Похожие работы
|
Программ а курса «Теория вероятностей» для студентов - страница №1/1
П Р О Г Р А М М А
курса «Теория вероятностей» для студентов
механико-математического факультета МГУ,
весенний семестр 2011 г., лектор – В.В.Сенатов
-
Вероятностное пространство как математическая модель эксперимента со случайными исходами. Частота события, ее свойства. Устойчивость частот реальных случайных событий. Математические модели экспериментов со случайными исходами. Операции над реальными событиями и операции над множествами, являющимися моделями этих событий. Измеримые пространства. Меры, их свойства. Пространства с мерами. Вероятностные пространства. Простейшие свойства вероятности.
-
Дискретные вероятностные пространства. Классическое определения вероятности. Построение простейших вероятностных пространств, урновые схемы. Элементы комбинаторики. Биномиальное распределение как распределение вероятностей числа успехов в схеме выбора с возвращением.
-
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые события. Независимость попарная и в совокупности. Построение вероятностных пространств для сложных экспериментов; прямое произведение вероятностных пространств.
-
Дискретные случайные величины. Распределение случайной величины (вектора). Функция распределения. Совместное распределение. Маргинальные распределения для данного совместного распределения. Независимость случайных величин в элементарном случае (три эквивалентных определения).
-
Математическое ожидание случайной величины и его вычисление через распределение вероятностей. Свойства математического ожидания. Дисперсия, ее свойства. Ковариация, коэффициент корреляции. Неравенство Чебышева. Закон больщих чисел (ЗБЧ) в форме Чебыщева. ЗБЧ в форме Бернулли.
-
Вероятностная модель эксперимента с произвольным множеством исходов. Аксиоматика Колмогорова. Основные свойства вероятности. Пределы последовательностей событий. Связь между счетной аддитивностью и непрерывностью вероятности. Минимальная -алгебра. Продолжение меры. Теорема Каратеодори (без доказательства). Борелевские множества в R и в Rn.
-
Случайные величины. Замкнутость множества случайных величин относительно арифметических операций и относительно предельного перехода. Борелевские функции от случайных величин. Распределение вероятностей, порожденное случайной величиной. Функция распределения случайной величины. Взаимно однозначное соответствие между распределениями и функциями распределения.
-
Абсолютно непрерывные распределения; плотности распределений. Примеры абсолютно непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, Коши, нормальное). Сингулярные и дискретные распределения. Пример сингулярного распределения (распределение Кантора). Теорема Лебега (без доказательства). Совместное и маргинальные распределения совокупности случайных величин. -алгебра, порожденная случайной величиной. Независимость случайных величин.
-
Математическое ожидание случайной величины, интеграл Лебега, его основные свойства. Формула замены переменных в интеграле Лебега. Вычисление математических ожиданий функций от случайной величины по ее распределению вероятностей. Интеграл Римана – Стилтьеса. Моменты.Связь между существованием моментов и поведением «хвостов» функции распределения случайной величины.
-
Виды сходимости на множестве случайных величин. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. ЗБЧ. Сходимость почти наверное. Неравенство Колмогорова. Сходимость рядов независимых случайных величин. Усиленный ЗБЧ. Связь между сходимостью по вероятности и сходимостью почти наверное.
-
Виды сходимости на множестве функций распределения. Сходимость в основном. Множества функций P и . Компактность множества в смысле сходимости в основном. Слабая сходимость . Метризуемость слабой сходимости; метрика Леви. Критерий слабой относительной компактности.
-
Связи между сходимостью в метрике Леви и сходимостями равномерной и в среднем. Сходимость . Эквивалентность сходимостей и . Связь между сходимостью по вероятности случайных величин и слабой сходимостью их функций распределения.
-
Суммы независимых случайных величин. Формула свертки. Поведение распределений (ненормированных) сумм случайных величин при росте числа слагаемых (независимые одинаково рапределенные сучайные величины с конечной дисперсией). Нормированные суммы случайных величин. Формулировка центральной предельной теоремы (ЦПТ).
-
Характеристические функции. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Примеры характеристических функций. Взаимная однозначность соответствия между распределениями и их характеристическими функциями; формулы обращения (дли функций распределения и для плотностей, без доказательств). Взаимная непрерывность соответствия между распределениями и характеристическими функциями. Связь между производными характеристической функции и моментами ее функции распределения. Разложение характеристической функции в отрезок ряда Тейлора. Другие свойства характеристических функций.
-
Доказательство ЦПТ для независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями (метод характеристических функций). ЗБЧ в форме Хинчина.
-
Различия в ЗБЧ и ЦПТ для одинаково и различно распределенных слагаемых.
Оценка Берри – Эссеена (без доказательства). Условие Ляпунова.
17. Теорема Пуассона.
|