Марковские процессы - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
4. марковские системы обслуживания цепи Маркова 2 231.35kb.
Основы электрохимии Электрохимия – это раздел химии, изучающий химические... 1 51.3kb.
Покупную «правду» игоря маркова 1 46.5kb.
Молекулярно-селективные и нелинейные явления и процессы 1 19.78kb.
Голубева М. Ю. (Гоу впо "нггу", студент) 1 86.15kb.
Непрерывные хроматографические методы газоаналитического контроля 1 69.33kb.
Лекция №4 от 25. 01. 02. Психические процессы Познавательные психические... 1 177.63kb.
Оды snap: название источника: процессы сжигания в энергетической... 12 3817.07kb.
Воздействие радиации на живые организмы 1 83.4kb.
Психические процессы в рекламе и психологические воздействия Эмоциональный... 1 210.75kb.
И. Н. Кривоносова, аспирант гоувпо «мгус» г. Москва Г. Н. Сюткин 1 44.3kb.
Вопросы к экзамену по курсу «теория вероятностей и математическая... 1 24.7kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Марковские процессы - страница №1/1



Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко

(подпись)

____________________

(дата утверждения)

Регистрационный № УД-15-2010-621/р.

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Учебная программа для специальности

1-31 03 01 02 Математика (научно-педагогическая деятельность)

Факультет математический




Кафедра Экономической кибернетики и теории вероятностей




Курс (курсы) 4


Семестр (семестры) 7

Лекции 14 часов Экзамен 7

Практические (семинарские)

занятия 18 часов Зачет –
Лабораторные

занятия – Курсовой проект (работа) –


Самостоятельная управляемая работа студентов 4 часа


Всего аудиторных


часов по дисциплине 36 часов

Всего часов Форма получения


по дисциплине 42 часа высшего образования дневная

Составила Ю.С. Боярович

2010

Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы «Теория вероятностей и математическая статистика», утвержденной 28 мая 2010 года, регистрационный № УД -15-2010-621/ баз.


Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта
на заседании кафедры экономической кибернетики и теории вероятностей
14 мая 2010 г., протокол № 11
Заведующий кафедрой

профессор _________ Ю.В. Малинковский


Одобрена и рекомендована к утверждению
Методическим советом математического факультета
17 мая 2010 г., протокол № 9

Председатель


доцент ____________ В.М. Селькин

Пояснительная записка

В результате современной компьютеризации и информатизации различных сфер жизни все большее внимание уделяется исследованию процессов, описывающих поступление, хранение, обработку и передачу информации. Рассмотрение многих систем хранения, обработки и передачи информации (например, сетей ЭВМ и ПЭВМ) требует применения аппарата теории вероятностей и тесно связано с такими дисциплинами как теория массового обслуживания и теория сетей массового обслуживания. Базой для изучения указанных дисциплин является спецкурс «Марковские процессы». Спецкурс «Марковские процессы» посвящен изучению одного из важнейших классов случайных процессов – марковских процессов. Для многих реальных процессов марковские процессы являются удобной математической моделью.

Целью дисциплины «Марковские процессы» является изучение основ теории марковских процессов.

Задачами спецкурса являются:

– ознакомление студентов с основными понятиями теории марковских процессов, стационарного распределения марковского процесса, знакомство с понятием эргодичности;

– усвоение студентами классификации цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем, понятий эргодичности и стационарного распределения;

– овладение навыками составления уравнений равновесия для стационарных вероятностей;

– усвоение студентами эргодических теорем, позволяющих устанавливать факт существования и единственности стационарного распределения вероятностей состояний марковского процесса;

– овладение методами исследования и моделирования марковских процессов, а также методами анализа марковских процессов;

– формирование умений и навыков по применению понятий теории марковских процессов, по составлению уравнений Колмогорова и уравнений равновесия, по применению эргодических теорем, по обращению с инфинитезимальными характеристиками.

Материал спецкурса «Марковские процессы» основывается на ранее полученных студентами знаниях по таким дисциплинам, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Случайные процессы».

Общее количество часов – 42; аудиторное количество часов — 36, из них: лекции — 14, практические занятия — 18, самостоятельная управляемая работа студентов (СУРС) — 4. Форма отчётности – экзамен.



Содержание учебного материала



Тема 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

Цепи Маркова с дискретным временем, основные определения. Переходные вероятности цепей Маркова. Уравнения Чепмена-Колмогорова. Эргодические цепи Маркова, эквивалентность определений. Стационарное распределение вероятностей состояний.


Тема 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

Классификация цепей Маркова по арифметическим свойствам вероятностей переходов. Неприводимые классы существенных и несущественных состояний. Период. Циклические подклассы. Возвратные и невозвратные состояния. Критерии возвратности.


Тема 3 ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Эргодическая теорема Феллера. Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна. Эргодическая теорема Маркова. Эргодическая теорема Фостера. Эргодическая теорема Мустафы.


Тема 4 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И С КОНЕЧНЫМ ИЛИ СЧЕТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ

Цепи Маркова с непрерывным временем, основные определения. Эргодичность Марковского процесса. Переходные вероятности и их свойства. Стандартные цепи Маркова. Уравнения Чепмена-Колмогорова. Начальное распределение. Стационарное распределение. Связь между эргодичностью и существованием единственного стационарного распределения вероятностей состояний марковского процесса.


Тема 5 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, СИСТЕМА ПРЯМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА

Инфинитезимальные характеристики марковского процесса. Интенсивности переходов. Инфинитезимальная матрица и ее свойства. Теорема Колмогорова. Классификация состояний. Консервативность цепи Маркова. Система прямых дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.


Тема 6 СИСТЕМА ОБРАТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА, УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ БЕЗУСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Система обратных дифференциально-разностных уравнений Колмогорова. Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей. Лемма о существовании и единственности решения прямых и обратных дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.


Тема 7 ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ,

СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Регулярные цепи Маркова. Вложенная цепь Маркова. Эргодичность цепи Маркова с непрерывным временем, эквивалентность определений. Уравнения равновесия. Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна. Эргодическая теорема Маркова. Эргодическая теорема Фостера.



Тема 8 ПРОЦЕССЫ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

Определение процесса размножения и гибели. Процессы размножения и гибели с конечным и счетным пространством состояний. Интенсивности переходов между состояниями процесса. Уравнения равновесия для процесса размножения и гибели. Стационарное распределение вероятностей состояний процесса размножения и гибели.


Учебно-методическая карта дисциплины





Номер раздела, темы, занятия

Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов



Количество аудиторных часов

Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)

Литература


Формы контроля

знаний


лекции

практические

(семинарские)

занятия


лабораторные

занятия


контролируемая

самостоятельная работа студента



1

2

3

4

5

6

7

8

9







14

18




4










1

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

  1. Цепи Маркова с дискретным временем, основные определения.

  2. Переходные вероятности цепей Маркова.

  3. Уравнения Чепмена-Колмогорова.

  4. Эргодические цепи Маркова, эквивалентность определений.

  5. Стационарное распределение вероятностей состояний.

2

4








[1-4]




2

КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

  1. Классификация цепей Маркова по арифметическим свойствам вероятностей переходов.

  2. Неприводимые классы существенных и несущественных состояний.

  3. Период. Циклические подклассы.

  4. Возвратные и невозвратные состояния. Критерии возвратности.

2

4








[1-4]




3

ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

  1. Эргодическая теорема Феллера.

  2. Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна.

  3. Эргодическая теорема Маркова.

  4. Эргодическая теорема Фостера.

  5. Эргодическая теорема Мустафы.

2










[1-4]




4

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И С КОНЕЧНЫМ ИЛИ СЧЕТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ

  1. Цепи Маркова с непрерывным временем, основные определения.

  2. Эргодичность марковского процесса.

  3. Переходные вероятности и их свойства.

  4. Стандартные цепи Маркова.

  5. Уравнения Чепмена-Колмогорова.

  6. Начальное распределение.

  7. Стационарное распределение. Связь между эргодичностью и существованием единственного стационарного распределения вероятностей состояний марковского процесса.

2

2








[1-4]




5

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, СИСТЕМА ПРЯМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА

  1. Инфинитезимальные характеристики марковского процесса.

  2. Интенсивности переходов.

  3. Инфинитезимальная матрица и ее свойства.

  4. Теорема Колмогорова.

  5. Классификация состояний.

  6. Консервативность цепи Маркова.

  7. Система прямых дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.

2

2








[1-4]




6

СИСТЕМА ОБРАТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА, УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ БЕЗУСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

  1. Система обратных дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.

  2. Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей.

  3. Лемма о существовании и единственности решения прямых и обратных дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.

2

2



2




[1-4]




7

ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ, СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

  1. Регулярные цепи Маркова.

  2. Вложенная цепь Маркова.

  3. Эргодичность цепи Маркова с непрерывным временем, эквивалентность определений.

  4. Уравнения равновесия.

  5. Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна.

  6. Эргодическая теорема Маркова.

  7. Эргодическая теорема Фостера.

2

2








[1-4]




8

ПРОЦЕССЫ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

  1. Определение процесса размножения и гибели.

  2. Процессы размножения и гибели с конечным и счетным пространством состояний.

  3. Интенсивности переходов между состояниями процесса.

  4. Уравнения равновесия для процесса размножения и гибели.

  5. Стационарное распределение вероятностей состояний процесса размножения и гибели.



2



2




[1-4]



















3







Экзамен



Информационно-методическая часть




Перечень практических занятий





  1. Основные определения и понятия, классификация цепей Маркова. Нахождение стационарного распределения.

  2. Классификация цепей Маркова по арифметическим и асимптотическим свойствам переходных вероятностей.

  3. Основные определения и понятия цепей Маркова с непрерывным временем.

  4. Инфинитезимальные характеристики. Система прямых дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.

  5. Система обратных дифференциально-разностных уравнений Колмогорова. Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей.

  6. Эргодические теоремы, стационарное распределение марковского процесса.

  7. Процессы размножения и гибели.




Формы контроля знаний





  1. Контрольные работы.

Темы контрольных работ





  1. Цепи Маркова с дискретным временем.

  2. Цепи Маркова с непрерывным временем.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА


Основная


  1. Малинковский, Ю.В. Методические указания по спецкурсу «Теория марковских процессов» для студентов 3–5 курсов математического факультета / Ю.В. Малинковский – Гомель: ГГУ, 1990. – 44 с.

  2. Карлин, С. Основы теории случайных процессов/ С. Карлин. – М.: Мир, 1971. – 536 с.

  3. Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. – М., 1980. – 576 с.

  4. Прохоров, А.В. Задачи по теории вероятностей / А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков. – М.: Наука, – 1986. – 328 с.


ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ


Название

дисциплины,

с которой

требуется согласование

Название

кафедры

Предложения

об изменениях в содержании учебной программы

по изучаемой учебной

дисциплине

Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)

Математическая экономика


ВМ и П





Эконометрика


ЭК и ТВ

















ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

на _____/_____ учебный год




№№

пп


Дополнения и изменения

Основание









Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры

экономической кибернетики

и теории вероятностей

(протокол № ____ от ________ 200_ г.)
Заведующий кафедрой

экономической кибернетик

и и теории вероятностей

д.ф.-м.н.,профессор _______________Ю.В. Малинковский

УТВЕРЖДАЮ

Декан математического факультета УО «ГГУ им. Ф. Скорины»



к.ф.-м.н., доцент __________________ С.П. Жогаль







Один юбилей — половина похорон. Тадеуш Бой-Желеньский
ещё >>