Обыкновенные дифференциальные уравнения задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лекция №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка... 1 83.43kb.
Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. 1 35.76kb.
Контрольные вопросы для отчетов по модуля м: Семестр Модуль 1 «Дифференциальные... 1 21.79kb.
Контрольные вопросы для отчетов по модуля м: Семестр Модуль 1 «Дифференциальные... 1 27.04kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов2 курса зик 1 18.63kb.
Дифференциальные уравнения 1 155.18kb.
Вопросы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» 1 38.9kb.
Дифференциальные уравнения 1 475.98kb.
Лекция Дифференциальные уравнения первого порядка 7 435.14kb.
Международная конференция студентов и молодых ученых по дифференциальным... 1 16.92kb.
Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные... 3 203.91kb.
Лекция №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка... 1 83.43kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Обыкновенные дифференциальные уравнения задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям - страница №2/3


5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Если в дифференциальном уравнении (2.1) порядок , то ДУ называется дифференциальным уравнением высшего порядка. Часто решение ДУ высших порядков с помощью специальных подстановок можно свести к решению ДУ более низкого порядка. В этом случае говорят, что уравнение допускает понижение порядка. Рассмотрим три типа таких уравнений.
5.1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной
Рассмотрим уравнение

.(5.1)Общее решение ДУ (5.1) получается выполнением последовательных интегрирований, а именно:

,

где - произвольные постоянные.


Пример. Найти общее решение уравнения

.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде

.

Интегрируя это уравнение последовательно три раза, получим его общее решение:



,

,

.

Ответ: .


5.2. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции
Рассмотрим уравнения вида

или .(5.2)Порядок этих уравнений можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую производную данных уравнений (5.2), т.е. , .

Тогда и ДУ (5.2) примут вид дифференциального уравнения первого порядка:



или .(5.3)

Пример. Решить задачу Коши для уравнения

, если , .
Решение. Обозначим , тогда ; подставим значения , в данное уравнение, получим

это ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим :



.

Возвращаемся к функции :



,

интегрируя, получим - общее решение.

Используя начальные условия, находим , :

Подставляя значения и в общее решение, получим частное решение.

Ответ: .
5.3. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной х
К этому типу ДУ относятся уравнения вида

или .(5.4)Порядок этих уравнений можно понизить, если положить (за новый аргумент принять ).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем



.

Подставим значения первой и второй производных



; в ДУ (5.4),

получим


или .

Эти уравнения уже имеют порядок на единицу ниже, чем исходные уравнения.



Пример. Найти общее решение уравнения

.
Решение. Положим, ; .

Подставим значения и в данное уравнение:



.

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим :





или


.

Возвращаясь к функции , получим



,

интегрируем:



.

Ответ: .


5.4. Составление дифференциальных уравнений
Решение задачи прикладного характера обычно состоит из трех частей:

  1. составления дифференциального уравнения;

  2. решения этого уравнения;

  3. исследования решения.

При решении геометрических задач полезно пользоваться следующей последовательностью действий:



  1. сделать чертеж и ввести обозначения. Например, - ­уравнение искомой линии и т.п.;

  2. отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомого геометрического места, от условий, имеющих место лишь в отдельных фиксированных точках. Другими словами, выделить начальные условия. Их в начале, при составлении дифференциального уравнения, не учитывать;

  3. выразить все упомянутые в задаче величины через , и , учитывая при этом геометрический смысл производной;

  4. на основании условия задачи составить дифференциальное уравнение семейства искомых кривых;

  5. найти общее решение полученного дифференциального уравнения, а затем по начальным условиям найти конкретную интегральную кривую (см. пример 1.2 п. 1).

При решении задач с физическим содержанием, так же как и в случае решения геометрических задач, можно рекомендовать следующую последовательность действий:



  1. установить, какому закону подчиняется рассматриваемый процесс;

  2. решить, что выбрать за независимую переменную, например, время , и что - за искомую функцию, например, ;

  3. исходя из условий задачи, определить начальные условия, например, ;

  4. выразить все фигурирующие в задаче величины через , , , используя при этом физический смысл производной как скорость изменения переменной в изучаемом процессе;

  5. исходя из условия задачи и на основании физического закона, которому подчиняется данный процесс, составить дифференциальное уравнение;

  6. найти общий интеграл дифференциального уравнения;

  7. по начальным условиям найти частное решение.


Пример. На вращающийся в жидкости диск действует замедляющая его движение сила трения, пропорциональная угловой скорости вращения. Найти зависимость угловой скорости от времени, если вначале диск вращался со скоростью 100 оборотов в минуту, а по истечении одной минуты - 60 оборотов в минуту.
Решение. Пусть - угловая скорость движения диска. Тогда, согласно закона изменения момента количества движения, имеем

,(*)

,

где - момент инерции диска; - момент сил, действующих на диск.



По условию ( ), поэтому уравнение (*) принимает вид

, .

Его решение

Пусть измеряется в оборотах за минуту, а время - в минутах.

Тогда , т.е. , откуда . Таким образом, требуемая зависимость имеет вид об/мин.


6. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами - наиболее изученный тип дифференциальных уравнений высших порядков. Многие задачи техники и естествознания приводят к линейным однородным дифференциальным уравнениям.
6.1. Основные теоремы о структуре общего решения уравнения.
Определитель Вронского

Линейное однородное уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

,(6.1)

где все коэффициенты - числа (в частности, некоторые могут быть нулями).

Рассмотрим основные свойства линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами на примере уравнения второго порядка

,(6.2)

Теорема 1. Если и - два решения уравнения (6.2), то функция также является решением этого уравнения.
Доказательство. По определению решения ЛОДУ имеем

;

.

Выполнив операцию сложения этих тождеств, получим



,

Откуда и следует, что является решением ЛОДУ (6.2).


Теорема 2. Если , - решение уравнения (6.2), то функция , где - произвольная постоянная, также является решением этого уравнения.
Доказательство. По определению решения ЛОДУ имеем

,

умножая обе части тождества на , получим



,

откуда и следует, что является решением ЛОДУ (6.1.2).


Следствие 1: Если м - два решения ЛОДУ (6.2), то функция

,(6.3)где , - произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

Выясним, при каких и формула (6.3) определяет общее решение ЛОДУ (6.2).

Рассмотрим определитель

,(6.4)который называется определителем Вронского этих функций или вронскианом (И. Вронский (1778-1853) - польский математик, который впервые ввел определитель в рассмотрение).
Теорема 3. Если и являются решениями уравнения (6.2), то для определителя Вронского этих решений справедлива формула

.(6.5)

Доказательство. Найдем от производную по :

Так как и являются решениями уравнения (6.1.2), то



;

.

Умножим первое уравнение на ( ), а второе на и, сложив их, получим





или


.
Теорема 4. Пусть - определитель Вронского решений и ЛОДУ (6.2). Если при некотором , то обращается в нуль при любом : .
Доказательство: Пусть , а так как функция удовлетворяет уравнению (6.5) и условию , то из теоремы существования и единственности следует, что других решений уравнения (6.5) не существует, что и нужно было доказать.
Следствие 2. Если при некотором , то отлично от нуля при любом .
Доказательство: Предположим противное: при некотором . Тогда согласно теоремы 4, , что противоречит условию .
Терема 5. (Формула Лиувилля). Пусть - определитель Вронского решений и ЛОДУ (6.1.2), тогда

.(6.6)

Доказательство. Если , то по теореме 4 и формула (6.6) верна. Если же , то, в силу следствия 2, ни при каком . Тогда, разделив (6.5) на , получим

.

Интегрируем обе части в пределах от до :



Потенцируя, получим



.
Определение. Систему и решений ЛОДУ (6.2) назовем фундаментальной системой, если ни при одном значении .

Как показывает следствие 2, для этого достаточно про верить, что при каком-нибудь одном значении .


Теорема 6 (об общем виде решения ЛОДУ). Если и образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (6.2), то общее решение этого уравнения будет иметь вид

,(6.7)где , - произвольные постоянные.

Результаты исследований для ЛОДУ второго порядка могут быть перенесены и на линейные однородные уравнения -го порядка (6.1).



Система решений уравнения (6.1) называется фундаментальной, если ее определитель Вронского:

.

Если образуют фундаментальную систему решений уравнения (6.1), то



,

где - произвольные постоянные, есть общее решение уравнения (6.1).


Пример. Найти общее решение уравнения

,

если известно, что функции , , являются его решениями.


Решение: Это ЛОДУ третьего порядка. Покажем, что , , образуют фундаментальную систему функций:

.

Тогда общее решение будет



.

Ответ: .


6.2. Нахождение фундаментальной системы решений и общего решения ЛОДУ
Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) -ого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

,(6.8)где все коэффициенты - числа (в частности, некоторые могут быть и нулями).

Рассмотрим уравнение второго порядка



.(6.9)Заметим, что в силу свойств однородных линейных уравнений нам достаточно найти два частных решений, составляющих фундаментальную систему решений уравнения (6.9), чтобы затем найти общее.

Будем искать частное решение уравнения (6.9) в виде



,(6.10)где - число, которое подберем так, чтобы функция (6.10) удовлетворяла уравнению (6.9).

Дифференцируя дважды , найдем , ; подставляя в (6.9), получим



,

сокращая на , имеем



.(6.11)Это алгебраическое квадратное уравнение относительно , оно будет называться характеристическим уравнением уравнения (6.9).

Итак, чтобы функция была частным решением уравнения (6.9), нужно, чтобы удовлетворяло уравнению (6.11).

Пусть и - корни характеристического уравнения(6.11), т.е.

.

Возможны случаи:


1. Корни и уравнения (6.2.4) действительные и различные, т.е. (в этом случае дискриминант ).

Тогда формула (6.10) даст два частных решения:



.

Эти частные решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (6.9), так как



(т.к. ).

Следовательно, общее решение уравнения (6.9) будет иметь вид



.(6.12)

Пример. Решить уравнение .

Решение. ЭТО ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение

.

Находим его корни: , .

Частные решения имеют вид , . .

Тогда будет общим решением.

Ответ: .
2. Корни характеристического уравнении (6.11) действительные и равные, т. е. .

В этом случае и .

В данном случае формула (6.10) дает нам одно частное решение . Остается найти другое частное решение , образующее вместе с решением фундаментальную систему решений уравнения (6.9).

Покажем, что таким решением будет функция вида .

Найдем ,

.

Подставим , , в уравнение (6.9) и воспользуемся формулой (6.12):



,

,

.

Так как , то и образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, при функция



.(6.13)есть общее решение уравнения (6.9).

Пример. Решить уравнение .

Решение. Это ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение.

.

Находим его корни: .

Частные решения имеют вид , .

Тогда будет общим решением данного уравнения.

Ответ: .
3. Корни характеристического уравнении (6.11) комплексно-сопряженные, т. е. , , (в этом случае ).

Можно показать (подставляя в уравнение (6.9» , что



и

являются частными решениями уравнения (6.11).

Так как ( ), то и образуют фундаментальную систему решений, следовательно,

(6.14)есть общее решение уравнения (6.9).
Пример. Решить уравнение .
Решение. Это ЛОДУ второго порядка. Составим характеристическое уравнение

Его корни: , .

В данном примере , .

Пользуясь формулой (6.14), получим общее решение:



.

Ответ: .


4. Рассмотрим уравнение (6.8):

.

Составим для него характеристическое уравнение



.(6.15)Пусть уравнение (6.2.8) имеет различных корней . Если, кроме того, все корней - действительные, то

.(6.16)есть общее решение уравнения (6.8).

Если же среди корней есть комплексный корень , , то уравнение (6.15) имеет также сопряженный комплексный корень . Этой паре комплексных корней соответствуют два частных решения:



и .

в этом случае (в предположении, что корни действительные и различные) общее решение уравнения (6.8) имеет вид



.

Пусть теперь корни - действительные, но , а числа различны между собой и не совпадают с . В этом случае, говорят, что - корень кратности 3.

Общее решение имеет вид

.

Рассмотрим ещё случай, когда есть кратные комплексно-сопряженные корни , , , а остальные корни действительные и различные. Общее решение в этом случае имеет вид



.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Это ЛОДУ четвертого порядка. Составим характеристическое уравнение

.

Находим корни этого уравнения: , , , .

Частные решения будут иметь вид

, , , .

Тогда будет общим решением уравнения.

Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Это ЛОДУ третьего порядка. Составим характеристическое уравнение

.

Его корни: , .

Следовательно, частные решения будут иметь вид:

, ,

Тогда будет общим решением уравнения.

Ответ: .
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Это ЛОДУ четвертого порядка.

Составим характеристическое уравнение или



.

Найдем его корни: , . То есть в нашем примере , , а кратность корня равна двум.

Тогда общее решение

.

Ответ: .


7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) ­-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,(7.1)где - действительные числа; - данная функция.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка



(7.2)и соответствующее ему однородное уравнение (ЛОДУ)

.(7.3)Пусть и - фундаментальная система решений уравнения (7.3), тогда

(7.4)есть общее решение уравнения (7.3).
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ). Общее решение неоднородного уравнения (7.2) равно сумме общего решения соответствующего однородного (7.3) и частного решения неоднородного уравнения (7.2):

.
Доказательство. Так как - общее решение уравнения (7.3), то по определению решения эта функция обращает уравнение (7.3) в верное равенство. Так как - частное решение уравнения (7.2), то функция также обращает это уравнение в тождество. Имеем два тождества:

- найдем их сумму:

или

.

Следовательно, является общим решением уравнения (7.2).


7.1. Нахождение частного решения ЛНДУ со специальной правой частью
В том случае, когда правая часть дифференциальных уравнений (7.1) и (7.2) в общем случае имеет вид

,

где и - многочлены переменной степеней и ; , - ­действительные числа, используется метод неопределенных коэффициентов (или метод подбора).

Частное решение дифференциального уравнения (7.2) зависит в каждом конкретном случае от вида функции и от выражения (где), которое сравнивается с корнями характеристического уравнения, составленного для соответствующего ЛОДУ (7.3).

Возможны случаи:


1. Если является корнем кратности характеристического уравнения

(*)( - означает сколько раз совпадет с корнями характеристического уравнения). Тогда частное решение находится в виде

где и - многочлены со своими неопределенными коэффициентами, при этом .

Например, если

, то - многочлен нулевой степени;

, то - многочлен первой степени;

, то - многочлен второй степени;

, то - многочлен 3-й степени;

, то - многочлен степени .
2. Если не является корнем характеристического уравнения (*), то и , тогда частное решение имеет вид .
Пример 1. Найти общее решение уравнения

.
Решение. Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

.

Его характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения при равных корнях характеристического уравнения имеет вид



.

Правая часть неоднородного уравнения имеет вид . , - является кратным корнем кратности характеристического уравнения, , поэтому



.

Дважды дифференцируем :



,

и подставляем полученные выражения в данное уравнение:



.

В результате получим



.

Тогда . А общее решение неоднородного уравнения



.

Ответ: .


Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения , если , .
Решение. Находим общее решение соответствующего ЛОДУ

.

Его характеристическое уравнение ,



; ; .

Общее решение ЛОДУ при различных корнях характеристического уравнения имеет вид



.

Правая часть данного уравнения: . , - не являются корнями характеристического уравнения , .

Тогда

.

Дифференцируя, получим



, .

Подставим значения , , в данное уравнение, будем иметь



.

Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях, получим систему



Тогда , а - общее решение данного уравнения.

Найдем .

Используя начальные условия, найдем и при , , :



Подставляя значения и в общее решение, получим частное решение:



.

Ответ: .


<< предыдущая страница   следующая страница >>



Уровень жизни — то, выше чего хотелось бы жить. Янина Ипохорская
ещё >>