Обыкновенные дифференциальные уравнения задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лекция №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка... 1 83.43kb.
Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. 1 35.76kb.
Контрольные вопросы для отчетов по модуля м: Семестр Модуль 1 «Дифференциальные... 1 21.79kb.
Контрольные вопросы для отчетов по модуля м: Семестр Модуль 1 «Дифференциальные... 1 27.04kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов2 курса зик 1 18.63kb.
Дифференциальные уравнения 1 155.18kb.
Вопросы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» 1 38.9kb.
Дифференциальные уравнения 1 475.98kb.
Лекция Дифференциальные уравнения первого порядка 7 435.14kb.
Международная конференция студентов и молодых ученых по дифференциальным... 1 16.92kb.
Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные... 3 203.91kb.
Лекция №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка... 1 83.43kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Обыкновенные дифференциальные уравнения задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям - страница №3/3


7.2. Принцип наложения (суперпозиции)
Этот метод основан на следующей теореме:
Теорема. Если правая часть ЛНДУ (7.1) представляет сумму двух функций, т.е. , то частное решение такого ДУ можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правым и частями соответственно и , т.е.

.
Доказательство. Рассмотрим два уравнения:

и .

Пусть и являются частными решениями этих

уравнений соответственно, тогда имеем два тождества:

- найдем их сумму:

.

или .

Следовательно, является решением уравнения

.
Пример. Найти общее решение уравнения

.
Решение. Так как правая часть уравнения

, то по теореме общее решение данного уравнения будет иметь вид

.

Найдем . Для этого рассмотрим уравнение , его характеристическое уравнение имеет корни ; .

Тогда

Найдем .

Для этого рассмотрим уравнение

Правая часть .

Так как - является простым корнем характеристического уравнения , тогда

.

Подставим , , в рассматриваемое уравнение :



,

используя условие равенства многочленов, получим



Таким образом, получим .

Найдем .

Для этого рассмотрим уравнение .

Правая часть . Для .

- не является корнем характеристического уравнения , поэтому

;

; ; .

Значения , , подставим в уравнение .

Получим

.

Таким образом, получаем

Тогда общее решение данного уравнения:

.

Ответ:


7.3. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Если частное решение дифференциального уравнения (7.1) или (7.2) найти нельзя или сложно методом неопределенных коэффициентов, но известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (7.3), то для нахождения общего решения ЛНДУ (7.1) или (7.2) применяют метод Лагранжа.

Рассмотрим ЛНДУ (7.2): .

Общее решение этого неоднородного уравнения находят из общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. , заменяя произвольные постоянные , соответствующими функциями от , т.е. в виде

,(7.5)Где , - фундаментальная система решений ЛОДУ (7.3), а и - удовлетворяют системе

,(7.6)

Пример. Методом Лагранжа найти частное решение уравнения .
Решение. Составляем соответствующее однородное уравнение:

.

Его характеристическое уравнение имеет корни .

Фундаментальной системой решений соответствующего однородного уравнения будут функции ; .

Будем искать оощее решение данного уравнения в виде



.(*) и определяются из системы (7.3.2)

.

Для решения системы применим формулы Крамера



; ,

где






,

;

;

Где и - произвольные постоянные.

Подставляем значения и в формулу (*), получим общее решение исходного уравнения:

.

Ответ: .


Замечание. В приведенном выше примере получен результат

.

Сравнивая его с общим решением соответствующего ЛОДУ



,

Видим, что



.

Слагаемое в скобках является частным решением исходного ЛНДУ и, таким образом, при решении ЛНДУ методом Лагранжа получили выполнение теоремы о структуре общего решения ЛНДУ:



.
7.4. Понятие о краевой задаче
Наряду с задачей Коши для дифференциальных уравнений часто возникает необходимость найти такое решение ДУ (2.1) при , которое принимало бы заданные числовые значения на концах (границах) рассматриваемого отрезка , решение находится внутри этого отрезка. Такие задачи называются краевыми (граничными) задачами.

В простейшем случае для обыкновенного ДУ второго порядка краевые значения имеют вид:



при ;

при .

Геометрически здесь речь идет о нахождении интегральной кривой , соединяющей две заданные точки и .


Пример. Решите краевую задачу для уравнения с краевыми условиями , .
Решение. Находим общее решение данного уравнения. Составим характеристическое уравнение , откуда , , ,

Для определения произвольных постоянных и воспользуемся краевыми условиями:



.

Тогда .

Ответ: .
8. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
8.1. Понятие о системе дифференциальных уравнений и ее решении
Совокупность соотношений вида
(8.1)где - искомые функции от независимой переменной , называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Всякая совокупность функций



,(8.2)определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале , называется решением системы (8.1) в этом интервале, если она обращает все ДУ системы (8.1) в тождества, справедливые при всех значениях .

Процесс нахождения решений системы (8.1) называется интегрированием этой системы.


Пример. Рассмотрим систему

,(*)Эта система имеет решение

, , .(**)

Действительно, подставляя (**) в систему (*), получим тождества



.
8.2. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений
СДУ первого порядка

(8.3)разрешенная относительно производных от искомых функций, называется системой дифференциальных уравнений в нормальной форме или нормальной системой.

Если при помощи некоторых преобразований из данной системы удается получить интегрируемое уравнение, то оно называется интегрируемой комбинацией.


Пример. Пусть дана система

(8.4)

Решение. Система (8.4) - нормальная. Разделив первое ДУ на второе, получим интегрируемую комбинацию:

,

Разделяя переменные и интегрируя, получим



.(8.5)Вычитая почленно второе уравнение системы (8.4) из первого, найдем еще одну интегрируемую комбинацию:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим



.(8.6)Совокупность соотношений (8.5) и (8.6) в общей теории СДУ называется общим интегралом системы.

Ответ: , .


8.3. Задача Коши для нормальной системы

Задача Коши для нормальной системы (8.3) ставится так:

найти решение , ,…, ,

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши),



,(8.7)где - заданные числа.

Геометрически находится интегральная кривая, про ходящая через заданную точку .


8.4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы
Теореме Пикара. Если правые части системы (8.3) непрерывны в некоторой окрестности начальной точки и имеют непрерывные в этой окрестности частные производные по , то система (8.3) имеет единственное решение (8.2), определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальным условиям (8.7).

Условия теоремы Пикара, в частности, заведомо выполнены, если правые части нормальной системы есть многочлены относительно , коэффициенты которых непрерывны в окрестности начального значения . При этом начальные значения можно брать произвольно.


9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ
Пусть задана система уравнений (8.3):

Метод исключений состоит в том, что из системы (8.3) при помощи дифференцирования одного из уравнений и замены исключают все искомые функции, кроме одной, для которой получается уравнение -го порядка. Найдя общее решение этого уравнения, находим остальные неизвестные функции без дальнейших квадратур.


Пример. Рассмотрим систему

(9.1)

Решение. Дифференцируя первое уравнение и пользуясь вторым и третьим, получаем

,

но , поэтому

или

.(9.2)Получим еще одно ДУ с одной неизвестной функцией: или . Исключим из первых двух ДУ системы (9.1). Вычитая почленно первое ДУ из второго, имеем

,

откуда


,(9.3)Проинтегрировав последовательно ДУ (9.2) и (9.3), найдем и . Из уравнения (9.2) найдем

.(9.4)Подставляя в (9.3), имеем

,

откуда


.

Наконец, из , найдем



.

Ответ: , , .


10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами всегда интегрируются в элементарных функциях, поэтому они представляют особый интерес для изучения.

Пусть дана однородная линейная система



(10.1)где - действительные числа, , .

Будем искать решение системы (10.1) в виде



,(10.2)где - некоторое число, а числа не равны одновременно нулю.

Подставляя (10.2) в (10.1), сокращая и группируя члены, получим следующую систему уравнений для нахождения чисел :



(10.3)Эта система имеет интересующее нас ненулевое решение относительно только в том случае, если ее определитель равен нулю, т.е. если является корнем уравнения

.(10.4)Уравнение (10.4) называется характеристическим, а его корни характеристическими числами системы (10.1).

Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения действительные и различные. В этом случае, подставляя поочередно каждый корень ( ) вместо в (10.2), решая систему (l0.3), найдем значения (i = 1,2,3, ... , п), не равные одновременно нулю.

Получим частных решений:

.(10.5)Беря линейные комбинации решений (10.5) с произвольными постоянными , получим общее решение системы (10.1):

Кратко: , .


Пример. Рассмотрим систему


Решение. Найдем решение данной системы в виде

, .

Составим характеристическое уравнение:



, .

Оно имеет корни , .

Построим частное решение, соответствующее корню .

Числа и найдем из системы



Система сводится к решению одного уравнения:



следовательно, одно из чисел , можно выбрать произвольно.

Положив , получим .

Имеем частное решение: , .

Аналогично находим частное решение, соответствующее характеристическому числу :

, ,

Тогда общее решение имеет вид:



,

.

Ответ: , .





<< предыдущая страница  



Тонкой душе тягостно сознавать, что кто-нибудь обязан ей благодарностью; грубой душе — сознавать себя обязанной кому-либо. Фридрих Ницше
ещё >>