Лекция 11 Свободные колебания с одной степенью свободы без сопротивления - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лекция 12 Вынужденные колебания без сопротивления 1 53.26kb.
7. малые колебания и устойчивость равновесия 1 110.67kb.
Электромагнитные колебания и волны 1 71.42kb.
Лекция 14 Колебания системы с двумя степенями свободы 1 64.1kb.
Задачи для подготовки к проверочной работе по физике «Электромагнитные... 1 18.82kb.
Урок по теме «Механические колебания» в 9 классе Викторовской сош... 1 71.4kb.
Лекция Первые представления о строении атома 1 25.11kb.
11 Магнитное поле 1 48.07kb.
Колебания виды колебаний. Гармонические колебания 2 422.72kb.
Самостоятельная работа «Колебания математического маятника и груза... 1 40.92kb.
№ урока Тема урока Опорные понятия Актуализирующие понятия Дата проведения... 1 51.04kb.
Происхождение солнечной системы на основе квантовой парадигмы 1 227.59kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Лекция 11 Свободные колебания с одной степенью свободы без сопротивления - страница №1/1

Лекция 11
Свободные колебания с одной степенью свободы без сопротивления.

Рассматривается движение консервативной системы с одной степенью свободы около устойчивого положения равновесия, где выбрано начало координаты q и нулевой уровень потенциальной энергии. После линеаризации (если система не линейна), кинетическая и потенциальная энергии системы приобретут вид квадратичных форм с постоянными коэффициентами.

Т=0.5а2 П=0.5cq2

a>0 ввиду положительности кинетической энергии, с>0 ввиду устойчивости положения равновесия

Уравнение Лагранжа:

приводит к дифференциальному уравнению свободных колебаний без сопротивления

a=-cq или +k2q=0 (k2=c/a сек-1)

Попробуем найти решение уравнения в виде экспоненты. Подставив

q=eλt

в уравнение, после сокращения на eλt получим характеристическое уравнение для определения неизвестного параметра λ

λ 2+ k2=0

Уравнение имеет два мнимых корня

λ = ±ki

Значит, уравнение имеет два независимых решения. Общее решение (второй интеграл) уравнения



q=C1Coskt+C2Sinkt

содержит две произвольные постоянные интегрирования С1 и С2 , которые могут быть найдены из начальных условий:

t=0: q=q0 ; =0

Чтобы их использовать, находим закон скорости (первый интеграл уравнения)



=-C1kSinkt+C2kCoskt

Подставляя начальные условия, находим при t=0

q0=C1 0=C2k, откуда C1=q0 C2= 0 /k

Окончательно

q=q0Coskt+(0 /k)Sinkt

Убеждаемся, что при устойчивом положении равновесия

c >0

система совершает периодическое движение c круговой собственной частотой



k=сек-1

Удобнее представить закон движения в виде одной функции синуса. Для этого перейдем к новым постоянным А и α так, чтобы получить синус суммы

С1=АSin α C2=ACos α

Получим


q=Asin(kt+ α)

Здесь А – амплитуда, (kt+α) – фаза, α- начальная фаза колебаний. Через период колебаний Т фаза синуса изменится на 2π радиан

k(t+T)+α= kt+α+2π

следовательно, период колебаний

T=2π/k сек
Диссипативная функция Релея сил вязкого сопротивления.

Её связь с полной механической энергией.

Практически любая система совершает колебания в некоторой среде. При движении системы возникают силы сопротивления среды. Например, силы вязкого сопротивления, пропорциональные первой степени скорости движения точек системы:



Fk=-βkvk (k=1,2,...,n)

Найдем обобщенную силу сопротивления, учтя тождество Лагранжа:

Qсопр==-= - Ф/

Здесь введена диссипативная функция Релея сил вязкого сопротивления:

Ф=

Видим, что выражение Ф совпадает с выражением кинетической энергии Т, если в последнем массы точек заменить коэффициентами сопротивления в них. Чтобы найти Qсопр надо записать функцию Релея в обобщенных координатах:



Vk=(∂rk/∂q)

Ф=

β' ρ
Система линейна по Ф, если b(q)=Const (аналогия с Т). Если нет, тогда рассматриваются малые движения: q<<1 – система линеаризуется: b(q)≈a(0). Значит, как и Т, функцию Релея следует вычислять в положении равновесия системы q=0, что всегда упрощает вычисления.

Вязкое сопротивление осуществляется с помощью линейных и угловых демпферов. Функция Релея вычисляется по формуле



Где - коэффициенты сопротивления линейных демпферов (амортизаторов),скорости их поршней, коэффициенты сопротивления вращению, угловые скорости вращающихся тел.



Связь функции Релея с полной механической энергией.

Рассмотрим систему с одной степенью свободы и вязким сопротивлением.

Потенциальная и кинетическая энергии, функция Релея для нелинейной системы

П(q) T=0.5a(q) Ф=0.5b(q)

Имеют свойства

=2T =2Ф = +
Умножим уравнение Лагранжа для этой системы

на



По формуле производной от произведения получаем



=-=2-
С учетом свойств функций Т, П, Ф получаем

2--=--2Ф или



(Т+П)=-2Ф

Этот результат можно сформулировать так:



Полная механическая энергия рассматриваемой системы убывает со скоростью

Влияние сил вязкого сопротивления на движение системы.

Дифференциальное уравнение системы с одной степенью свободы и вязким сопротивлением Получим из уравнения Лагранжа



После линеаризации (если требуется) получаем квадратичные формы

П=(q) T= Ф=
После подстановки в уравнение Лагранжа получаем дифференциальное уравнение колебаний с сопротивлением

или

(*)

если ввести обозначения

коэффициент сопротивления и квадрат собственной частоты

Найдем решение уравнения (*) в виде экспоненты:



(**)

Подставив решение в уравнение (*), после сокращения на , получим характеристическое уравнение рассматриваемого дифференциального уравнения



Если характеристическое уравнение имеет корни, то уравнение (*) имеет решение вида (**)

Это уравнение имеет 2 корня

которым соответствуют 2 независимых решения, сколько и должно быть у уравнения второго порядка.

Вид решений зависит от знака подкоренного выражения


  1. Случай малого сопротивления

В этом случае корни комплексные и решение имеет вид

) < k

Это «второй интеграл» интеграл рассматриваемого дифференциального уравнения

Первый интеграл есть обобщенная скорость

Как всегда, постоянные С1 С2 находятся из начальных условий:

t=0:

откуда


Исследуем это решение, перейдя к новым постоянным интегрирования

C1=ASinα C2=ACosα

Теперь


Обозначим



– амплитуда, которая уменьшается с течением времени: рис (50).

Видим, что система совершает затухающие колебания. Они являются квазипериодическими, т.к только положение равновесия система проходит через равные промежутки времени . Квазипериод вычисляем как и для колебаний без сопротивления

Видим, что с увеличением сопротивления n, квазипериод увеличивается и становится бесконечным при



т.е при



колебания вообще прекращаются.

Быстрота затуханий колебаний характеризуется отношением соседних размахов (максимальных отклонений от положения равновесия)




называемым декрементом (затуханием). Часто используют логарифмический декремент

Измерив два соседних размаха и время можно, вычислить коэффициент сопротивления n




2. Случай большого сопротивления

В этом случае корни характеристического уравнения – вещественные числа,



следовательно,



C1 и C2 находятся из начальных условий.

Видим, что движение не колебательное (апериодическое). Пусть начальное отклонение положительно. График движения может иметь один из трех видов.


  1. Система после отклонения асимптотически возвращается в положение равновесия.

  2. Система сразу асимптотически возвращается в положение равновесия.

  3. Система один раз пройдет через положение равновесия и вернется в положение равновесия с другой стороны.


3. Случай

Практически, маловероятное совпадение. Корни кратные. Апериодическое решение принимает вид.





Движения такие же, как и в случае




Равные возможности означают, что каждому в одинаковой мере предоставляется шанс стать некомпетентным. Лоренс Питер
ещё >>