Обыкновенные дифференциальные уравнения задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лекция №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка... 1 83.43kb.
Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. 1 35.76kb.
Контрольные вопросы для отчетов по модуля м: Семестр Модуль 1 «Дифференциальные... 1 21.79kb.
Контрольные вопросы для отчетов по модуля м: Семестр Модуль 1 «Дифференциальные... 1 27.04kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов2 курса зик 1 18.63kb.
Дифференциальные уравнения 1 155.18kb.
Вопросы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» 1 38.9kb.
Дифференциальные уравнения 1 475.98kb.
Лекция Дифференциальные уравнения первого порядка 7 435.14kb.
Международная конференция студентов и молодых ученых по дифференциальным... 1 16.92kb.
Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные... 3 203.91kb.
Лекция №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка... 1 83.43kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Обыкновенные дифференциальные уравнения задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям - страница №1/3

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


  1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Многие задачи естествознания приводят к нахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. В качестве иллюстрации рассмотрим следующие примеры.


1.1. Допустим, что в каждый момент времени известна скорость точки, движущейся по оси , где - функция, непрерывная на . Кроме того, будем считать, что известна абсцисса этой точки в некоторый определённый момент времени . Требуется найти закон движения точки, то есть зависимость абсциссы движущейся точки от времени.
Решение. Положение точки определяется одной координатой и задача состоит в том, чтобы выразить как функцию от . Принимая во внимание механический смысл первой производной, мы получим равенство

. (1.1)Как известно из интегрального исчисления

(1.2)где верхний предел интеграла - переменный, нижний есть некоторое фиксированное число из , - произвольная постоянная. Так как в формулу (1.2) входит произвольная постоянная, то мы ещё не получили определённого закона движения точки.

Выделим из множества движений (1.2) то движение, при котором движущаяся точка занимает заданное положение в заданный момент времени :



,

что вместе с (1.2) даёт искомый закон движения точки:



.

1.2. Найти уравнения кривых, для которых отрезок касательной между точкой касания и осью делится пополам в точке пересечения с осью .


Решение. Из чертежа имеем из геометрического смысла производной .

Следовательно, или .

Интегрируя, получим

.

Ответ: искомые кривые - параболы (рис. 1).





Рис.1
2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные или дифференциалы.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Например:



  1. - диф. уравнение 1-го порядка;

  2. - ДУ 2-го порядка;

  3. - ДУ 3-го порядка.

Дифференциальным уравнением п-го порядка называется соотношение вида

. (2.1)между независимой переменной , функцией и ее производными .

Если неизвестная функция в уравнении (2.1) зависит от одной независимой переменной , то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если от нескольких переменных , то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные ДУ и их системы.

Если уравнение (2.1) удается разрешить относительно , то получим уравнение, разрешённое относительно старшей производной,

. (2.2)Решением дифференциального уравнения называют функцию , определенную на интервале вместе со своими производными до п-го порядка включительно, и такую, что подстановка функции в ДУ превращает последнее в тождество .

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Задача нахождения решения уравнения (2.2) или (2.1), удовлетворяющего начальным условиям,

,

где - заданные числа, называется задачей Коши для дифференциального уравнения.

Функцию , где - произвольные постоянные, будем называть общим решением уравнения (2.1), если в при соответствующем выборе постоянных эта функция обращается в решение любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения, при .

Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных (в частности, всякое решение задачи Коши), называется частным решением (частным интегралом) этого уравнения.


3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
Если порядок ДУ (2.1) , то дифференциальное уравнение - ­первого порядка и в общем виде запишется так:

. (3.1)Дифференциальное уравнение (3.1), разрешенное относительно производной , имеет вид

. (3.2)Общим решением ДУ первого порядка будет функция , которая содержит только одну произвольную постоянную С. В случае начальные условия (2.4) имеют вид

, (3.3)где , - заданные числа.

Решение ДУ (3.2), удовлетворяющее начальному условию (3.3), называется частным решением ДУ (3.2).

Задача отыскания частного решения ДУ (3.1) или (3.2), удовлетворяющего начальному условию (3.3), называется задачей Коши для ДУ первого порядка.

В связи с решением задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка возникает два важных вопроса:



  1. всегда ли существует решение задачи Коши;

  2. если решение задачи Коши существует, то является ли это решение единственным?

Ответ на эти вопросы имеет принципиальное значение. Прежде чем решать конкретную задачу Коши, необходимо исследовать вопрос о существовании и единственности решения.

Для существования решения задачи Коши для ДУ (3.2) достаточно, чтобы правая часть его, то есть функция , была непрерывна в окрестности начальной точки, тогда её решение будет определено (и непрерывно дифференцируемо) в общем случае лишь в некоторой окрестности начального значения независимой переменной. А для единственности решения этого мало. Приведём теорему, которая обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши.


Теорема. Если правая часть ДУ (3.2) определена и непрерывна в прямоугольнике , где и - заданные положительные числа, удовлетворяет в нем двум условиям:

  1. непрерывна и ограничена, т.e. ;

  2. существует и ограничена, т.e. ,

где и - постоянные положительные числа, то уравнение (3.2) имеет единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям , определенное и непрерывно дифференцируемое в интервале , где .
Пример 1. Установить область существования и единственности решения для уравнения .
Решение. Правая часть данного уравнения определена и непрерывна при ; существует и непрерывна при . Следовательно, областью существования и единственности решения является полуплоскость ( ).
Пример 2. Оценить, пользуясь теоремой, область существования и единственности решения уравнения в прямоугольнике , удовлетворяющего начальным условиям: при .
Решение. Искомое решение существует, так как правая часть данного уравнения - многочлен относительно и .

Найдем .

По условию задачи имеем: , , , , , тогда

Существование и единственность решения обеспечены теоремой существования и единственности лишь в интервале .

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Если правая часть уравнения (3.2) удовлетворяет в области условиям теоремы существования и единственности, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений.

В частности, если - многочлен, то уравнение (3.2) не имеет особых решений в области .

Если в уравнении функция непрерывна по и и имеет частную производную по , то особыми решениями могут быть те кривые , во всех точках которых обращается в бесконечность



.

Будем называть такие кривые «подозрительными» на особое решение.


Пример 3. Найти кривую, «подозрительную» на особое решение уравнения и исследовать, будет ли она особым решением.
Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид . Найдем кривую, «подозрительную» на особое решение, по виду правой части.

Имеем .

Ясно, что в качестве кривой можно взять только (ось ). В каждой точке этого решения нарушается единственность решения задачи Коши. Возьмем любую точку на решении . Подставим координаты этой точки в общее решение; получим .

Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение .

Таким образом, через точку проходит не одна интегральная кривая. Следовательно, - особое решение исходного уравнения.
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое

относительно , имеет вид (ДУ (3.2))



или .

Последнее уравнение является частным случаем уравнения



.(4.1)Дифференциальное уравнение первого порядка называется интегрируемым в квадратурах (или просто интегрируемым), если его общее решение может быть получено с помощью конечного числа элементарных (алгебраических) операций и квадратур. (Квадратурой называется операция отыскания первообразных.) Среди дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах, рассмотрим некоторые виды ДУ первого порядка.
4.1. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
ДУ первого порядка (3.2) называется уравнением с разделенными переменными, если его можно представить в виде

,(4.2)в котором одно слагаемое зависит только от , а другое только от . Для решения этого уравнения достаточно его проинтегрировать, получив общий интеграл уравнения (4.2):

или ,

где , - первообразные функций , соответственно. Если последнее уравнение разрешить относительно , то получится равенство , правая часть которого является общим решением исходного уравнения (4.2).
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.
Решение. Интегрируя, находим

.

Отсюда и .

Это равенство можно переписать в виде или (так как ) .
Замечание. Поскольку нахождение из общего интеграла может представлять значительные трудности, но уже имеющие только алгебраический характер, то задачу решения ДУ считают законченной уже тогда, когда найден его общий интеграл. Более того, если общий интеграл (или решение) уравнения выражен через неэлементарные интегралы, то и тогда уравнение считается решенным.

Например, 1) интегрируя уравнение , находим его общий интеграл . Хотя выразить отсюда через и мы не сможем, но все же считаем исходное уравнение решенным.

2) Аналогично, записав для уравнения общий интеграл , мы считаем, что решили уравнение, хотя интеграл и не выражается через элементарные функции.
4.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим частный вид уравнения (4.1), а именно, когда функции и представляют собой произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от , то есть

;

.(4.3)Подставим (4.3) в ДУ (4.1), получим

.(4.4)Дифференциальное уравнение вида (4.4) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Разделив почленно уравнение (4.4) на при условии, что , получим уравнение с разделенными переменными:



.(4.5)Взяв неопределённые интегралы от обеих частей ДУ (4.5), получим общий интеграл данного уравнения:

.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.
Решение. Правая часть данного уравнения разлагается на множители

.

Поскольку , обе части последнего уравнения разделим на и умножим на :



.

интегрируя, получим



.

Ответ: .


Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения , если при .
Решение. Данное ДУ можно сразу интегрировать:

.

Учитывая начальные условия, найдём :



.

Ответ: .

Многие ДУ могут быть приведены к виду уравнения с разделяющимися переменными путем замены переменных.

К числу таких уравнений относятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка.


4.3. Однородные дифференциальные уравнения
Функция называется однородной измерения , если для выполняется равенство .

Дифференциальное уравнение первого порядка



.(4.6)называется однородным, если и - однородные функции одного и того же измерения , то есть

;

.

Однородное дифференциальное уравнение имеет вторую форму:



.(4.7)Дифференциальные уравнения (4.6) и (4.7) заменой приводятся к ДУ с разделяющимися переменными и , общий интеграл которых находится по методу интегрирования ДУ (4.4).
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Это уравнение однородное, так как обе функции и - однородные первого измерения, удовлетворяющие условиям:

,

.

Пусть , тогда . Подставляя значения и в исходное уравнение, получим



.

После упрощения получим



.

Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными:



.

Возвращаясь к старой переменной ( ), получим



.

Ответ. .


Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения

, если при .
Решение. Полагая , , придём к уравнению с разделяющимися переменными:

,

.

Заменяя значение , получим общее решение исходного уравнения:



.

Учитывая начальное условие , находим частное решение данного уравнения:



.

Если же , то из подстановки получим , ( ) ­особое решение.

Ответ: , .
4.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

,(4.8)в которое неизвестная функция и ее производная входят линейно (т.е. в первой степени).

Если , то уравнение (4.8) называется линейным неоднородным, если же - линейным однородным.

Пусть , . Решение уравнения (4.8) будем искать в виде произведения функций , , то есть

.

Так как одна функция выражается через две, то одной из двух функций мы можем управлять произвольно, как это удобно для решения, вторая функция будет зависеть от выбора первой.

Подставим , в ДУ (4.8).

Тогда


Или


.(4.9)Выберем функцию так, чтобы в уравнении (4.9) обратился в нуль коэффициент при функции , то есть чтобы

.(4.10)

ДУ (4.10) - с разделяющимися переменными. Решая его, получим (при )





(4.11)

Мы берём какое-либо частное решение ДУ (4.10), а не общее, так как нам достаточно подобрать одну функцию . Подставляя найденное значение из (4.11) в (4.9), получаем ДУ с разделяющимися переменными для определения функции :



.

Откуда находим общее решение :



(4.12)Окончательно общее решение линейного уравнения (4.8):

(4.13)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.
Решение. Для решения можно было бы воспользоваться готовой формулой (4.13), но она сложна для запоминания, поэтому при решении кратко повторим все выкладки общего случая.

Полагаем , тогда . Подставляем значения и в данное уравнение, получим



или


.(*)Выберем функцию так, чтобы коэффициент при обратился в нуль:

- это ДУ с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные , интегрируем и берем какое-либо одно частное решение для , например, полагая .

Получим

.

Подставляя найденную функцию в уравнение (*), получим для определения следующее уравнение с разделяющимися переменными:



.

Окончательно



.

Ответ: .


4.5. Дифференциальные уравнения Бернулли
Могут встречаться такие уравнения, которые не являются линейными, но, однако, могут быть приведены к линейным с помощью некоторых преобразований. Одним из таких уравнений является уравнение Бернулли, которое имеет вид

,(4.14)где - любое постоянное число, не равное 0 и 1 (если или , то уравнение (4.14) является линейным уравнением), и легко приводится к линейному. Разделим (при ) все члены уравнения (4.14) на , получим

.(4.15)Введём новую функцию

, ( ).(4.16)Продифференцировав (4.16) по (как сложную функцию), получим

,

то есть


.

Подставим и в уравнение (4.15):



.(4.17)ДУ (4.17) является линейным относительно . Его решение можно найти методом, изложенным в п.4.4. Зная , легко найти : .

Заметим, что уравнение Бернулли можно, не преобразовывая предварительно к линейному уравнению, решить тем же способом, что и линейное уравнение, полагая сразу . Продемонстрируем это на примере.


Пример. Решить уравнение

.
Решение. Положим , тогда . Подставляем значения и в данное уравнение, получим

.(*)Подберем так, чтобы коэффициент при в уравнении (*) обратился в нуль:

- это ДУ с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные, имеем , откуда, интегрируя, получим



(берем одно частное решение , поэтому ), следовательно, .

Подставляя значение в уравнение (*), получим для определения следующее уравнение с разделяющимися переменными:

или


.

Интегрируя, имеем



,

откуда


.

Окончательно имеем решение исходного ДУ в виде



.

Ответ: .


4.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

,(4.18)левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой функции , Т.е.

.(4.19)Его общий интеграл имеет вид

.(4.20)Известно, что полный дифференциал функции выражается формулой

.(4.21)Из равенств (4.19) и (4.21) следует, что

.(4.22)

Необходимым и достаточным условием того, что левая часть уравнения (4.18) является полным дифференциалом некоторой функции, является выполнение равенства



.(4.23)Функция , входящая в формулу (4.20), находится из уравнений (4.22).

Пример. Найти общее решение уравнения

.
Решение. Для данного уравнения

,

.

Так как , то наше уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Следовательно, .

Интегрируя первое уравнение по ( при этом считается постоянным), находим



,

где - функция, подлежащая определению.

Дифференцируя по найденную функцию и принимая во внимание равенство

,

Получим .

Тогда общее решение данного уравнения будет иметь вид

.

Ответ: .


следующая страница >>



Образование стоит денег. Невежество — тоже. Клаус Мозер
ещё >>