Определение линейного преобразования. Матрица линейного преобразования - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Область значений и ядро линейного преобразования 1 37.17kb.
Линейные преобразования линейного пространства Определение 35. 1 93.73kb.
5. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду 1 32.67kb.
Специальность: Финансы и кредит 1 29.69kb.
Решение задачи линейного программирования в ms excel-2003 1 77.8kb.
Контрольные вопросы по курсу Основная задача линейного программирования. 1 44.79kb.
Лабораторная работа №4 Вынужденные колебания линейного осциллятора... 1 245.21kb.
Реферат "Решение задачи линейного программирования симплекс-методом"... 1 293.5kb.
«asm и Refinement», см также общее понятие медиаторного преобразования... 1 95.12kb.
Вопросы к экзамену по математике (1/30-32, 1 семестр, 2012-2013 уч... 1 28.39kb.
Алгоритм преобразования выражений с квадратным корнем (радикалом) 1 20.94kb.
Область значений и ядро линейного преобразования 1 37.17kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Определение линейного преобразования. Матрица линейного преобразования - страница №1/1

Определение линейного преобразования. Матрица линейного преобразования.

Пусть -мерное линейное пространство над полем , где – поле действительных или комплексных чисел, и – преобразование его в себя (или на себя), т.е. закон, по которому каждому элементу линейного пространства ставится в соответствие единственный элемент () этого пространства. Вектор () называется образом вектора , а вектор называется прообразом вектора (). Преобразование называется линейным преобразованием линейного пространства , если выполняются условия



  1. (+)=+,

  2. ()=()

для любых векторов , и любого числа .

Чтобы задать линейное преобразование линейного -мерного пространства достаточно в нем взять любой базис и указать образы базисных векторов. Если – базис и , то образ любого вектора мы можем найти. Действительно, , поэтому



()=()=х1φ(а1)+…+хnφ(аn)=.

Если – базис линейного пространства , и – его линейное преобразование, то нам известны образы ; разложим их по базису



,

…………………………



.

Из коэффициентов этих разложений можно составить матрицу по столбцам:



.

Столбцы этой матрицы являются координатными столбцами образов соответствующих базисных векторов. Такая матрица называется матрицей линейного преобразования в базисе . Следовательно, при нахождении матрицы линейного преобразования нужно найти образы базисных векторов и выразить каждый из них через базис.

В матричном виде эти соотношения запишем в виде или , где , , –матрица линейного преобразования в базисе .
Пример 1. Пусть – пространство многочленов степени с действительными коэффициентами. Поставим каждому многочлену в соответствие многочлен .

Решение. Так как есть многочлен с действительными коэффициентами степени , то он принадлежит , иными словами, – преобразование линейного пространства в себя. Докажем, что преобразование – линейное. Проверим выполнимость условий 1 и 2.






Из этого следует, что – линейное преобразование пространства .

Найдем матрицу преобразования в базисе .

Образы базисных векторов таковы:

,

,

Следовательно, матрица преобразования имеет вид



Пример 2. Выяснить, является ли преобразование пространства линейным, если оно задано законом где – произвольный вектор из . Найти его матрицу в базисе.

Решение. Рассмотрим два вектора

,

и их сумму

.

Найдем их образы:





Очевидно, что

Теперь проверим выполнимость второго условия.

Так как , то

Получили, что преобразование – линейное. Чтобы записать матрицу этого преобразования в базисе e=(), нужно найти образы базисных векторов. Пусть базисные векторы имеют координаты (задали базис): ,,.



Находим





,

т. е. .




Наука сделала нас богами раньше, чем мы научились быть людьми. Жан Ростан
ещё >>