«оценка состояний эвс на основе марковских моделей» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вопросы для подготовки к зачету студентов 2 курса сд-1 1 25.78kb.
«Объяснение агрегатных состояний вещества на основе молекулярно-кинетических... 1 107.1kb.
Mетоды обработки нестационарных сигналов, основанные на скрытых марковских... 1 191.08kb.
Отчет по лабораторным работам №6 «Построение математических моделей... 1 43.02kb.
Программа курса «физика» IV семестр 1 31.02kb.
Цивилизация богов. Прогноз развития науки и техники в 21-м столетии 3 843.27kb.
Лабораторная работа №1 истечение жидкости из резервуара при переменном... 1 77.6kb.
Программа дисциплины «Экзистенциальная психотерапия» 1 114.4kb.
Урок №9 10. Классификация моделей 1 134.95kb.
Билет 20 Понятие модели. Информационная модель. Виды информационных... 1 81.94kb.
Индивидуальная программа социальной реабилитации инвалидов 1 250.63kb.
Методические указания к практическому занятию по дисциплине «Математика»... 1 201.45kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

«оценка состояний эвс на основе марковских моделей» - страница №1/1

Тема 7

«ОЦЕНКА СОСТОЯНИЙ ЭВС НА ОСНОВЕ



МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ»

План


  1. Общие сведения

  2. Марковские процессы с дискретным временем

  3. Марковские процессы с непрерывным временем

1 Общие сведения


Многие практические задачи связаны с определением состояний изделия в целом, а не только его отдельных параметров или их совокупностей. Например, представляет интерес знание вероятности того, что изделие находится в рабочем состоянии, ремонте, на профилактике и т.д. Подобные задачи решаются с использованием теории цепей Маркова.

Состояния, в которых находится изделие, являются случайными и зависят от его качества, интенсивности использования, условий, в которых изделие хранится и эксплуатируется, и т.д. Последовательность этих состояний во времени составляет случайный процесс. Этот процесс является Марковским, если для каждого момента времени вероятность любого состояния изделия в будущем зависит лишь от его состояния в настоящем и не зависит от его состояния в прошлом.

Различают Марковские процессы с дискретным и непрерывным временем. Если переход объекта из одного состояния в другое происходит в заранее известные моменты времени, то такой Марковский процесс называется процессом с дискретными состояниями и дискретным временем. Если же переход объекта из состояния осуществляется в заранее неизвестные моменты времени, то такой Марковский процесс называется процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Предположим, что переход из одного состояния объекта в другое происходит скачком и каждое из них оценивается некоторой вероятностью Pi, значение которой зависит от номнра перехода или от номера шага. Так Pi(k) означает вероятность i-го состояния объекта при k-м шаге. Переход из одного состояния объекта в другое происходит с некоторой вероятностью Pij, называемой переходной. Pij означает переходную вероятность из i-го состояния объекта в j-е.

Если переходные вероятности от номера шага не зависят, то Марковская цепь называется однородной, а если зависит – неоднородной. Для любого шага сумма вероятностей равна 1.

Переходные вероятности обычно записываются в виде матрицы



Главная диагональ содержит вероятности непереходов объекта из одного состояния в другое. Если некоторые вероятности Pij равны нулю, то это означает, что перереход объекта одного состояния i в состояние j невозможен.

Марковский процесс изображают в виде размеченного графа, на котором показывают направления переходов и их вероятности.

При решении практических задач известными величинами являются переходные вероятности, а определению подлежат вероятности состояний объектов. Иногда для целей прогнозирования определяют номер шага, на котором вероятность интересующего состояния объекта достигает допустимого значения.

2 Марковские процессы с дискретным временем


Рассмотрим пример использования простых Марковских цепей при определении вероятностей состояния вычислительного комплекса, состоящего из двух процессоров и периферийного оборудования. Каждый процессор может работать самостоятельно, а в случае необходимости выполнять функции отказавшего процессора.

Определим вероятности состояний комплекса для каждого шага, считая вероятности переходов известными. Составим размеченный граф состояний.


S1 – вычислительный комплекс исправен;

S2 – первый процессор отказал, остальное оборудование исправно;

S3 – второй процессор отказал, остальное оборудование исправно;

S4 – вычислительный комплекс неисправен.

Исходное состояние комплекса характеризуется вероятностью P1(0).

Составим матрицу вероятностей переходов



.

Вероятности непереходов найдем из условия того, что вероятности переходов и непереходов для каждого шага составляют посную группу событий



P11 = 1 – P12P13P14;

P22 = 1 – P24;

P33 = 1 – P34;

P44 = 1.

Перейдем к определению вероятностей состояний комплекса Pi. Как отмечалось выше, исходное состояние комплекса (т. е. на нулевом шаге) определяется значением вероятности Р1(0)=1. Остальные вероятности состояний комплекса равны нулю.



Первый шаг. Вероятность первого состояния комплекса равна вероятности его неперехода из этого состояния: Р1(1) = Р11.

Вероятность остальных состояний комплекса соответственно равны вероятности его переходов из первого в данное состояние



Р2 (1) = Р12; Р3 (1) = Р13; Р4 (1) = Р14.

Второй шаг. Для определения вероятностей на втором шаге воспользуемся формулой полной вероятности (при этом некоторые вероятности переходов могут быть равными нулю):

Р1 (2) = Р1 (1) Р11 + Р2 (1) Р21 + Р3 (1) Р31 + Р4 (1) Р41;

Р2 (2) = Р1 (1) Р12 + Р2 (1) Р22 + Р3 (1) Р32 + Р4 (1) Р42;

Р3 (2) = Р1 (1) Р13 + Р2 (1) Р23 + Р3 (1) Р33 + Р4 (1) Р43;

Р4 (2) = Р1 (1) Р14 + Р2 (1) Р24 + Р3 (1) Р34 + Р4 (1) Р44;

Третий шаг. Аналогично предыдущему

Р1 (3) = Р1 (2) Р11 + Р2 (2) Р21 + Р3 (2) Р31 + Р4 (2) Р41;

Р2 (3) = Р1 (2) Р12 + Р2 (2) Р22 + Р3 (2) Р32 + Р4 (2) Р42;

Р3 (3) = Р1 (2) Р13 + Р2 (2) Р23 + Р3 (2) Р33 + Р4 (2) Р43;

Р4 (3) = Р1 (2) Р14 + Р2 (2) Р24 + Р3 (2) Р34 + Р4 (2) Р44.

В общем случае вероятности состояний однородного Марковского процесса вычисляются по формуле



j = 1, … , n.

Если Марковский процесс неоднороден, то для каждого шага должна быть задана матрица вероятностей его переходов. Формула для определения вероятностей состояний имеет вид



j = 1, … , n.

3 Марковские процессы с непрерывным временем


Переходы объекта из одного состояния в другое являются событиями случайными, зависящими от ряда факторов, связанных с качеством объекта, условиями его эксплуатации, состоянием окружающей среды и т.д. Поэтому часто последовательность дискретных состояний объекта рассматривают как случайный процесс с непрерывным временем.

Сумма вероятностей состояний объекта для любого момента времени



Переход объекта из одного (i-го) состояния в другое (j-ое) зависит от плотности вероятностей переходов fij, представляющую собой предел вида



При дальнейшем рассмотрении случайного процесса плотность распределения fij обычно считается постоянной, что соответствует однородному Марковскому процессу с непрерывным временем.

Предположим, что известен размеченный граф объекта и заданы плотности вероятностей, а также направления его переходов, причем объект может находиться в состояниях S1, S2, S3 и S4.

Рассмотрим состояние S1. Объект из этого состояния за время t может перейти в состояние S2 с вероятностью f12t или в состояние S3 с переходной вероятностью f13Dt либо может задержаться в состоянии S1 с вероятностью P11(t + Dt). Сумма вероятностей перечисленных состояний составляет полную группу событий

Таким образом, вероятность неперехода как событие, противоположное вероятности перехода,



Найдем вероятность первого состояния объекта с учетом того, что она может быть «наполнена» за счет перехода из его четвертого состояния



Вместо P11(t + Dt) подставим его значение



или


Разделив обе части последнего уравнения на Dt и устремив Dt0, сделаем предельный переход



или


Поступив аналогично предыдущему, придем к следующим уравнениям для определения других состояний объекта:



Таким образом, мы имеем систему из четырех дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет вид



j = 1, …, n.

Эта система называется системой уравнений Колмогорова и используется для определения вероятностей состояний объектов. Решение ее выполняется при начальных условиях Р1(0) = 1, Р2(0) = … = Рn(0) = 0.

Если размеченный граф объекта известен, то уравнение Коломогорова составляется по следующим правилам:


  • Уравнений должно быть столько, сколько состояний имеет объект;

  • В левой части уравнений записываются производные от вероятностей этих состояний;

  • Правая часть каждого уравнения содержит столько членов, сколько входов и выходов относится к данному состоянию объекта;

  • Члены уравнения, связанные со входом в состояние, имеют знак «+», а те члены уравнения, которые связаны с выходом из состояния имеют знак «–».

Решение системы уравнений Колмогорова большой размерности представляет значительные трудности, связанные с подготовкой данных и большой затратой машинного времени. Поэтому задачу нахождения вероятностей состояний объекта иногда упрощают, ограничиваясь их значениями при t. В этом случае система дифференциальных уравнений становится системой алгебраических уравнений, решение которой дает предельные вероятности состояний объекта.

Для рассматриваемого примера












Молчание нужно слышать в его контексте. Станислав Ежи Лец
ещё >>