Лекция 12 Вынужденные колебания без сопротивления - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лекция 11 Свободные колебания с одной степенью свободы без сопротивления 1 86.2kb.
11 Магнитное поле 1 48.07kb.
Вынужденные колебания 1 73.17kb.
№ урока Тема урока Опорные понятия Актуализирующие понятия Дата проведения... 1 51.04kb.
Лабораторная работа №4 Вынужденные колебания линейного осциллятора... 1 245.21kb.
Колебания виды колебаний. Гармонические колебания 2 422.72kb.
Самостоятельная работа «Колебания математического маятника и груза... 1 40.92kb.
Электромагнитные колебания и волны 1 71.42kb.
Лекция 14 Колебания системы с двумя степенями свободы 1 64.1kb.
«Механическое колебание и величины, характеризующие колебания» 1 86.77kb.
Исследование температурной зависимости сопротивления окислов металлов... 1 86.27kb.
12. Закон Ома для эл-кой цепи? 1 61.15kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Лекция 12 Вынужденные колебания без сопротивления - страница №1/1

Лекция 12
Вынужденные колебания без сопротивления.

Как мы выяснили, консервативная система без сопротивления сохраняет полную энергию и совершает незатухающие колебания. Если учесть влияние среды (вязкое сопротивления), то колебания либо отсутствуют, либо затухают, а полная энергия системы убывает, переходя в среду.

Энергия может и поступать в систему из среды. Пусть действие среды на систему выражается периодической обобщенной силой. Как известно, любую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье:

Здесь амплитуда i-oй гармоники, – вынуждающая частота этой гармоники, – начальная фаза этой гармоники.

Уравнение Лагранжа такой системы: (5).

Подставив квадратичные формы Т и П



,

получим неоднородное дифференциальное уравнение



Его решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения.

Частное решение будет иметь вид правой част, т.е представлять из себя сумму одинаковых по виду решений (гармоник). Поэтому, нам достаточно рассмотреть обобщенную силу в виде только одной из гармоник

)

Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без сопротивления



Решение складывается из общего решения однородного уравнения



и частного решения, которое будем искать в виде правой части



А – амплитуда частного решения, Найдем А и ε.



Подставляя в уравнение, после сокращения на Sin, получаем



Частное решение имеет вид



Теперь полное решение приобретает вид





Найдем С1, С2 из начальных условий:





Откуда


Подставив и в решение, найдем закон движения



Видим, что движение системы состоит из трех колебаний. Первым стоит колебание с собственной частотой k и амплитудой, зависящей от начальных условий, вторым – колебание с собственной частотой k и амплитудой, не зависящей от начальных условий, и третьим – собственно-вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы p и амплитудой, не зависящей от начальных условий.


Биения и резонанс при отсутствии сопротивления.

ω =p


Рис.1

Как возникает вынуждающая сила? Ее можно создать, поставив электромотор с неуравновешенной массой на упругую балку (Рис.1). Вынуждающей частотой p является угловая скорость вращения электромотора. При ω = 0 мотор колеблется на балке с собственной частотой k. Если включить мотор, то при ω → k амплитуда А возрастает, стремясь к бесконечности.

Выясним, как ведет себя при этом система. Для простоты положим начальные условия нулевыми. Тогда p/k ~ 1 и решение приобретет вид:



Видим, что при p → k амплитуда вынужденных колебаний становится периодической функцией малой частоты Такое движение называется биениями. Биения можно слышать в моторном самолете, когда частота вращения мотора приближается к собственной частоте какой-то детали фюзеляжа.


Резонанс

Найденное ранее частное решение теряет смысл при p = k, поскольку его амплитуда



стремится к бесконечности. Явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний А при определенных значениях вынуждающей частоты р называется резонансом. Выясним, как изменяется амплитуда во времени при p = k.

Попробуем найти частное решение в виде






Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение, с учетом p = k получим

и частное решение



Итак, если двигатель на балке сразу запустить с угловой скоростью p = k , то амплитуда вынужденных колебаний (и деформация балки) будет линейно возрастать во времени. При достижении деформаций предельных значений, балка сломается.

Построим зависимость амплитуды А собственно вынужденных колебаний от вынуждающей частоты p. Для построения качественных зависимостей принято переходить к безразмерным величинам. Вместо амплитуды А рассмотрим ее отношение к «статическому отклонению»

z = 1


z

=1

Рис. 2


которое называется коэффициентом динамичности.



Здесь


– безразмерная вынуждающая частота, называемая коэффициентом настройки (вынуждающей частоты на собственную частоту).

При z = 0 , при z → . График приобретает вид


Чтобы избежать опасности разрушения системы, следует избегать работы вблизи резонанса

z = 1.
Зависимость сдвига фазы ε (z)

Сдвигом фазы ε называют разность между фазой вынуждающей силы (pt+δ) и фазой частного решения. Найдем ε при различных значениях z.

Частное решение Сдвиг фаз

При z < 1 (p ε = 0

При z = 1 (p=k): ε =

При z > 1 (p>k): ε =

Теперь можем изобразить график зависимости ε (z) (Рис.3).

Сдвиг фаз можно наблюдать, раскачивая «раскидай»- мячик на резинке. Если частота движений руки меньше собственной частоты колебаний раскидая, то шарик движется в одной фазе (синфазно) с рукой (Рис 4, а). При большой частоте движений руки шарик движется «в противофазе» с рукой (Рис 4, б).

ε

z

1



0

Рис. 3
Рис.4



а

б




Само имя философии вызывает достаточно ненависти. Сенека
ещё >>