Комбинаторика 2 - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Комбинаторика Числа Логика 1 60.56kb.
Занятие №24 Комбинаторика 14. 03. 09 1 49.15kb.
Лекция Элементы комбинаторики 1 257.31kb.
Семинар по алгебре и линейной оптимизации, посвященный 100-летию... 1 86.55kb.
Множество вопросов к зачету/экзамену по спецкурсу «Комбинаторика... 1 14.59kb.
Семинар работает по понедельникам с 15: 30 Порядок работы семинара 1 31.76kb.
Семинар «Комбинаторика инвариантов Васильева» 1 73.37kb.
Всякие времена 4 534.46kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Комбинаторика 2 - страница №1/1

Гимназия 1543, 8-В класс Листик 5, 29 октября 2009.

Комбинаторика 2.

  1. Докажите, что двумя способами – алгебраически (по формуле) и комбинаторно (т. е. исходя из определения числа сочетаний поясните, почему левая часть равна правой)

  2. а) Каким числом способов можно выбрать из 10 мальчиков и 1 девочки команду из 6 человек на матбой?

б) Во сколько из этих команд войдет девочка, а во сколько не войдет?

в) Докажите, что .


Треугольник Паскаля.

Определение. Треугольником Паскаля называется числовой треугольник, изображенный на рисунке (по краям треугольника стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух, стоящих справа и слева над ним)

  1. Н
    а рисунке выписаны первые 5 строк треугольника Паскаля. Напишите следующие 5 строк.

  2. Нарисуем треугольную сетку. Напишем в вершине 1, а в каждом узле   количество путей, которыми можно добраться до него из вершины, двигаясь вниз по линиям сетки. Докажите, что получился треугольник Паскаля

  3. а) Докажите, что k-е число n-й строки треугольника Паскаля равно (строки нумеруются сверху вниз, начиная с нуля, а числа в строках нумеруются слева направо, также начиная с нуля).

б) Найдите с помощью треугольника Паскаля числа , .

  1. а) Найдите число способов прочитать слово КВАДРАТ на рисунке справа.

б) Найдите сумму чисел в n-й строчке треугольника Паскаля.

в) Докажите, что в любой строчке треугольника Паскаля сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.



  1. Возьмите любое число в треугольнике Паскаля и сложите все числа, начиная от него и идя по прямой вправо вверх. Что получилось? а) Запишите замеченную закономерность в виде тождества;

б) Докажите это тождество комбинаторно (т. е. опираясь на то, откуда берутся числа в треугольнике Паскаля);

в) У нас уже было тождество (Индукция 2, задача 2в)



.

Как из него получить тождество о числах ? Где они находятся в треугольнике Паскаля? Подумайте над обобщением.



  1. а) Сложите квадраты всех чисел, стоящих в одной строке треугольника Паскаля, найдите полученное число в треугольнике Паскаля. Запишите полученное тождество.

б) Докажите это тождество (Указание: используйте задачу 4.).

Алгебра (искусство раскрывать скобки)

  1. Сколько слагаемых будет после раскрытия скобок в выражении
    а) (a+b+c+d+e)(f+g+h);
    б) (1+a)(1+b)...(1+h);
    в) (a+b)10;
    г) Сколько слагаемых будет после раскрытия скобок и приведения подобных в выражении (a+b)n?

  2. а) Раскройте скобки и приведите подобные в выражениях , и выпишите результаты друг под другом. Заметьте, что коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

б) Раскроем скобки и приведем подобные в выражении . Возьмем любое слагаемое. Оно имеет вид . Докажите, что .

Таким образом мы доказали формулу которую называют Бином Ньютона



Благодаря этой формуле числа часто называют биномиальными коэффициентами.

  1. Выведите из бинома Ньютона, что а)

б) . Сравните с задачей 6.
Еще задачи.

  1. а) Куб размером 10×10×10 разбит плоскостями, параллельными граням, на 1000 кубиков размером 1×1×1. Из любого кубика можно перейти в соседний с ним кубик, если тот находится выше, либо правее, либо дальше (мы поставили куб одной из граней к себе «лицом»). Найдите количество способов пройти из кубика, расположенного в нижнем левом ближнем углу в дальний правый верхний угловой кубик.

б) Найдите формулу для .

  1. Найдите сумму

  2. а) Какие тождества на биномиальные коэффициенты следуют из тождеств



    Указание: Раскройте скобки слева и справа и приравняйте коэффициенты при xp.

б) (Свертка Вандермонда) Докажите, комбинаторно тождество

.

в) Выведите из пункта а) или пункта б) задачу 8.



  1. а) Патриций решил устроить праздник и для этого приготовил 240 бочек вина. Однако к нему пробрался недоброжелатель, который подсыпал яд в одну из бочек. Недоброжелателя тут же поймали, дальнейшая его судьба неизвестна. Про яд известно, что человек, его выпивший, умирает в течение (не «через»!) 24 часов. До праздника осталось два дня, то есть 48 часов. У патриция есть пять рабов, которыми он готов пожертвовать, чтобы узнать в какой именно бочке яд. Как патрицию вычислить отравленную бочку?

б) Из скольких бочек можно найти отравленную, если дней k, а рабов n?




Даже перед тем как открыть шкаф, сперва постучи. Янина Ипохорская
ещё >>