Лекции по физике электричество магнетизм москва 2007

Министерство образования и науки РФ

Московский государственный областной университет

Р.В. МИТИН

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

МАГНЕТИЗМ

МОСКВА 2007

Конспект составлен на основе курса лекций, читаемого автором в течение ряда лет для студентов нефизических специальностей. Использованы компьютерные программы: текстовый редактор Word (2000, 2003), редактор формул Ms Equations, графический редактор Paint, сложные рисунки и фотографии учёных взяты из Интернета.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Введение
Ещё более 2,5 тысяч лет тому назад было замечено, что янтарь, потёртый о шерстяную ткань, начинает притягивать к себе лёгкие предметы. Янтарь в переводе на греческий язык это электрон. Отсюда и возникло современное название электричества. За прошедшие 2,5 тысячи лет, а особенно за последние столетия изучением электричества занимались очень многие учёные.

Перейдём к изложению того, что известно об электричестве в настоящее время. Известно же следующее:

1) Существуют два рода электрических зарядов – положительные и отрицательные. Разноимённо заряженные тела притягиваются, а одноимённо заряженные – отталкиваются друг от друга. Разделы учения об электричестве, в которых изучаются свойства неподвижных электрических зарядов, принято называть электростатикой.

2) Электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов, равных 1,6 ∙10 ^-19 кулон. Наименьшей по массе частицей, имеющей отрицательный элементарный заряд, является электрон, соответственно положительно заряженной частицей с такой же массой является позитрон. Кроме того, существует частица с положительным элементарным зарядом примерно в 2000 раз тяжелее электрона – это протон. Электроны и протоны входят в состав атомов всех химических элементов.

3) Закон сохранения электрических заряда – алгебраическая сумма зарядов изолированного тела не изменяется при любых процессах. Итак, заряды не исчезают и не возникают. Этот закон является одним из фундаментальных законов сохранения подобно законам сохранения энергии и импульса.

4) При трении электрически нейтральных тел заряды переходят от одного тела к другому и тела заряжаются разноимённо. Кроме того возможна электризация тела наведением. Что это такое, можно понять, рассматривая результат следующего опыта:

а) – тело нейтральное, б) его разрезали на две части, к которым поднесли заряженное (+) тело, произошло наведение (+) и (–) зарядов, в) развели половинки тела, на каждой половине свой заряд, г) соединили разрезанные половины вместе, суммарный заряд исчез (= 0).
И, наконец:

5) Все вещества можно по способности проводить электрический ток примерно разделить на 3 группы: проводники, диэлектрики, полупроводники.

Взаимодействие зарядов. Закон Кулона.
В конце 18 века французский физик Кулон с помощью изобретённых им крутильных весов впервые измерил силу взаимодействия двух заряженных шариков. Что такое крутильные весы, можно понять из рисунка.

Ш. Кулон

В результате этих опытов Кулон установил, что сила взаимодействия двух точечных зарядов

f = k

q₁, q₂ – величины зарядов, k – коэффициент пропорциональности, r – расстояние между шариками, точечный заряд – это заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других заряженных тел.

Формулировка закона Кулона:

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению величин зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами и направлена вдоль соединяющей их прямой.

Закон Кулона можно написать в векторном виде:

= k

В системе единиц СИ коэффициент k в законе Кулона имеет вид k = , где ε₀– так называемая электрическая постоянная, которая определяется из опытов и равна ε₀= 8,85 10^-12 фар/м

Таким образом, для вакуума закон Кулона имеет вид:

f =

В случае же помещения зарядов в диэлектрическую среду (жидкую, твёрдую, газообразную) сила Кулона ослабляется в ε раз, где ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды.

f =

Для воздуха очень близка к единице, а для воды, например, ε = 81, то есть сила Кулона в воде резко ослабевает.

Закон Кулона по форме записи аналогичен закону всемирного тяготения Ньютона. Однако силы тяготения значительно слабее по сравнению с электрическими силами. Пример: внутри атома водорода электрон связан с протоном, то есть с ядром атома как электрическими, так и гравитационными силами. Отношение этих сил составляет f_эл / f_гр = 2,3 10³⁹ . Почему же мы в обыденной жизни не наблюдаем этих гигантских электрических сил? Только потому, что в каждом отдельном теле + и – заряды практически совершенно точно компенсируют друг друга. Пример: если бы в вашем теле и теле вашего соседа была разница в количестве электронов всего на 1 % , то силы отталкивания между вами хватило бы, чтобы поднять вес, равный весу нашей Земли.

Электрическое поле. Напряжённость поля.
Силовые поля – это одна из форм материи, и физика также изучает эту форму материи. Примером силового поля является гравитационное поле. Кулоновское же взаимодействие между зарядами осуществляется посредством создаваемого ими электростатического поля. Итак, вокруг каждого заряда (и заряженного тела) существует электрическое поле, которое и вызывает действие Кулоновской силы на каждый другой заряд, помещённый в это поле.

Согласно закону Кулона на точечный пробный заряд действует сила от другого точечного заряда f = q_пр ( )

Величину, стоящую в скобках принято называть напряжённостью электрического поля, это вектор. Итак, E =

И тогда f = q_пр E – сила, действующая на пробный заряд. Согласно этой формуле заряд в один кулон создаёт в пустоте на расстоянии 1 м напряжённость поля, равную 9 ∙ 10⁹ в/м.

Суперпозиция электрических полей
Из опытов следует, что: напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённостей полей, которые создавал бы каждый из зарядов в отдельности. E =

E_i
Линии напряжённости. Поток вектора напряжённости

Для графического изображения электрических полей применяется метод силовых линий, или линий напряжённости. Эти линии проводятся таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора E . Линии напряжённости не пересекаются, так как в каждой точке вектор E , конечно, имеет лишь одно направление.

Направление линий принято считать от + к – . Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единичную площадь, перпендикулярную к линиям, было равно численному значению вектора E то есть E . Тогда для уединённых – и + зарядов линии напряжённости – прямые и направлены, как показано на рисунке.

Сколько линий нужно нарисовать, то есть чему равно полное число линий N ? Мы знаем, что E = , а это и есть густота линий при данном значении r, значит, полное число линий будет равно:

N = E 4 π r² = 4 π r² = q / ε₀.

На следующем рисунке (а) представлена картина силовых линий для случая двух разноимённых зарядов (диполь).

а) б)

Через площадку dS, перпендикулярную к направлению силовых линий проходит E dS линий. Если же dS ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором E угол α , то число линий E dS Cos α . Это ясно из рисунка (б).

Или мы можем написать, что число линий E dS Cos α = E_n dS , где E_n – составляющая вектора E по направлению нормали к площадке dS .

Теперь для произвольной поверхности имеем, что число линий, которые её пронизывают, будет Φ = – интеграл по поверхности. Эта величина называется потоком вектора E через поверхность S. Для сферической поверхности, охватывающей заряд q , получаем Φ = = = E 4 π r² = 4 π r² = q / ε₀ = N . То есть поток равен полному числу силовых линий.
Отметим, что силовые линии не совпадают с траекториями движения лёгких заряженных частиц, находящихся в электрическом поле. По касательной к силовой линии направлена только сила, действующая на частицу, то есть f = q E . Для аналогии рассмотрим движение брошенного по горизонтали камня в гравитационном поле Земли.

Камень движется по параболе, а сила тяжести направлена вниз (по касательным к силовым линиям гравитационного поля). Точно так же будет и для движения заряженных частиц в электрическом поле.
Теорема Гаусса
Можно показать, что не только для сферической, но и для любой поверхности, охватывающей заряд q, поток вектора также равен q / ε₀. И более того, если внутри замкнутой произвольной поверхности находится система зарядов q_i, то поток Φ через эту поверхность равен:

Ф =

Это следует из принципа суперпозиции электрических полей. Итак, мы можем написать окончательно:

Φ =

Это и есть теорема Гаусса, которая звучит так:

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности зарядов, делённой на ε₀.

Если внутри поверхности заряд распределён непрерывно с объёмной плотностью, зависящей от координат, то теорема Гаусса запишется так:

=

где ρ = lim – объёмная плотность заряда.

Зачем нужна теорема Гаусса? Для того чтобы сравнительно просто и быстро находить величину напряжённости E .

Примеры:

1) Поле бесконечной заряженной плоскости.

К. Гаусс

Здесь σ = lim

σ – поверхностная плотность заряда. Из соображений симметрии вытекает, что электрическое поле пластины будет направлено так, как изображено на рисунке внизу.

Найдём величину этого поля, используя теорему Гаусса. Рассмотрим цилиндр, опирающийся на элементарную площадку dS, как показано на рисунке. Поток через боковую поверхность цилиндра очевидно равен нулю. А через торцы поток равен 2 E dS , по теореме Гаусса этот поток равен q/ε₀ = σ dS/ ε₀ отсюда E = σ / 2ε₀.

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Значит, поле Е во всех точках пространства будет одинаково по абсолютной величине.

2) Поле двух разноимённо заряженных плоскостей.

а) б)
Имеем две плоскости, каждая плоскость создаёт вокруг себя поле, с указанным направлением силовых линий (а). Абсолютная величина поля E = σ / 2ε₀ . Отсюда из принципа суперпозиции полей сразу получим – всё поле сосредоточено только между плоскостями (б), а его величина E = 2σ / 2ε₀ = σ / ε₀ .

3) Поле бесконечного заряженного цилиндра (а)

Пусть мы бесконечный тонкостенный цилиндр радиуса R, заряженный положительно. Окружим его мысленно цилиндрической поверхностью с произвольным радиусом r и длиной h . Из симметрии вытекает, что поле Е направлено по радиусам вне цилиндра. Тогда, применяя теорему Гаусса, получим: E(r) 2π r h = λ h / ε₀ , где λ – линейная плотность заряда, то есть заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра. Эта формула описывает поле в пространстве вне нашего цилиндра (r > R).

Если же мы возьмём r < R , то есть мысленную поверхность внутри цилиндра, то внутри этой поверхности нет зарядов, вследствие чего поле внутри неё равно нулю. Итак:

E(r) = , (r ≥ R) и E(r) = 0 , (r ≤ R)

а) б)
4) Поле двух коаксиальных цилиндров (рис б)

Теперь, используя принцип суперпозиции электрических полей, мы легко найдём поле двух коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных положительно одна и отрицательно другая, но так, чтобы величины линейных плотностей зарядов λ совпадали. Получим: поля внутри меньшего цилиндра и вне большего цилиндра будут равны нулю, а между цилиндрами поле определится уже указанной формулой.

5) Поле заряженной сферической поверхности

Пусть мы имеем заряженную полую сферу радиуса R. Из симметрии ясно, что Е направлено по радиусам наружу. Окружим сферу мысленно сферой радиуса r и найдём E(r). Согласно теореме Гаусса:

E(r) 4π r² = q / ε₀ (q – заряд на сфере). Или: E(r) = , (r ≥ R)

Если же r < R , то внутри нет зарядов, следовательно, Е = 0 .
Работа сил электростатического поля. Циркуляция поля
Кулоновские силы являются центральными, то есть действуют по прямой, проходящей через центры зарядов. Любое центральное поле сил является потенциальным. Это значит, что работа сил поля не зависит от пути перемещения тела в этом поле, а зависит лишь от начального и конечного положения тела. Из этого вытекает, что работа потенциальных сил на замкнутом пути равна нулю.

Вычислим работу при перемещении заряда в электростатическом поле.

Пусть мы имеем заряд q, в поле которого движется заряд q′. Работа на элементарном пути равна

dA = f dℓ Cos α = dℓ Cos α

но dℓ Cos α = dr – приращение радиуса–вектора, тогда dA = dr

Для работы на пути 1 – 2 получим:

A₁₂ = = =

Таким образом, работа действительно не зависит от пути, так как в окончательное выражение входят только r₁и r₂. Из этой формулы также видно, что работа на замкнутом пути равна нулю. Выражение для работы на замкнутом пути может быть представлено в виде:

dA =

f dℓ Cos α =

q′ E dℓ Cos α =

q′ E_ℓ dℓ где E_ℓ = E Cos α – проекция вектора Е на направление перемещения.

Отсюда получим: E_ℓ dℓ = 0 для любого замкнутого контура. Это выражение называется циркуляцией вектора Е по замкнутому контуру. Таким образом, циркуляция вектора напряжённости электростатического поля равна нулю.

Потенциал
Напишем снова выражение для работы сил поля на пути 1 – 2.

A₁₂ =

Введём теперь следующую функцию W (r) = . Тогда мы можем написать A₁₂ = W₁ – W₂ . Вспоминая соотношения механики, мы приходим к выводу, что функция W(r) должна рассматриваться, как потенциальная энергия взаимодействия зарядов q и q′, а работа совершается за счёт изменения потенциальной энергии.

Определим теперь, что такое потенциал. Потенциалом называется отношение φ = W/q′ , то есть функция, зависящая от положения пробного заряда q′, но уже не зависящая от его величины.

Таким образом φ = – это и есть выражение для потенциала поля точечного заряда q .

Из предыдущих формул тогда следует, что заряд q′, находящийся в точке поля с потенциалом φ, обладает потенциальной энергией q′φ .

Работа же сил поля над зарядом q′может быть выражена через разность потенциалов A₁₂ = W₁ – W₂ = q′(φ₁ – φ₂) . Если заряд q′из точки с потенциалом φ₁удалить на бесконечность (то есть φ₂= 0), то A_∞ = q′φ₁ Из этого соотношения следует следующее определение потенциала:

Потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при его удалении из данной точки на бесконечность.

следующая страница >>