Моделирование и прогнозирование коротких выборок экономической динамики линейным трендом и гармонической компонентой

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КОРОТКИХ ВЫБОРОК ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНЫМ ТРЕНДОМ И ГАРМОНИЧЕСКОЙ КОМПОНЕНТОЙ
В.К.Семёнычев, Е.В.Семёнычев
Предложены методы аппроксимации и прогнозирования коротких выборок экономической динамики линейным трендом и аддитивной или мультипликативной гармонической компонентой. Показаны преимущества по точности данных методов в сравнении с известным методом декомпозиции.
Самарский государственный аэрокосмический университет
В экономической практике широко распространены ряды динамики, содержащие тренд и колебательную

(сезонную с периодом до года или циклическую с периодом более года) компоненту, где

номера наблюдений,

- объем выборки.

До настоящего времени наиболее часто тренд в таких рядах моделируется аналитической линейной функцией с параметрами ,, а колебательная компонента – непараметрической моделью из индексов отдельных наблюдений, лежащих внутри одного периода колебательной компоненты, в качестве которых берут средние значения соответствующих наблюдений в 4 - 10 периодах (т.е. используют выборку из 48 – 120 наблюдений).

Модель может быть аддитивной
, (1)
или мультипликативной
(2)
где - шаг дискретизации анализируемого экономического показателя (например, год, месяц, квартал или день), а стохастическую компоненту считают гомоскедастической, т.е. имеющей дисперсию независимую от номеров наблюдения «».

Известным методом оценки параметров в моделях (1) и (2) является декомпозиция ряда, называемая обычно «сезонной» декомпозицией, с первоначальным текущим сглаживанием наблюдений ряда, затем оценкой индексов колебательной компоненты для наблюдений внутри одного периода компоненты и ее элиминирование, и, наконец, параметризация линейного тренда, например, методом наименьших квадратов (МНК) [1]. В обоих случаях сезонной декомпозиции усредненные индексы корректируют для выполнения некоторых условий [1].

В реальной экономической практике моделирования рядов с колебательной компонентой, особенно тренд-циклических, возможна вариация параметров и моделей компонент, в первую очередь, амплитуды колебательной компоненты. Очевидно, что подобная декомпозиция и непараметрическое моделирование на длинных выборках не смогут передать эволюцию параметров.

Известным аналитическим (параметрическим представлением) модели (1) является следующая

, (3)
а для мультипликативной структуры ряда (2) можно предложить аналитическое выражение

(4)
где

Для моделей (3) и (4) известные условия для индексов удовлетворяются автоматически и нет необходимости какой-либо коррекции.

Эволюцию амплитуды может передать и модель
(5).
До настоящего времени известен единственный параметрический метод Уинтерса для моделирования рядов динамики с колебательной компонентой, который применим лишь к модели (3), еще более сложен, чем метод декомпозиции, и требует практически таких же длинных выборок [2].

Для параметрических моделей (3), (4) и (5) можно обеспечить моделирование и прогнозирование эволюционирующих рядов динамики на основе моделей авторегрессии – скользящего среднего, в соответствии с методикой изложенной в [4].

Для модели (3) получим при следующую модель авторегрессии – скользящего среднего четвёртого порядка (далее для простоты просто авторегрессии) для уровней ряда динамики
, (6)
где – коэффициент авторегрессии, определяемый частотой колебательной компоненты ω при известном шаге дискретизации , а – новое значение гомоскедастической стохастической компоненты, образованной весовой суммой значений стохастической компоненты от до при формировании модели (6)
. (7)
Через коэффициент , который входит в регрессию (6) линейно, осуществляется перепараметризация нелинейного параметра ω (второй нелинейный параметр в модели авторегрессии не отражен) гармонической колебательной компоненты. Из (6) можем определить параметр , точнее его оценку , одним из известных методов статистического сглаживания, например, МНК, реализуя условие

где для обобщения результатов введен весовой коэффициент , использование которого необходимо в случае гетероскедастичности (зависимости ее дисперсии от «») и реализации тем самым обобщенного (взвешенного) МНК [3].

Символ означает операцию поиска значения , которое обеспечивает минимальное значение среднеквадратической невязки

.
Условие нахождения μ⁰ реализуется взятием частной производной по

от среднеквадратической невязки, приравниванием полученного выражения нулю и получения тем самым линейного уравнения относительно

, называемого «нормальным».

По оценке можно рассчитать, с учетом обозначений в (6), оценку частоты по формуле

.
Получив значение

, можем перейти к определению МНК - оценок параметров

линейного тренда и параметров

гармоники. Для этого представим (6) в виде

где , .

Для параметризации реализуем следующее условие МНК – оценок
,
которое приводит к «нормальной» системе алгебраических уравнений (СЛАУ) четвертого порядка.

Решение данной СЛАУ любым из известных методов определит оценки искомых параметров модели:

,
а также

.
Заметим, что при выборе знака в оценке

следует учитывать знаки

, получающиеся при решении СЛАУ.

Модели (4) при соответствует следующая модель авторегрессии шестого порядка из уровней ряда динамики

(8)
где

, а

– стохастическая компонента, определяемую через

, как и в (7), моделью, аналогичной выражению (8).

Составим и решим СЛАУ второго порядка (или квадратное уравнение) для определения МНК - оценки :

Оценка

СЛАУ даёт возможность рассчитать оценку частоты гармонической колебательной компоненты по формуле

.
Перейдем к оценке параметров

, представив (4) в виде:

(9)
где

Очевидна возможность определения МНК - оценок параметров путём решения нормальной СЛАУ шестого порядка, реализующей условие

В результате получим оценки параметров , а также можем рассчитать оценки параметра и фазового сдвига по следующим формулам

.
Для модели (5) при

будет также справедлива модель авторегрессии (8), обозначения в ней и формула для определения оценки частоты

Для получения оценок и в этом случае следует решать соответствующую нормальную СЛАУ четвертого порядка и воспользоваться следующими формулами для параметризации гармоники.

.
Предложенные методы параметризации позволяют по одной и той же выборке, без выполнения декомпозиции осуществить моделирование и прогнозирование тренда и колебательной компоненты, определить остаток

Вычислительные эксперименты по реализации данных методов моделирования и прогнозирования, их реализация на реальных статистических данных показали зависимость вычислительной устойчивости решения соответствующих СЛАУ, формируемых из коротких выборок, от соотношения мощности стохастической компоненты и значений параметров моделей, а также от соотношения периода опроса и периода колебательной компоненты, от порядка модели авторегрессии-скользящего среднего (с ростом порядка авторегрессии усиливается эффект мультиколлинеарности - линейной зависимости уравнений СЛАУ).

Период опроса анализируемых показателей при исследовании экономической динамики практически не может изменяться (обычно закреплен нормативно). Поэтому целесообразно ограничивать сложность моделей (от неё зависит порядок авторегрессии) и разрабатывать специальные меры по минимизации порядка [5].

Для иллюстрации характеристик предложенных методов на рис. 1 показана существенно большая точность (большие значения коэффициента детерминации R²), обеспечиваемые предложенным методом для модели (2) в сравнении с методом «сезонной» декомпозиции

Рис. 1. Зависимость R² от числа наблюдений для метода декомпозиции и метода параметрической авторегрессии

Из рис. 1 видим, что ошибка прогноза предлагаемым методом существенно меньше при меньших объёмах выборки и имеет другую тенденцию – практически не растёт при увеличении объёма выборки.

Для реализации параметризации вариации параметров тренда и колебательной компоненты целесообразно при получении МНК – оценок параметров осуществлять текущее сглаживание по выборке. При этом МНК-оценки рассчитываются на короткой выборке, дающей достаточно высокую точность моделирования и прогнозирования, например, в 20 - 24 наблюдения.

Эта короткая выборка перемещается по временной оси с шагом равным единице, позволяя на каждом шаге получать новые оценки. Например, если имеется общая выборка в 48 наблюдений, то можем получить двадцать пять текущих оценок параметров, изменение которых позволит, при проверке соответствующей статистической гипотезы о наличие тренда, ответить на вопрос о наличие эволюции что позволяет ограничиться относительно малым объёмом, обеспечивая тем самым мониторинг возможной вариации параметров модели, расширяя тем самым область приложения моделирования.

Рис. 2 показывает, что и относительная погрешность прогноза на малых выборках предложенным методом существенно меньше, чем у известного.

Рис. 2. Зависимость относительной ошибки  прогноза от количества наблюдений для метода сезонной декомпозиции и метода параметрической авторегрессии

Аналогичные характеристики по точности моделирования и прогнозирования ряда динамики имеют предложенные методы и для моделей (4) и (5).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Теория статистики. /Под ред.Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика. 2004. - 655 с.

2.Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. - М.: Финансы и статистика. 2003. - 416 с.

3.Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. – М.: Финансы и статистика. 1981. - 302 с.

4.Семёнычев В.К. Общий подход к идентификации экономической динамики моделями авторегрессии. Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени С.П.Королева. - Самара. СГАУ. 2004. № 4 (6). – С.63 – 68.

5.Семёнычев Е.В. Параметрическое моделирование и прогнозирование рядов экономической динамики с колебательной компонентой. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.э.н. Самара. СГАУ. 2006. - 16 с.