Концепция курса по выбору «элементы теории устойчивости» для будущих учителей физики - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Элементы векторного анализа и теории поля, уравнения математической... 1 400.03kb.
Программа курса: Конечные расширения поля рациональных чисел 1 11.52kb.
Программа курса Элементы теории переходной экономики 1 79.84kb.
Программа экзамена по курсу линейная алгебра, системы дифференциальных... 1 44.3kb.
Программа курса по выбору для предпрофильной подготовки «Как решать... 1 110.24kb.
Анализ работы нмо методического объединения учителей математики,... 4 438.48kb.
Учебно-методический комплекс по дисциплине теория алгоритмов 1 409.97kb.
Н. Д. Филонов совместно с учеником М. Демченко 1 114.45kb.
Лекция Предмет и задачи физики. Механическое движение 1 69.28kb.
Методическое объединение учителей математики, физики, информатики 1 14.03kb.
Программа предметно-ориентированного курса по выбору для учащихся... 1 98.2kb.
Теория устойчивости 1 7.15kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Концепция курса по выбору «элементы теории устойчивости» для будущих учителей физики - страница №1/1

КОНЦЕПЦИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

УСТОЙЧИВОСТИ» ДЛЯ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ ФИЗИКИ1
Р.А. Мельников
Долгое время теория дифференциальных уравнений для педагогических специальностей физико-математических факультетов изучалась в виде раздела курса математического анализа. В соответствии с ГОС 2000 года дифференциальные уравнения были выделены в самостоятельную дисциплину. В отличие от вузов технического профиля и университетских специальностей, в названии которых присутствует словосочетание прикладная математика, на изучение дифференциальных уравнений для педагогических специальностей отводится только один семестр. Сравнительный анализ стандартов для различных специальностей показал, что содержательная часть курса дифференциальных уравнений для педагогических специальностей существенно отличается от технических и прикладных специальностей. Во-первых, это проявляется в количестве часов, отводимых на изучение одинаковых тем, а во-вторых, отсутствием некоторых тем в ГОС для педагогических специальностей. Так, например, в ГОС для педагогических специальностей отсутствует качественная теория дифференциальных уравнений, аналитическая теория дифференциальных уравнений, асимптотические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и другие темы. Однако при подготовке учителей физики дифференциальные уравнения и их приложения играют очень существенную роль. В качественной теории дифференциальных уравнений есть раздел «Теория устойчивости», который имеет большое теоретическое и прикладное значение. Кроме того, теория устойчивости в прикладном аспекте имеет много точек соприкосновения с физикой. Связь теории устойчивости и физики наилучшим образом можно проследить при изучении такого раздела физики, как теория колебаний. Известно, что теория колебаний, хотя и в скромном объёме, представлена в курсе физики средней школы. Таким образом, подготовку учителей физики без изучения теории устойчивости можно признать неполноценной.

Многие преподаватели считают, что такой раздел как теория устойчивости (как многие другие разделы высшей математики), можно давать студентам на самостоятельное изучение. Но анализ учебников и пособий по дифференциальным уравнениям показал, что в большинстве из них (Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения, Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов т.2., Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Шестаков А.А.и др. Курс высшей математики т.2.и др.) теория устойчивости представлена в незначительном объёме. Имеется достаточный запас литературы, которая посвящена именно теории устойчивости (Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости, Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения., Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений., Филатов А.Н. Теория устойчивости. Курс лекций и др.). Специализированная литература по теории устойчивости плохо применима для самостоятельного изучения студентами по той причине, что изложение материала идёт в разной последовательности, глубина рассматриваемых вопросов и строгость их изложения также различны. Например, в книгах Б.П. Демидовича «Лекции по математической теории» и Р. Беллмана «Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений» изложение теории устойчивости начинается с вопросов, посвящённых исследованию на устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, но для начинающих изучение данной теории более разумным было бы начать изучение не с систем, а с обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Книги Беллмана и Демидовича хороши для тех, кто уже знаком с основными положениями теории устойчивости. Ещё одной проблемой, препятствующей полноценному изучению теории устойчивости, является малое количество задачников, содержащих задания по теории устойчивости для самостоятельного решения.

Важной особенностью теории устойчивости является то, что при решении конкретных задач приходится использовать навыки и умения, приобретённые в других курсах высшей математики. Из курса алгебры (составлять характеристическое уравнение для системы, вычислять определители, решать уравнения высоких степеней и др.), геометрии (приводить к каноническому виду уравнения кривых второго порядка, строить кривые второго порядка и т.п.), математического анализа (находить пределы, дифференцировать и интегрировать функции и т.п.) и других. Таким образом, теория устойчивости реализует внутрипредметные связи в рамках высшей математики и помогает студентам старших курсов освежить в памяти материал, который они изучали на младших курсах, что очень полезно перед выпускными экзаменами.

Итак, из ранее сказанного следует, что теория устойчивости демонстрирует возможность интеграции теоретической и прикладной математики, а тем самым имеет высокий образовательный потенциал, устанавливает внутрипредметные связи в высшей математике и межпредметные связи с физикой. То есть включение её в процесс подготовки будущего учителя физики весьма полезно.

Реализовать внедрение теории устойчивости можно в виде курса по выбору «Элементы теории устойчивости». Теорию устойчивости читают студентам технических вузов, так как она имеет большое значение в теории автоматического регулирования, поэтому при составлении программы курса по выбору необходимо учесть опыт, накопленный в технических вузах, и адаптировать её с позиции перспективы востребованности в средней школе и исключить все технические аспекты. Именно по этой причине уместно назвать курс « Элементами теории устойчивости». Ещё раз подчеркнём, что изучение теории устойчивости не является самоцелью этого курса по выбору, для нас важнее показать прикладное значение теории устойчивости в вопросах физики.

Курс по выбору «Элементы теории устойчивости» следует ставить в расписании учебных занятий сразу после изучения студентами базового курса «Дифференциальные уравнения», так как ещё свежи в памяти методы решения дифференциальных уравнений и их систем. Многолетний опыт преподавания этого курса в ЕГУ им. И.А. Бунина показывает, что наиболее удачным разделением часов между лекционными и практическими занятиями можно считать 2 к 1 в неделю в пользу лекций. В этом случае лектор имеет возможность ознакомить студентов не только с основными положениями теории устойчивости, но он будет иметь возможность разбирать на лекции решение типовых задач.

Для обеспечения процесса обучения этому курсу разработан УМК (учебно-методический комплекс).

Целью курса по выбору «Элементы теории устойчивости» является реализация фундаментальной и прикладной составляющих в обучении дифференциальным уравнениям учителей физики.

Задачами данного курса являются:


  1. познакомить с основными положениями теории устойчивости;

  2. научить решать задачи, связанные с исследованием на устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем;

  3. сформировать умение отличать друг от друга различные типы устойчивости (устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, орбитальная устойчивость, равномерная устойчивость, экспоненциальная устойчивость и др.);

  4. сформировать умение определять характер особых точек систем дифференциальных уравнений;

  5. показать возможность использования теории устойчивости при исследовании моделей, возникающих при описании явлений окружающего мира;

  6. развить интерес к математике и её приложениям; навыки творческого мышления, исследовательской и методической работы;

  7. способствовать развитию патриотического сознания.

УМК курса по выбору включает в себя рабочую программу, материал для проведения лекций, набор заданий для практических занятий. Основными формами занятий будут лекционные и практические занятия. Можно некоторые практические занятия проводить в компьютерных лабораториях. Например, первое практическое занятие можно провести, используя систему MathCad. Данная система позволяет находить частные решения обыкновенных дифференциальных второго порядка с постоянными коэффициентами, причём после нахождения решения Даная система может построить график найденного решения. Начинать практическое изучение теории устойчивости на графиках решений однородных дифференциальных уравнений второго порядка советует Н.М. Матвеев [2, с.327].

Перейдём теперь к содержанию курса по выбору «Элементы теории устойчивости». Будем исходить из расчёта, что стандартный семестр длится 18 учебных недель. Поэтому на лекции будем отводить 24 часов, а на практические занятия – 12 часов.



Примерное тематическое планирование часов курса по выбору «Элементы теории устойчивости»





Тема занятия

Лекция

Практическое

занятие


1

История возникновения теории устойчивости.

1 ч.




2

Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

1 ч.





3

Другие виды устойчивости (структурная, практическая, орбитальная, устойчивость по Пуанкаре, устойчивость по Жуковскому, устойчивость по Пуассону, устойчивость по Лагранжу, устойчивость по части переменных).

1 ч.





4

Исследование на устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

1 ч.

1 ч.


5

Устойчивость нулевого решения. Исследование на устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка сведением к исследованию нулевого решения.

2 ч.


2 ч.


6

Типы точек покоя для системы двух дифференциальных уравнений. Устойчивость решений систем общего вида.

3 ч.


2 ч.


7

Многочлены и их корни. Задача о расположении корней. Устойчивые многочлены. Многочлены малых степеней и теорема Стодолы.

1 ч.





8

Алгебраические методы исследования на устойчивость решений дифференциальных уравнений порядка, выше второго и решений систем дифференциальных уравнений (критерий Гурвица, критерий Рауса, критерий Льенара-Шипара, критерий Михайлова, ещё один алгебраический метод, принцип аргумента)

3 ч.

2 ч.

9

Степень устойчивости.

1 ч.




10

Исследование на устойчивость по первому приближению.

1 ч.

1 ч.


11

Производная в силу системы. Первые интегралы. Метод функций Ляпунова (2-ой метод Ляпунова).

2 ч.

2 ч.


12

Теоремы Ляпунова, Красовского, Барбашина, Четаева об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости. Понятие об аттракторах.

1ч.





13

Характеристические показатели Ляпунова (понятие о первом методе Ляпунова).

1ч.





14

Элементы теории колебаний

2 ч.




15

Бифуркации.

1 ч.




16

Моделирование реальных процессов и устойчивость (модель Лотка-Вольтерра, модели маятников).

2 ч.





17

Контрольная работа




2 ч.




Итого

24 ч.

12 ч.

Литература

(Рекомендуемая для реализации курса по выбору «Элементы теории устойчивости).

  1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: УРСС, 2003.

  2. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: 1954.

  3. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. М.: "Наука". 1981.

  4. Боярчук А.К. и др. Справочное пособие по высшей математике: Дифференциальные уравнения в примерах изадачах. М.: УРСС, 2003.

  5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:"Наука". 1967.

  6. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: 1966.

  7. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. С.-П., М., Краснодар: Лань, 2003.

  8. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. М.: "Высшая школа", 1989.

  9. Филатов А.Н. Теория устойчивости. Курс лекций. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

  10. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: "Интеграл-пресс", 1979.

В основу конструирования курса по выбору и организации соответствующего образовательного процесса были положены следующие принципы: историко-генетический, принцип линейно-концентрического построения материала, принцип фундаментальности и целостности, принцип интеграции.

Ещё в 1906 году датский математик Ля Кур в статье «Обучение математики на основе историко-генетического принципа», вошедшей в педагогический энциклопедический словарь, писал: «Целью исторического обучения математики не является, в первую очередь сообщать историю математики... Скорее цель заключается в том, чтобы находить в истории ступени, которые проходило человечество в развитии абстрактного мышления, и таким образом показывать ученикам верный и красивый путь к математическим вершинам. Цель – достигать большей ясности и обозримости, чем это обычно удаётся с помощью систематического метода. ...Историческое обучение математике следует естественной системе: системе, ибо человечество, в целом, не мыслило бессистемно, и естественной, ибо не может быть неестественным для отдельных людей (учащихся) то, что было естественным для человечества». Философ Э.В. Ильенков писал «...Усвоение научных знаний надо организовать так, чтобы оно в сжатой, сокращённой форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития этих знаний» [1, с.13].

Реализация этого принципа идёт по двум направлениям. На первой же лекции студентам излагается история зарождения и развития теории устойчивости в свете тех, в первую очередь технических проблем, которые стояли перед учёными того времени, и как результаты теории устойчивости способствовали дальнейшему научно-техническому прогрессу. Второе направление выдерживает линию генетического характера преподавания этого раздела. Главный акцент в изучении базового курса дифференциальных уравнений делался на ознакомление с основными типами дифференциальных уравнений, которые интегрируются в квадратурах, и методами нахождения того или иного типа решения уравнений. Но у студентов остаётся ощущение незавершённости этого курса. Работая самостоятельно с учебниками по дифференциальным уравнениям, в процессе написания курсовых работ, изучая физику, студенты замечают большой прикладной потенциал дифференциальных уравнений. Преподаватели объясняют отсутствие прикладной линии в теории дифференциальных уравнений банальной нехваткой часов. Таким образом, предлагаемый курс по выбору устраняет эту незавершённость и можно сказать выполняет интегрирующую функцию между фундаментальной и прикладной составляющими курса дифференциальных уравнений. Преподавая математические дисциплины будущим учителям в соответствии с этим подходом, можно опосредованно подготовить их к следованию тому же принципу в их будущей профессиональной деятельности. Тем самым будет осуществляться выдвинутый А.Г. Мордковичем принцип бинарности.

В средней школе используется концентрический принцип подачи материала, а в вузах – линейный. Мы будем использовать своеобразный симбиоз двух этих принципов.

«Естественный порядок приобретения знаний и умений всегда имеет характер развития по спирали. ... Логика науки требует, чтобы процесс наращивания знаний с неизбежным возвращением с новой точки зрения к ранее изученному распадался на концентры»[4, с.70]. Реализацию этого принципа можно проследить, например, в процессе введения понятия «устойчивость», а затем других видов устойчивости, таких как, асимптотическая устойчивость, структурная устойчивость, орбитальная устойчивость и т.д. По мнению В.М. Брадиса при концентрическом изложении обеспечивается более прочное усвоение программного материала, так как к одним и тем же вопросам приходится возвращаться несколько раз, передвигается на более ранний срок использование изученной части теоретического материала для практических его применений в простейших задачах. Но он же предостерегает об опасности потери целостного представления о данной дисциплине.

«Образование становится фундаментальным, если оно ориентировано на выявление сущностных основ и связей между разнообразными процессами окружающего мира. ...Становится целостным – когда дисциплины образуют единые циклы, объединённые общей целевой фундаментализацией, объектом исследования, методологией построения, ориентированных на дисциплинарные связи» [5, с.25].

Уже отмечалось, что подбор материала для изучения в курсе по выбору реализует интеграцию фундаментальной и прикладной составляющих курса дифференциальных уравнений.

Итак, предлагаемый УМК, основанный на ранее рассмотренных принципах, по нашему мнению, позволить улучшить математическую подготовку (фундаментальную и прикладную) будущих учителей физики. Отметим также, что данный курс по выбору с небольшими коррективами в завершающей части рабочей программы может быть использован при подготовке специалистов других профилей (экономистов, социологов, экологов, учителей биологии и химии и др.).


Библиографический список

  1. Ильенков Э.В. Школа должна учить мыслить./ Народное образование, 1964- №1.

  2. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. С.-П.,1996.

  3. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. С.-П., М., Краснодар: Лань, 2003.

  4. Сафуанов И.С. Теория и практика преподавания математических дисциплин в педагогических институтах. Уфа: Магрифат, 1999.

  5. А.Д. Суханов. Вестник РУДН. Серия «Фундаментальное естественнонаучное образование»,1995.-№1.

  6. Филатов А.Н. Теория устойчивости. Курс лекций. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.




1 Статья помещена в сборнике: Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 11: Серия «История и теория математического образования». – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. – С.306-313.





Нет новостей — хорошая новость.
ещё >>