Лекция Дифференциальные уравнения первого порядка - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вопросы к экзамену по дисциплине «Дифференциальные и разностные уравнения» 1 34.32kb.
Задача Коши для линейного однородного ду в ЧП первого порядка. 1 27.07kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов2 курса зик 1 18.63kb.
Лекция №11 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка... 1 83.43kb.
Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. 1 35.76kb.
Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные... 3 203.91kb.
Дифференциальные уравнения 1 475.98kb.
Задача интегрирования дифференциального уравнения. Задача Коши. 1 38.57kb.
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» 1 220.07kb.
Контрольная работа №5 Дифференциальные уравнения второго порядка... 1 129.97kb.
Шифр специальности: 01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические... 12 2944.3kb.
Лекция геометрический смысл о. Д. У. Первого порядка, метод изоклин 1 199.67kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Лекция Дифференциальные уравнения первого порядка - страница №1/7


Лекция 1.

Дифференциальные уравнения первого порядка




Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение можно написать так



или


.

Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение есть уравнение первого порядка,

а уравнение - уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение .

Функция является решением этого уравнения.

Действительно,

и уравнение обращается в тождество:
.
Решением рассматриваемого уравнения будут и функции

и вообще функции
, где и - произвольные постоянные.
В самом деле

и уравнение обращается в тождество
.


Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: .

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид .



Общее и частное решение

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной C, придавая конкретное значение которой , можно получить решение , удовлетворяющее любому заданному начальному условию .

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.


Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения ,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения y I = f(x,y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям y(xo ) = yo, называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x,y) - правая часть дифференциального уравнения y I = f(x,y) - непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f Iy (x,y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям.


Пример

Рассмотрим уравнение
.


Общим решением этого уравнения является семейство функций
.


Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: .
Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию.

Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение


,
получим
.
Решая это уравнение относительно C получим C = - 3.
Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X2 - 3.


Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка.

Интегральные кривые

С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.


Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. ) проходящей через точку Заметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку , через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая.

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия,

или

б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.








Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка




Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: .
Это уравнение для каждой точки определяет значение производной , т.е. определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Таким образом, рассматриваемое дифференциальное уравнение дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений или поле линейных элементов. Задача интегрирования такого уравнения, с геометрической точки зрения, заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля линейных элементов в соответствующих точках .

Пример

Рассмотрим уравнение
.
В каждой точке (x,y), отличной от точки (0,0), угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен отношению , т.е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами (x,y). Очевидно, что интегральными кривыми будут прямые y=Cx, где C - произвольная постоянная, т.к. направление этих прямых всюду совпадает с направлением поля.


Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Рассматривая уравнение первого порядка , разрешенное относительно производной, мы ставили вопрос об отыскании его общего решения и, если задано начальное условие частного решения, удовлетворяющего этому условию.


Возникает вопрос: всегда ли существует частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию и если существует, будет ли оно единственным.
Рассмотрим, например, уравнение
.
Общим решением является функция , а интегральными кривыми - семейство гипербол, причем через каждую точку , не лежащую на оси Oy проходит одна и только одна интегральная кривая, т.е. рассматриваемое уравнение имеет единственное решение, проходящее через точку, не лежащую на оси Oy, но оно не имеет решения, проходящего через точку, взятую на оси Oy.
Этот пример показывает, что не всегда существует решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.
В некоторых случаях решение может оказаться не единственным.
Так, например, уравнение

имеет бесконечное множество решений, проходящих через точку (0,0).
В самом деле, функция является общим решением этого уравнения, а при любом значении C прямая проходит через начало координат. На вопрос, при каких условиях для уравнения можно гарантировать существование и единственность решения, удовлетворяющего заданному начальному условию , отвечает следующая теорема.

Теорема.
Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости xOy . Тогда, если точка принадлежит этой области, существует, и притом единственное, решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это означает, что через каждую точку области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения .


Возвращаясь к рассмотренным нами примерам, мы видим, что функции

и

не определены при и, следовательно, не являются непрерывными. Это обстоятельство и привело, в первом случае, к отсутствию решений, проходящих через точки оси Ox , во втором - к нарушению единственности в точке (0,0).







1.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

или
.

Это уравнение можно переписать так:

или в симметричной форме



,

дающей соотношение между переменными x и y и их дифференциалами.


Если в этом уравнении функция P зависит только от x , а функция Q - только от y, то уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Таким образом, уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида


.

Решение такого уравнения получается прямым интегрированием. Так как слева стоит сумма дифференциалов двух функций, которая равна нулю, то сумма их интегралов равняется постоянной




.

Пример

Уравнение - уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл: .
Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение


или
.

Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:


.

Пример

Дано уравнение
или .
Разделим переменные и интегрируем .


В результате вычисления получим:

.
Это выражение можно записать в иной форме:

т.к. всякое число можно представить в виде логарифма другого.


Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет иметь вид

.



1.2. Однородные уравнения первого порядка

Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных.
Функция двух переменных называется однородной функцией измерения n, если при любом t справедливо тождество f (tx, ty) = t n f(x, y) .

Пример

Функция есть однородная функция измерения 2, т.к.
.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

Первое определение

Уравнение



   

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка,


если функции и являются однородными функциями одного и того же измерения.

Для однородного уравнения имеем:




.

Полагая в последних равенствах , получаем



.

Откуда


Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим



и далее .

Для разделения переменных введем новую переменную V = y/x или y = Vx. Так как в этом случае dy = xdV +Vdx, то последнее уравнение принимает вид:



M(1,V)dx + N(1,V)(xdV + Vdx) = 0,

или


[M(1,V) + vN(1,V)]dx +xN(1,V)dV = 0.

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными x и V , из него определяется V , а затем искомая функция y = Vx.

Второе определение

Если уравнение может приведено к виду: dy/dx = F(x,y) = F(v), где V = y/x, то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Для приведения его к уравнению с разделяющимися переменными используется подстановка
V = y/x, отсюда y = Vx и dy/dx = xdV/dx + V.
В итоге получается уравнение с разделяющимися переменными: xdV/dx = F(V) - V, которое и интегрируется.

Пример

Решить уравнение (y 2 - 3x 2)dx + 2xydy = 0, при начальном условии: y(0) = 0 .

Здесь M(x,y) = (y 2 - 3x 2) и N(x,y) = 2xy - однородные функции измерения 2.

Применим подстановку y = vx, при этом dy = xdv +vdx.

Получим: x 2(v 2 - 3)dx + 2x 2v(xdv +vdx) = 0.
Сгруппируем слагаемые x 2(v 2 - 3)dx + 2x 2v(xdv +vdx) = 0 относительно dx и dv и разделим переменные:


.

После интегрирования получим: x 3(v 2 - 1) = C или

общий интеграл: x(y 2 - x 2) = C

Используя начальные условия y(0) = 0 имеем 0(0 2 - 0 2) = C , отсюда C = 0.

Частное решение данного уравнения: x(y 2 - x 2) = 0

или x = y и x = - y


следующая страница >>



Человек — политическое животное. Аристотель
ещё >>