дуги окружности.

Объем прямоугольного параллелепипеда.

Вектор. Угол между векторами. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Скалярное произведения векторов.

ВОПРОСЫ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ИСПЫТАНИЯМ

ПО МАТЕМАТИКЕ

НА БАЗЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

алгебра

Функция y = ax² + bx + c ее свойства и график.
Формулы тригонометрических функций суммы и разности двух аргументов.
Определение уравнения, его корней. Решение уравнения.
Формулы приведения.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Радианная мера.
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Системы уравнений и способы их решений.
Теорема Виета (прямая).
Функция y = x³, ее свойства и график.
Возрастание и убывание функции.
Функция у = х, ее свойства и график.
Арифметический квадратный корень и его свойства.
Определение четной и нечетной функции. Примеры.
Формула n – го члена арифметической прогрессии и суммы первых n членов.
Формула n – го члена геометрической прогрессии и суммы первых n членов.
Соотношения между тригонометрическими функциями противоположных аргументов.
Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Корень n – ой степени и его свойства.
Формулы сокращенного умножения.
Определение функции. Определение графика функции. Примеры.
Теорема Виета (обратная).
Квадратное уравнение. Зависимость числа корней от дискриминанта.
Функция у = √х, ее свойства и график.
Тригонометрические формулы двойного аргумента.
Функция у = кх + b, ее свойства и график.
Функция у = х², ее свойства и график.
Определение sin α , cos α , tg α и ctg α . Свойства.
Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Функция у = хⁿ, ее свойства и график.
Неравенства. Свойства неравенств.

геометрия

Теорема Пифагора.
Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.
Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.
Зависимость между стороной правильного n – угольника и радиусом вписанной окружности.
Преобразования фигур. Виды преобразований. Примеры.
Понятие вектора. Действия над векторами.
Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.
Теорема косинусов.
Теорема синусов.
Теорема о сумме углов треугольника.
Признаки равенства треугольников.
Декартовы координаты на плоскости. Координаты середины отрезка.
Уравнение окружности.
Теорема о внешнем угле треугольника.
Определение и свойства параллелограмма. Свойства его диагоналей.
Теорема Фалеса.
Зависимость между стороной правильного n – угольника и радиусом описанной окружности.
Теорема о средней линии трапеции.
Определение и свойства прямоугольника. Свойства его диагоналей.
Признаки подобия треугольников.
Формула площади треугольника.
Признаки параллельности прямых.
Свойства равнобедренного треугольника.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Теорема о средней линии треугольника.
Определение и свойства квадрата. Свойства его диагоналей.
Определение и свойства ромба. Свойства его диагоналей.
Формула площади параллелограмма.
Формула площади трапеции.
Внешний угол треугольника. Смежные углы.