Множества Множество - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Теория нечетких множеств Понятие нечеткого множества. Свойства нечетких... 1 106.67kb.
Лекция 1 Множества и отношения. Логические связки 1 Множества 1 261.97kb.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе 1 185.27kb.
Тема Основные понятия теории множеств 1 71.81kb.
Задать различными способами множество м всех нечетных чисел 1, 3... 1 22.22kb.
Лабораторная работа №3 Множества 1 60.01kb.
Вопросы (Коллоквиум) 1 11.35kb.
Множества. Операции над множествами 1 130.04kb.
Вопросы по курсу "Функциональный анализ" 1 190.89kb.
1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой 19 1190.44kb.
Теоретические вопросы из билетов к зачету (I семестр): 1 22.17kb.
Лекция 7 Рассмотрим расширенный метод Хюккеля: матрица 1 24.07kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Множества Множество - страница №1/1

Множества
Множество. В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов. При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, X,... . Тот факт, что объект а является элементом множества А, записывается так: и читается «а принадлежит множеству А», «а входит в множество А». Запись означает, что а не является элементом множества А.



Операции над множествами.

1.Объединение множеств.

Определение. Объединение множеств А и В ­­­есть множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств ().

2.Пересечение множеств.

Определение. Пересечение множеств А и В ­­­есть множество С, элементы которого принадлежат одновременно и А и В ().

3.Разность множеств.

Определение. Разностью множеств А и В ­­­есть множество С, элементы которого принадлежат А, но не принадлежат В ().

3.Подмножества.

Определение.Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий множеству А ­­­принадлежит и множеству В : ().
Числовые множества
Множество натуральных чисел. Числа, употребляемые для счета, называются натуральными (N=).

Множество целых чисел. Целые числа состоят из натуральных, нуля и чисел, противоположных натуральным (Z =).

Множество рациональных чисел. Рациональными числами называются числа, которые представимы как , где p – целое, а q – натуральное (Q =).

Операции сложения: .

Операция умножения: .

Свойства сложения:

1. .

2. .



3. , что .

4. существует и притом единственный , так что (разность множеств).

5. Если то .

Свойства умножения:

1. .



2. существует единичный элемент, что .

3. существует такой элемент (обратное ему), что . 4. существует такой элемент , что . 5.Если .

Множество рациональных и иррациональных чисел
Всякое положительное рациональное число разлагается в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Верно и обратное утверждение:

Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого положительного рационального числа .
Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом.

Иррациональное число нельзя представить в виде дроби и обратно, каждое число не представимое в виде является иррациональным.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел обозначается символом R и называется множеством действительных чисел.

Над множествами действительных чисел можно провести все те же операции, что и над множеством рациональных чисел.


Модуль действительного числа
Абсолютной величиной (или модулем) отрицательного числа называется положительное число, получаемое от перемены его знака () на обратный (+). Абсолютной величиной положительного числа (а также числа 0) называется само это число.

Определение модуля числа а дадим следующим способом:

Из этого определения видно, что модуль любого числа неотрицателен.


Основные свойства модуля 1.


2.

3.

4.

Геометрическая интерпретация модуля. Если точка А на числовой оси имеет координату а, то расстояние от А до 0 равно . Расстояние между точками A(a) и B(b) на прямой равно
Границы числовых множеств
Пусть имеем числовое множество А.

Определение. Множество А называется ограниченным сверху, если существует такое число , что . Число называется верхней гранью множества А. Очевидно, что если верхняя грань, то любое число также является верхней гранью. Наименьшая из верхних граней – называется точной верхней гранью, которая обозначается:

Определение. Множество А называется неограниченным сверху, если существует

Определение. Множество А называется ограниченным снизу, если существует такое число , что . Число называется нижней гранью множества А. Очевидно, что если нижняя грань, то любое число также является нижней гранью. Наибольшая из нижних граней – называется точной нижней гранью, которая обозначается:

Определение. Множество А неограниченно снизу, если

для существует



Определение. Множество А называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Возникает вопрос: всегда ли для ограниченных множеств существуют и На этот вопрос отвечает следующая теорема:



Теорема Дедекинда. Любое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань, т.е. существует наименьший элемент среди верхних граней; и любое ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань, т.е. существует наибольший элемент среди нижних граней.

Например: для множества существуют и , также существует , который совпадает (), но не существует .

Если в множестве А существует максимальный элемент, то совпадает с максимумом. Если в множестве А существует минимальный элемент, то совпадает с минимумом.


1)верхняя грань, ;

2) что



1)нижняя грань, ;

2) что


Утверждения 1) свидетельствуют о том, что и являются одной из верхних и нижних граней.

Утверждения 2) свидетельствуют о том, что грань является наименьшей и уменьшена быть не может; грань является наибольшей и увеличена быть не может.




По существу, среди всех «инородцев» в России — несмотря на все антисемитские вопли, — нет элемента, который мог бы легче, чем евреи, быть поставлен на службу российской государственности и ассимилирован с русской культурой. Петр Струве
ещё >>