Лекция №4 интервалное оценивание - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лекция №1 2 Лекция №2 8 Лекция №3. 13 Лекция №4 14 Лекция №24 Лекция... 1 316.74kb.
Оценивание для сгруппированных данных 1 145.15kb.
Лекция и традиционный семинар 1 98.53kb.
Лекция N2: Система прерывания программ. Таймер, интервальный таймер. 4 621.9kb.
Лекция Учение о Боге Лекция Учение об Иисусе Христе 17 2083.74kb.
Журнал экспериментальной социальной психологии 1 302.86kb.
Апелляция 1 29.52kb.
Номер урока / дата Тема Формирование ууд 1 241.87kb.
Формирующее оценивание в ходе работы над проектом 1 30.59kb.
Информация о порядке, сроках 1 40.68kb.
Лекции 1 Вводная лекция. Астрономия сегодня. 10. 00-11. 00 1 Лекция 1 77.23kb.
Стресс-тестирование системообразующих банков России 11 657.18kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Лекция №4 интервалное оценивание - страница №1/1


ЛЕКЦИЯ №4

ИНТЕРВАЛНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ


Ранее мы обсудили использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров и не позволяют судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более предпочтительная процедура – построения интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Такой подход называется "интервальным оцениванием". Сразу отметим следующее: чем больше уверенность в том, что оцениваемый параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать интервал, накрывающий параметр с вероятностью равной единице, бессмысленно. Это вся область т.е. .

Пусть для параметра получена несмещённая оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например: ), такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого выполняется соотношение





(4.1)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающий при замене на , будет равен . Ошибки большие по абсолютной величине будут появляться с малой вероятностью . Запишем (4.1) в другом виде:



(4.2)

Т.е. с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал



(4.3)

Ранее (в теории вероятностей) мы рассматривали вероятность попадания случайной величины на некоторый интервал. У нас же не случайная величина, а интервал – случаен, т.е. здесь корректно говорить о вероятности накрыть точку .

Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а интервал доверительным интервалом.

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ и параметра , имеющего несмещенную оценку . Если бы нам был известен закон распределения величины , то из выражения (4.1) нахождение при заданной не представляло бы затруднений. Однако, как правило, мы не знаем закон распределения случайной величины .

Пусть теперь распределение случайной величины отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему, получаем следующий результат.



С увеличением объема выборки выборочное распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины.

Практически во многих случаях выборочное можно считать нормальным уже при , а при приближение будет очень хорошим.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале математического ожидания: Пусть произведено независимых опытов над случайной величины с неизвестными . Для этих параметров выберем оценки:



(4.4)

Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности :



(4 .5)

Интервальная оценка математического ожидания
при известной дисперсии


Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами
, причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (4.2) запишем:

.

(4.6)

Здесь и квантили стандартного нормального распределения , обладающие свойством: . Поставив в явном виде в (4.6) получим:



(4.7)

Запишем это неравенство относительно :



(4.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:



(4.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:



(4.10)

На рис.4.1. представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями.

Рис. 4.1. Гауссово (нормальное) распределение


()

Интервальная оценка математического ожидания
при неизвестной дисперсии


На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:



(4.11)

Вспомним, что , и подставим в (4.11):



(4.12)

Числитель выражения (4.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа , называемого числом степеней свободы.

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, т.е. .

Так, например, для распределения статистики число степеней свободы , т.к. одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (4.6) запишем:

.

(4.13)



(4.14)



(4.15)

На рис.4.2. представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:



(4.16)

Рис. 4.2. Распределение Стьюдента ()








Мне никогда не нравились мужчины, в которых я была влюблена, и я никогда не была влюблена в мужчин, которые мне нравились. Фанни Брайс
ещё >>