Краснодар 2011 занятие №11. Раздел Физические основы механики. Тема № Кинематика и динамика твердого тела, жидкости и газов Лекция № «Кинематика и динамика твердого тела»

ЛЕКЦИЯ № 6

по учебной дисциплине «ФИЗИКА»

Занятие № 4/1. Кинематика и динамика твердого тела

Краснодар 2011

ЗАНЯТИЕ №11.

Раздел 1. Физические основы механики.

Тема № 4. Кинематика и динамика твердого тела, жидкости и газов
Лекция № 6. «Кинематика и динамика твердого тела».
ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ :

1. Абсолютно твердое тело. Степени свободы. Кинематические характеристики вращательного движения твердого тела.

2. Динамические характеристики вращательного движения твердого тела. Момент инерции. Теорема Штейнера.

3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

ЦЕЛЬ : Изучить основы кинематики и динамики твердого тела

ОБЕСПЕЧЕНИЕ :

• методическая разработка занятия;

• цветной мел, доска.

Литература: | 1 | , с. 34 - 38

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

В основной части, раскрывая изучаемые вопросы, достигается поставленная цель.

В заключительной части, кроме установки на самоподготовку и определения темы следующего занятия целесообразно вызвать аудиторию на краткое обсуждение рассмотренных вопросов, обеспечив закрепление пройденного материала.

Разработал И. Рябчун

2

Вопрос1. Абсолютно твердое тело. Степени свободы. Кинематические характеристики вращательного движения твердого тела.

Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель — абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Бели материальная точка свободно движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и г); если она движется во некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если вдоль некоторой линии, то одной степенью свободы.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение — это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение—это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

3

Вопрс2 Динамические характеристики вращательного движения твердого тела. Момент инерции. Теорема Штейнера.

При изучении вращательного движения твёрдых тел необходимо ввести понятие момента инерции системы материальных точек и тела относительно заданной оси.

Моментом инерции тела относительно заданной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек системы на квадрат их расстояния до рассматриваемой оси:

(1.1)

Рисунок 1.1.

Например для трех тел – материальных точек (размерами пренебрегаем) относительно оси

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

, (1.2)

где интегрирование проводится по всему объёму. Величина есть функция координат материальной точки.

Определим момент инерции тонкостенного цилиндра относительно оси вращения. Разобьем цилиндр на элементарные участки имеющие массы . Тогда

,

где – масса цилиндра.

Рисунок 1.2.

При определении момента инерции сплошного цилиндра заменить интеграл на сумму не представляется возможным. Рассмотрим эту задачу с применением интегрального исчисления помня, что интеграл есть сумма при стремлении

к бесконечности (

Рисунок 1.3.

Разобьём цилиндр на отдельные полосы концентрические цилиндра бесконечно малой толщины

с внутренним радиусом

и внешним

. Так как

, то считаем, что расстояние всех точек элементарного цилиндра до оси равно

. Тогда момент инерции элементарного цилиндра определится как

, (1.3)

где масса всего элементарного цилиндра (, где объём цилиндра ).

Тогда , таким образом, момент инерции всего цилиндра определяется как:

. (1.4)

Таким образом, момент инерции сплошного цилиндра относительно оси вращения

. (1.5)

Аналогично можно найти моменты инерции и других тел. Например, момент инерции прямого стержня длиной относительно оси, перпендикулярной оси стержня и проходящей через середину определяется как

. (1.6)

Рисунок 1.4.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, проходящей параллельно указанной, определяется теоремой Штейнера.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси, равен моменту инерции

плюс произведение массы тела

на квадрат расстояния

между осями:

, (1.7)

где – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной той оси относительно которой находят .

6

Активизирующий вопрос №1.

Мы выше установили, что момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, равен (см. ф-лу (1.6)). Определить момент инерции данного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, находящуюся на от конца стержня ось .

Используя теорему Штейнера .

Момент силы.

Моментом силы

относительно точки

называется векторное произведение радиус-вектора

на силу

, (2.1)

направление этого вектора совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к . (Если совместить начала данных векторов).

Модуль определяется как

, (2.2)

– кратчайшее расстояние между точкой и линией действия силы (плечо силы).

Работа силы при вращательном движении

, (2.3)

где – пройденный элементарный путь , а проекция на перемещение силы определим как

. (2.4)

Тогда

. (2.5)

Работа силы идёт на увеличение кинетической энергии (в соответствии с теоремой о кинетической энергии).

7

Вопрос3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Для вывода уравнения динамики вращательного движения рассмотрим частный случай вращательного движения материальной точки массы m по окружности радиуса R под действием силы F, направленной по касательной к окружности. Выводы, полученные для данного случая, применимы для произвольного вращательного движения твёрдого тела вокруг любой оси.

Выше было показано, что элементарная работа при вращении равна:

, (3.1)

где по условию ; - элементарный угол поворота радиуса r.

С другой стороны, по определению

. (3.2)

Элементарный пройденный путь равен:

, (3.3)

Подставив (3.3) в (3.2), получим:

. (3.4)

При вращательном движении под действием постоянной силы материальная точка движется с постоянным тангенциальным ускорением , совпадающим по направлению с , следовательно, по второму закону Ньютона

. (3.5)

Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением соотношением:

(3.6)

следовательно

. (3.7)

Подставив (3.3) и (3.7) в (3.4), получим:

. (3.8)

Так как – момент инерции точки, то

. (3.9)

Приравняв (3.1) и (3.9), получим:

. (3.10)

Формула (3.10) выражает основное уравнение динамики вращательного движения.

Т.к.

, то уравнение (3.10) записать в виде

. (3.11)

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
Полученные соотношения позволяют проводить количественную оценку состояний механических систем и решать конкретные задачи.

На самоподготовке:
Изучить рассмотренные вопросы по конспекту и | 1 | , с. 34 - 38
СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ №12. Л. № 8 «Момент импульса»

| 1 | , с. 38 - 43