Контрольная работа №3 Задача №1 Вычислить двойной интеграл.. Решение Изобразим область интегрирования

Контрольная работа №3
Задача № 1
Вычислить двойной интеграл.
1.3.

.
Решение

Изобразим область интегрирования

Перейдем к повторным интегралам и расставим пределы интегрирования

Задача №2.
Вычислить массу материальной пластины плотностью

, если она ограничена линиями:

2.3.

_{Решение}

_{Массу материальной пластины вычислим по формуле}

_.

_Тогда

_.

_{Перейдем к повторным интегралам}

Задача №3
Исследовать сходимость следующих числовых рядов.
3.3. а)

; б)

; в)

Решение

а) Используем признак Даламбера

Ряд сходится

б) используем предельный признак Коши

Ряд расходится

в) используем интегральный признак.

Подинтегральная функция непрерывна на промежутку .

Ряд расходится

Задача №4

Исследовать сходимость знакопеременных рядов. Если ряд сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

4.3.

Решение

Рассмотрим ряд с модулей

_{и исследуем его на сходимость за признаком Даламбера}

Ряд сходится, тогда исходный ряд абсолютно сходится.

Задача №5

Исследовать сходимость следующих степенных рядов. Найти их области сходимости.

5.3. а)

б)

Решение

а) Найдем радиус сходимости ряда

Тогда

Ряд сходится при

б) Найдем радиус сходимости ряда

Тогда

Ряд сходится при .

Задача №6

Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную погрешность:

6.3.

Решение

Соответствующий неопределенный интеграл

не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.

Разложим подинтегральную функцию в степенной ряд

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и , достаточно взять первый член, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.

Таким образом, находим