Название работы	Кол-во страниц	Размер
Программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» для направления...	1	101.74kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел...	1	128.3kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства»...	1	199.28kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Алгебраические кривые: по направлению...	1	104.19kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Доказательства и вычисления» для направления...	1	89.98kb.
Программа дисциплины Спецкурс для направления 010100. 62 «Математика»...	1	215.9kb.
Программа дисциплины нис «Модулярные формы»  для направления 010100.	1	155.71kb.
Программа дисциплины «Теория чисел»	1	151.99kb.
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп...	1	306kb.
Программа дисциплины нис для направления 010100. 62 «Математика»...	1	182.1kb.
Программа дисциплины Математические методы естественных наук  для...	1	168.93kb.
Международное движение по открытому доступу к научному и гуманитарному...	1	216.86kb.
Направления изучения представлений о справедливости	1	202.17kb.

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Рыбников Л.Г., к.ф.-м.н., leo.rybnikov@gmail.com

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.

Председатель С.К.Ландо
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

• 
  ГОС ВПО;
  
• 
  Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
  
• 
  Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
  

2Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины "Теория представлений в нецелых размерностях" являются

1. 
   получение представления об основных структурах, объектах и задачах теории представлений алгебраических групп;
   
2. 
   получение знания об основных понятиях и результатах классической теории инвариантов;
   
3. 
   получение представления о современных методах теории представлений;
   
4. 
   развитие математической интуиции.
   

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

• 
  Знать основные факты теории представлений классических групп.
  
• 
  Свободно пользоваться техникой тензорных категорий в представленческих задачах.
  
• 
  Приобрести опыт самостоятельного разбора оригинальных статей.
  

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

• 
  Алгебра, алгебраическая геометрия
  

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

• 
  Владение теорией представлений конечных групп (вплоть до классификации неприводимых представлений симметрической группы над полем характеристики нуль). Знание начал алгебраической геометрии (аффинные алгебраические многообразия, функтор точек).
  
• 
  Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
  
• 
  Классические группы, их инварианты и представления
  
  
  

5Тематический план учебной дисциплины

1 курс магистратуры

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы			Самостоя­тельная работа
			Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.	18	8			10
2	Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.	18	8			10
3	Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.	18	8			10
4	Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.	18	8			10
	Итого:	72	32			40

2 курс магистратуры

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы			Самостоя­тельная работа
			Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.	30	8			22
2	Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.	32	8			24
3	Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.	32	8			24
4	Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.	32	8			24
	Итого:	126	32			94

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год				Параметры **
		1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	*	8			Письменная работа 90 мин
Итоговый	Зачет		v			Устная зачетная работа

6.1Критерии оценки знаний, навыков

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7Содержание дисциплины

1. 
   Раздел 1 Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.
   

На лекциях предполагается разбор следующих тем:

1. 
   Представления полной линейной группы. 2 ч.
   
2. 
   Представления симметрической группы. 2 ч.
   
3. 
   Двойственность Шура—Вейля. 2 ч.
   
4. 
   Полная приводимость конечномерных представлений полной линейной группы. 2 ч.
   

Литература по разделу: Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М: ИЛ, 1947 Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. .

1. 
   Раздел 2 Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.
   
   
   

На лекциях предполагается разбор следующих тем:

5. 
   Аксиомы жесткой тензорной категории. 2 ч.
   
6. 
   Аффинные групповые схемы и аффинные алгебраические группы. 2 ч.
   
7. 
   Тензорные функторы. 2 ч.
   
8. 
   Аффинная алгебраическая группа как группа автоморфизмов забывающего функтора (слоя). 2 ч.
   

Литература по разделу: Deligne, P., and Milne, J.S., Tannakian Categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, 1982, pp. 101-228 .

2. 
   Раздел 3 Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.
   
   
   

На лекциях предполагается разбор следующих тем:

9. 
   Категория Rep GL_t. Карубиево замыкание и полупростота. 2 ч.
   
10. 
    Категория Rep S_t. 2 ч.
    
11. 
    Конструкция Кнопа. 2 ч.
    
12. 
    Исключительная серия Делиня. 2 ч.
    

Литература по разделу:J. Comes and V. Ostrik, On blocks of Deligne' category Rep S_t, http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5695v1.pdf.

F.Knop, A construction of semisimple tensor categories. http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605126v2.pdf.
Akhil Mathew, Categories parametized by schemes and representation theory in complex rank. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1006/1006.1381v1.pdf.

4. 
   Раздел 4 Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.
   

На лекциях предполагается разбор следующих тем:

13. 
    Примеры алгебраических супергрупп. 2 ч.
    
14. 
    Алгебры в произвольной тензорной категории. 2 ч.
    
15. 
    Лемма Делиня о функторах Шура. 2 ч.
    
16. 
    Доказательство теоремы Делиня. 2 ч.
    

Литература по разделу:

P. Deligne, Cat´egories tensorielles, Moscow Math. Journal 2 (2002) no. 2, 227-248. (см. также V.Ostrik, Tensor categories (After P.Deligne), http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0401/0401347v1.pdf ).

8Образовательные технологии

На лекции даются необходимые определения и доказываются ключевые теоремы курса, разбираются поучительные примеры. Для самостоятельной работы студентам даются задачи исследовательского характера, требующие работы с источниками.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

1. 
   Применив конструкцию Кнопа, постройте жесткую тензорную категорию $Rep\ GL_t(\mathbb{F}_q)$, где $q$ фиксировано, а $t$ – параметр.
   
2. 
   Покажите, что при $t\in\zz$ категория $Rep\ GL_t$ допускает бесконечное множество попарно неизоморфных тензорных функторов $Rep\ GL_t\to SVect_k$.
   

10Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется

по 10-балльной системе.

Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

О_{текущий} = n₁* О_к/р + n₂* О_{сам. работа}

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

О_{промежуточный/итоговый} = 0,5 * О_{текущий} + 0,5 * О_{зачет/экзамен}

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.

Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник

Deligne, P., and Milne, J.S., Tannakian Categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, 1982, pp. 101-228 (см также http://www.jmilne.org/math/xnotes/tc.pdf ).

11.2Основная литература

P. Deligne, Cat´egories tensorielles, Moscow Math. Journal 2 (2002) no. 2, 227-248. (см. также V.Ostrik, Tensor categories (After P.Deligne), http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0401/0401347v1.pdf ).
J. Comes and V. Ostrik, On blocks of Deligne' category Rep S_t, http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5695v1.pdf.
F.Knop, A construction of semisimple tensor categories. http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605126v2.pdf.
Akhil Mathew, Categories parametized by schemes and representation theory in complex rank. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1006/1006.1381v1.pdf.
Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М: ИЛ, 1947

Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995.