О синтезе дискретно-кодированных последовательностей периода - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вопросы к экзамену по дисциплине «Прикладной функциональный анализ» 1 36.69kb.
Справочник по составляющим 1 53.19kb.
Методы восстановления в органическом синтезе 10 999.17kb.
Задача Вычисление количества последовательностей значений из заданного... 1 53kb.
Программа государственного экзаменА по специальности 230201. 1 52.42kb.
Генераторы реальных случайных последовательностей 1 108.06kb.
О машинном синтезе некоторых линейных программ1 2 343.03kb.
Пределы последовательностей 1 256.85kb.
Супрамолекулярные гидрогели на основе l-цистеина и нитрата серебра. 1 23.38kb.
О связи основного уравнения четырехполюсника и рекуррентных последовательностей... 1 65.64kb.
Выравнивание аминокислотных последовательностей эндонуклеаз рестрикции... 1 222.51kb.
Реферат по предложенной тематике. Знать основные понятия и утверждения... 1 37.1kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

О синтезе дискретно-кодированных последовательностей периода - страница №1/3


Теория сигналов и систем


Теория сигналов и систем


О СИНТЕЗЕ ДИСКРЕТНО-КОДИРОВАННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПЕРИОДА

Гантмахер В.Е., Едемский В.А., Платонов С.М.

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Введение

Дискретно - кодированные последовательности (ДКП), обладающие хорошими корреляционными свойствами, имеют широкий круг применений [1]. Методика синтеза ДКП простого периода на основе классов степенных вычетов, удовлетворяющих заданным ограничениям на основные параметры, была предложена в [2], а результаты синтеза по данной методике изложены в [3-7].

Рассмотрим применение упомянутой выше методики, заключающейся в комплексном использовании теории спектров разностей классов вычетов и циклотомических чисел, на случай синтеза ДКП периода .

Наша цель заключается в синтезе двоичных последовательностей (ДП) составного периода с периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ), близкой к одноуровневой (по числу уровней боковых лепестков) и троичных последовательностей (ТП) с ПАКФ близкой к идеальной.. При этом рельефы ПАКФ ДП и ТП будут определены посредством разложения простого числа на сумму квадратов целых чисел.


1. Конструкция последовательностей

Рассмотрим две ДКП простого периода и ДКП периода , сформированную по правилу кодирования (ПК): (1), здесь - целые числа.



Лемма 1. ПАКФ ДКП определяется соотношением:

где - соответственно, ПАКФ и периодические взаимно -корреляционные функции (ПВКФ) ДКП .

Лемма 1 следует из определения ПАКФ, ПВКФ и правила построения ДКП .Она позволяет определять ПАКФ ДКП периода 2р, сформированной по ПК (1), посредством вычисления ПАКФ и ПВКФ ДКП периода .

Покажем это на примере последовательностей , сформированных на основе классов степенных вычетов , , где и - натуральные числа, - первообразный корень по модулю . Таким образом, ДКП формируются по ПК: (2). Здесь , непересекающиеся подмножества индексов и . Если множество - пустое, то последовательности является двоичными.

В [2] была предложена методика анализа и синтеза последовательностей, сформированных по ПК (2), с заданными ограничениями на основные параметры: ПАКФ, период, пик фактор и другие. На основании упомянутой методики, заключающейся в комплексном использовании теории спектров разностей классов вычетов (СРКВ) и циклотомических чисел, были получены новые ПК многочисленных семейств ДП и ТП.

Лемма 1 позволяет использовать как предыдущие результаты, так и методику для синтеза последовательностей с периодом , сформированных по ПК (1).

СРКВ и обозначим через [3] и рассмотрим несколько примеров синтеза ДКП, базирующихся на полученных ранее результатах для периода .
2. ДП с квазиодноуровневой ПАКФ

Известные семейства ДП с одноуровневой ПАКФ (по числу уровней боковых лепестков) обладают относительно редкой сеткой периодов [1,3], поэтому целесообразно также рассматривать ДП с ПАКФ близкой к одноуровневой (квазиодноуровневой). Результаты синтеза ДП с квазиодноуровневой ПАКФ приведены в [4,5].

Лемма 1 позволяет обобщить указанные результаты на период , сделаем это при . Отметим, что рассматриваемые ДП периода отличаются от ДП, исследуемых в [8] и сформированных на основе классов биквадратичных вычетов. При использовании ПК (1) ДП не соответствуют классы степенных вычетов, в отличие от ДП, рассмотренных в [8].

Если , то справедливо разложение:, , где - целые числа, определяющее рельефы ПАКФ и ПВКФ ДКП, сформированных на основе классов степенных вычетов.

Так как, согласно лемме 1, , то при построении ДП с ПАКФ, близкой к одноуровневой, значение должно быть приблизительно равно среднему значению боковых лепестков ПВКФ. Учитывая средние значения ПАКФ и ПВКФ, сформированных на основе классов степенных вычетов, получаем, что ДП будут определяться двумя классами степенных вычетов, из который один общий [3]. Не нарушая общности, можно считать, что это класс с нулевым номером.

Обозначим через разность между наибольшим и наименьшим боковыми лепестками ПАКФ ДКП . В этом разделе рассмотрим задачу синтеза ДП со значением , не превышающем заданного порогового числа. Предположим, что .



Теорема 1. Если ДП сформированы по ПК (2) при , и соответственно, то для ПАКФ ДП , сформированной по ПК (1), значение .

Доказательство. ПАКФ ДП определяется СРКВ , где - оператор циклического сдвига Хаффмена и, согласно [5], справедливы взаимно - однозначные соответствия:

если четно, то: , (3),

а если же нечетно, то: (4)

(знак - означает, что если , то совпадает с - ой гармоникой СРКВ [3]).

С другой стороны, СРКВ, определяющий ПАКФ ДП , получается путем циклического сдвига на единицу СРКВ, соответствующего ПАКФ ДП [3]. Таким образом, согласно (3) и (4), если четно, то: , (5),

а если же нечетно, то: (6).

В силу леммы 1 для четного значения от 1 до ПАКФ определяется формулами (5,6) и принимает значения: или в зависимости от четности .

ПВКФ ДП определяется СРКВ и, согласно [5], имеет следующие уровни боковых лепестков: .

По лемме 1 для нечетного значения уровни боковых лепестков ПАКФ получаются как суммы уровней боковых лепестков ПВКФ пар ДП и . Анализ полученных, в результате суммирования, уровней ПАКФ показывает, что .



Следствие 1.1. Если , то, в условиях теоремы, для ПАКФ ДКП значение .

Ряд значений , удовлетворяющих условиям следствия 1.1 17, 37, 101, 197, 257, 401, 677,1297, 1601,… показывает, что рассматриваемые ДП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Доказанная теорема остается справедливой при любом циклическом сдвиге номеров классов в ПК. Несложно убедится, повторяя доказательство теоремы 1, что если одна из ДП сформирована по ПК (2) при , то в этом варианте ПАКФ ДП далека от одноуровневой.

Таким образом, найдены семейства двоичных последовательностей с одинаковым рельефом автокорреляционной функции, имеющие одинаковые формулы для вычисления периода, боковых лепестков . Определены достаточные условия синтеза ДП с ПАКФ близкой к одноуровневой. Так как рельеф ПАКФ синтезируемых ДП не зависит от , то теорема 1 позволяет формировать семейства ДП заданного размера и одинаковым рельефом ПАКФ.. Более того, если в качестве меры квазиодноуровневости рассматривать не абсолютную, а относительную разность между уровнями боковых лепестков ПАКФ, то теорема 1 позволяет формировать ДП с малыми значениями .



3. ТП с квазиидеальной ПАКФ

ТП с идеальной ПАКФ часто используются при решении различных задач, при этом известные ТП имеют относительно редкую сетку периодов [1]. В то же время, для целого ряда прикладных задач целесообразно рассмотривать ТП с квазиидеальной ПАКФ, то есть с относительно небольшими значениями боковых лепестков ПАКФ , где [3,7].

В этом разделе рассмотрим задачу синтеза ТП с ПАКФ удовлетворяющей неравенству: , , где - заданное пороговое значение. Не нарушая общности, можно считать, что при формировании ТП классу степенных вычетов с нулевым номером соответствует единица.

Теорема 2. Если ТП сформированы по ПК (2) при , и соответственно, то ПАКФ ТП , сформированной по ПК (1), определяется четырьмя уровнями, .

Доказательство. По лемме 1 для четных значений ПАКФ , где . Если ТП сформированы по указанным в условии теоремы 2 ПК, то [3,7]: и (7).

Согласно [7], для четного справедливы следующие соотношения: для четного , а для нечетного :.В силу формулы (7) данные соотношения определяют и ПВКФ .

Суммируя , получаем, что для четных значений ПАКФ принимает только одно значение, равное минус единице.

Согласно лемме 1, при нечетном значении уровни боковых лепестков ПАКФ будут определяться суммой боковых лепестков ПВКФ пар ТП и , которые также определены в [7]..При выполнении условий теоремы 2 ПВКФ ,.Следовательно, при нечетном значении уровни боковых лепестков ПАКФ будут принадлежать множеству , что, и доказывает теорему 2.

Следствие 2.1. В условиях теоремы 2.

Следствие 2.1. Если , то ТП, сформированная по ПК (1) будет иметь квазиидеальную ПАКФ , .

Ряд значений , удовлетворяющих условиям следствия 2.1 [2]: 29, 53, 173, 229, 293,733,1093, 1229, 1373,…. показывает, что рассматриваемые ТП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Доказанная теорема остается справедливой при любом циклическом сдвиге номеров классов, участвующих в ПК.

Таким образом, теорема 2 определяет достаточные условия существования ТП с квазиидеальной ПАКФ, все ТП, определяемые теоремой 2 с периодом при будут удовлетворять заданному ограничению. Так как рельеф ПАКФ ТП не зависит от , то теорема 2 позволяет формировать семейства ТП заданного размера и одинаковым рельефом ПАКФ.



Литература

1. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М. "Радио и связь". 1992 г. 162 с.

2. V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy. The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints. Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China. 2007, pp. 4-8.

3. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

4. V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy. Synthesis Results of the Periodic Discretely Coded Sequences with the Parameters Constraints Defined on the Basis of the Cyclotomic Classes. Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China. 2007, pp. 9-12.

5. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Результаты синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляционной функцией, формируемых на основе классов вычетов по простому модулю. Известия вузов. Радиоэлектроника. 2007. вып. 5.

6. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Корреляционные функции троичных последовательностей с простым периодом. Вестник КАИ им. А.Н. Туполева. 2007 г. Вып. 2, с. 41-44.

7. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Анализ и синтез троичных и бинарных последовательностей простого периода с квазиидеальной автокорреляцией. - Сб. докл. 9-ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения". - М.: 2007 г. т. 1, с.14-17

8. C. Ding, T. Helleseth, and K. Y. Lam. Several Classes of binary sequences with tree-level autocorrelation // IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 45, pp 2601-2606. Nov. 1999.





ABOUT SYNTHESIS OF DISCRETELY-CODED SEQUENCES OF PERIOD

Gantmacher V., Edemsky V., Platonov S.

Yaroslav the Wise Novgorod State University

Binary and ternary sequences with good autocorrelation properties are widely used in communication, radar, and sonar systems [1]. In [2], the methodology was developed for synthesis of discretely-coded sequences of prime period based on power residues classes satisfying the defined constraints imposed on general parameters. The sequences synthesis results, obtained using this methodology, are given in [3].

The method of constructing discretely-coded sequences of period , basing on two sequences of period , is presented. This method allows to use either previous results [3] or the methodology itself, which implies the complex usage of residue classes spectrums theory and cyclotomic numbers [2], in order to synthesize sequences of compound period .

It is shown that the complex usage of residue classes spectrums theory allows to analyze and synthesize discretely-coded sequences of period , constructed on the basis of power residues classes prime modulo [2]. This methodology is an effective mathematical tool [2,3], which allows also to calculate periodic autocorrelation and cross-correlation functions of discretely-coded sequences constructed on the basis of power residues classes. The calculation results enable us to construct sequences, satisfying the defined constraints imposed on the autocorrelation function sidelobes levels. The usage of the complex methodology allows to calculate correlation modular surfaces by expanding prime into the sum of integral squares.

The sequence of period is constructed using two binary sequences of period , formed on the basis of power residue prime modulo with . This sequence’s autocorrelation modular surface is defined. We have discovered families of binary sequences with identical autocorrelation modular surface with equal formulas for period and sidelobes calculation. The sufficient conditions for existence of binary sequences of period with the autocorrelation function close to one-level function are specified. The constructed binary sequences have quite a dense periods array.

The sufficient conditions for existence of ternary sequences of period with the periodic autocorrelation function close to ideal function are defined. The required sequences are obtained using two ternary sequences, constructed by power residues classes prime modulo with . The constructed ternary sequences have quite a dense periods array.

The proposed approach widens the abilities of the known coding rules and allows to construct new coding rules for binary and ternary sequences of the compound period.

References

[1] V.P. Ipatov, Periodic Discrete Signals with Optimal Correlation Functions. Moscow, "Radio and Communication," 1992, p. 162.

[2] V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy, “The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints.” Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07), China. 2007, pp. 4-8.

[3] V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy, “Synthesis Results of the Periodic Discretely Coded Sequences with the Parameters Constraints Defined on the Basis of the Cyclotomic Classes.” Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07), China, 2007, pp. 9-12.




следующая страница >>



Если бы женщины одевались только для одного мужчины, это не продолжалось бы так долго. Марсель Ашар
ещё >>