Кафедра математики и информатики - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Отчет о проведении предметной недели математики и информатики в мкоу... 2 321.19kb.
Воспитание патриотизма на уроках математики и информатики 1 29.53kb.
Методическая тема моучителей математики, информатики и физики «миф»на... 1 24.17kb.
Анализ работы нмо методического объединения учителей математики,... 4 438.48kb.
Кафедра управления и информатики (УиИ) 1 181.12kb.
Кафедра теоретической информатики и дискретной математики 1 45.12kb.
Фундаментальной информатики 6 1086.68kb.
Анализ работы нмо учителей математики, физики, химии, биологии, информатики... 4 621.39kb.
Кафедра: информатики и методики преподавания математики фио разработчиков... 1 46.98kb.
Анализ работы мо учителей математики и информатики за 2012-2013 учебный год 4 529.85kb.
Рабочая программа учебнойдисциплины по выбору магистранта двм-04... 2 401.86kb.
Биография краснера Наума Яковлевича 3 468.05kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Кафедра математики и информатики - страница №9/10

µ §ЎЄ среднеквадратическое отклонение µ §.

1.2. Расчет дисперсии из логарифмов среднедушевых до­ходов, которая находится по выборке бюджетов домашних хозяйств,

µ §.

2. Определение теоретических частот на основе функции плотности логнормального распределения: рассчитываются значения переменных



µ §;

на основе таблицы и интеграла вероятностей Лапласа нахо­дятся

µ §

и вычисляются теоретические частоты



µ §

где µ § ЎЄ логарифм верхней границы интервала по среднедушевому денежному доходу.

Относя частоты в каждом интервале µ § к средней численно­сти населения µ §, получаем теоретические частости µ §.

3. Сравнение частостей фактического распределения µ § по выборке бюджетов домохозяйств с теоретическими частостями ЛНМ (µ §) обобщается в величине критерия

µ §

Сопоставление µ § табличным значением µ § при уровне значимости б (обычно б = 0,05) и числе степеней свободы df= k- 2 (где k - число групп в распределении по среднедушевому доходу) позволяет сделать выводы:



а) если µ §< µ § различия в сравниваемых распределе­ниях статистически незначимы, в этом случае ЛНМ распростра­няется на генеральную совокупность населения;

б) если µ §> µ § имеются статистически значимые различия между распределением населения по среднедушевому до­ходу по данным выборки бюджетов домохозяйств и распределе­нием по доходам всего населения, проживающего на изучаемой территории.

Модель Парето является наиболее распространенной при описании распределения числа лиц, обладающих данным или большим доходом. Модель может быть представлена функ­цией следующего вида:

µ §


где µ § ЎЄ среднедушевой доход;

µ § ЎЄ кумулятивное число лиц, имеющих доход µ § или больший до­ход [накопление частот проводится снизу вверх, т. е, по мере убывания доходов у = cum µ §(здесь µ § ЎЄ численность выборки домохозяйств (населения)]; А и µ § ЎЄ параметры уравнения.

График функции Парето представлен на рис. 4.

С повышением среднедушевого дохода число лиц, доход кото­рых равняется или превышает какое-либо значение, понижается сначала быстро, а затем медленнее и, наконец, стабилизируется.

В логарифмической форме функция имеет вид:

µ §


Число лиц, имеющих доход x или больший доход,

Среднедушевой доход, µ §

Рис. 4. Распределение доходов по модели Парето

Параметры уравнения Парето определяются методом наи­меньших квадратов (МНК):

µ §

µ §


Литература:

Образование, которое мы можем потерять. Сборник. Под ред. Садовничего В.А. ЁC М.: МГУ, Институт компьютерных исследований; 2003. ЁC 386 с.

Эндрю Ф. Сигел Практическая бизнес-статистика. М.-СПб.- Киев; 2008. ЁC 1052 с.

Севастьянов Б.А. Вероятностные модели. ЁC М.: Наука, 1992. ЁC 176 с.

Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика. 2004. ЁC 656 с.

Щипунова А.(ПМИ-Д-3 ,2011г)

Модификация классической модели В.Вольтерра сосуществования двух видов на основе энтропийного подхода

Рассмотрим следующие вопросы:

Изоморфизм социально-экономических и биолого-физико-химических динамических систем

Критерий простоты при моделировании динамических систем

Энтропийный подход к анализу модели «хищник-жертва»

Опыт показывает, что многие явления в социально- экономических системах основаны на биофизико-химической кинетике. Например, как происходит ферментативный катализ? Молекула фермента захватывает молекулу субстрата, образует с ней комплекс Михаэлиса ЁC Ментен, затем обработанная (перестроенная) молекула «выплевывается» молекулой фермента в другом виде. При этом молекула фермента не изменяется. Точно так же работает торговая система: продавец «захватывает» покупателя, некоторое время ведет с покупателем разговор о приобретении товара (образуется на некоторое время подобие комплекса), затем, если покупатель согласен приобрести товар, снабжает последнего товаром и, в результате, покупатель переведен в ранг непокупателей (владельцев) данного товара. Владельцы товара через некоторое время превращаются снова в покупателей, если приобретенный товар физически и (или) морально износился. Другой пример: как работает станок? Станок «захватывает» заготовку (с помощью или без помощи рабочего), образует на некоторое время комплекс с заготовкой, перерабатывает заготовку и превращает ее в готовое изделие или какую-то промежуточную форму, которая потом захватывается другим станком, обрабатывается и д.т. [1, c. 5].

Мысль о том, что феноменологию обобщенных биофизико-химических реакций можно использовать в анализе социально-экономических систем, высказана в [2, c. 134]. Она заслуживает того, чтобы привести ее полностью: «По своему духу и методам исследования к излагаемому нами предмету близко примыкает моделирование экономических, производственных процессов. Нет ничего удивительного в том, что биологические системы с их основными переменными ЁC концентрациями веществ ЁC похожи на экономические, где в качестве переменных выступают количества тех или иных продуктов или предметов, а роль концентрации ферментов играет число станков в цехе или автоматической линии. В этом смысле и кинетические модели биофизики и биохимии и модели экономические являются частями одной общей отрасли кибернетики, так называемой теории сложных систем». К сожалению, мимо этой идеи прошло подавляющее число исследователей социально- экономических процессов. Мы же хотим отметить, что мысль, высказанная выдающимися советскими физиками-теоретиками, безусловно плодотворна и конструктивна. Она открывает путь физике в социально-экономические системы и тянет за собой неравновесную термодинамику открытых систем, которая претерпевает в настоящее время бурное развитие, начатое в основном школой И. Пригожина [3-4]. Критериями относительной степени упорядоченности при самоорганизации в открытых системах посвящена работа [5].

В работах [2, 6] обсуждаются скорости различных биологических и биохимических процессов. При этом слово «различных» употребляется не случайно, так как общие закономерности, которым подчиняются скорости, одни и те же как для биофизико ЁC химических реакций, так и для размножения особей сосуществующих видов. Одно из главных положений кинетики таково: для того, чтобы провзаимодействовать, надо, по крайней мере, встретиться. В биохимических реакциях необходимо встретиться двум молекулам или атомам; в проблеме сосуществования видов необходимо встретиться, например, волку с зайцем (что сопровождается реакцией поглощения); в социально ЁC экономических явлениях рабочему, чтобы, например, изготовить некоторое изделие, нужно встретиться со станком или заготовкой, чтобы получить инструкцию, подчиненному необходимо «встретиться» с начальником (хотя бы с помощью телефона), покупателю, чтобы приобрести товар, необходимо «встретиться» с продавцом, в магазине самообслуживания ЁC с товаром и кассиром и т.д.

Термин «концентрация» употребляется также в расширенном смысле. В случае химических реакций - это просто обычные концентрации. Если речь идет о взаимодействии микроорганизмов друг с другом и (или) молекулами питательного вещества, то под концентрациями удобно понимать количество особей (или количество органического вещества, заключенного в них) в единице объема. В экологических проблемах, например в проблемах сосуществования видов, роль концентрации играет число особей в рассматриваемом районе. В экономике роль «концентрации» выполняют количество товаров того или иного вида, количество покупателей, количество продавцов, количество износившихся морально и физически изделий, например, на данном предприятии или даже во всей стране в целом.

Но не будем считать социально ЁC экономические явления биофизико-химическими, или отождествлять некоторого работника с ферментом или молекулой субстрата. Вовсе нет. Такая аналогия ЁC лишь удобный феноменологический аппарат, который будем использовать чисто формально, для удобства построения моделей [1, c.7].

В [6] выясняется, что социально ЁC экономические системы (а так же биологические) устроены проще, чем объекты неживой природы, например, чисто химические процессы. Как отмечают авторы, при анализе укороченной системы уравнений возникает ситуация, опять же, на первый взгляд, парадоксальная. Казалось бы, исследование упрощенной (и поэтому приближенной) модели не может дать больше, чем исследование полной модели; точный результат всегда полнее и «лучше» приближенного. В данном случае наоборот ЁC приближенное решение оказывается полнее «точного». Дело в том, что «точное» решение удается получить лишь в отдельных частных случаях (при определенных наборах коэффициентов), которые не дают представления о поведении системы в достаточно широкой области параметров. В то же время упрощенная система, как правило, допускает исследование в широкой области параметров[1, c.14].

При моделировании социально ЁC экономических систем во многих случаях руководствуются принципом простоты. Сначала строится простейшая модель, а затем выясняется, каково согласие теории с экспериментом, и в дальнейшем модель усложняется, если согласие не достигнуто.

Рассматриваемые системы дифференциальных уравнений - это в основном системы второго ЁC третьего порядка. Оказывается, что уже из системы двух уравнений удается выявить основные качественные характеристики социально ЁC экономических систем.

Однако М.А. Марков [7] говорит, что многое, казавшееся простым, не реализуется в природе (речь идет о развитии физики). С другой стороны, основное достижение эволюции заключается в том, что она ведет ко все большему и большему единству все более и более широкого многообразия. Возникает мысль, что, может быть, достигаемое реальное единство, вернее понимание этого единства, и есть источник, объективный источник, складывающегося у нас представления о «простоте» картины мира. Другими словами, конкретная, реальная простота, вернее ее констатация, носит характер, если можно так сказать, существенно «постфактумный». Поэтому она не может, в силу своей «предварительной неизвестности», быть таким действенным критерием в поисках истины. «Мы говорили, что методологии поисков единой картины мира часто упоминается так называемый «критерий простоты». У известного украинского философа XVII столетия Сковороды этот критерий звучит в его молитве как факт, реализующийся в природе. “Благодарю тебя, господи, что ты сделал так, что все простое существует в природе, а все сложное отсутствует”».

Эйнштейн резюмирует эволюцию науки словами: «Эволюция происходит в направлении все увеличивающейся простоты логических основ».

Гейзенберг в одной из своих работ (« Что такое ”понимание” в теоретической физике») пишет: «Все еще может считаться лучшим критерием корректности новых концепций старая латинская пословица “Simplex sigillum veri” (Простота ЁC это признак истинности), которая была выведена большими буквами в аудитории Геттингенского университета».

В работах [2,6,8] в полную меру используется принцип простоты при моделировании биологических процессов.

Согласно этому принципу «биологическая система (и, следовательно, описывающая ее математическая модель) должна быть сконструирована максимально просто (при условии выполнения заданной функции)» [6, c. 11, 12].

Наш подход к моделированию социально ЁC экономических явлений состоит в желании учесть опыт развития физики и биофизики: мы стараемся идеализировать систему так, чтобы эта идеализация приводила к двум автономным обыкновенным дифференциальным уравнениям, качественный анализ которых осуществляется на фазовой плоскости[1. c.16].

В дальнейшем интерпретируем Error: Reference source not found и Error: Reference source not found как непрерывные случайные величины, подчиненные нормальному закону Error: Reference source not found В этом случае мера неопределенности энтропии Error: Reference source not found

Действительно, исходя из следующих формул

Error: Reference source not found;

Error: Reference source not found;

Error: Reference source not found;

Error: Reference source not found;

Error: Reference source not found;

Error: Reference source not found;

Error: Reference source not found;


имеем:


При Error: Reference source not found

Фазовые портреты в классическом случае


Error: Reference source not found

и с учетомError: Reference source not found

представлены на рис. 1. Соответствующие экспериментальные данные представлены в следующем MathCad документе:

Коэффициент рождаемости зайцев Error: Reference source not found

Коэффициент рождаемости волков Error: Reference source not found

Убыль зайцев Error: Reference source not found

Прирост волков Error: Reference source not found

Численность популяции жертв (зайцев) Error: Reference source not found

Численность популяции хищников (волков) Error: Reference source not found

µ § µ §


Рис.1

Вывод: наш подход к моделированию основан на изоморфизме социально-экономических и биофизических систем, поскольку качественные характеристики этих динамических систем выявляются из системы однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка. А именно: классической математической модели В. Вольтерра «Хищник - Жертва». Выбор этой хрестоматийной модели обусловлен критерием простоты.

Модификация классической модели основана на введении энтропии в вычислительный эксперимент. Error: Reference source not found (численность популяции жертвError: Reference source not found)и Error: Reference source not found (численность популяции хищников (вError: Reference source not found) нами интерпретированы как нормально распределенные непрерывные случайные величины.

Эксперимент показал, что паттерны фазовых портретов классической и модифицированной динамических систем «Хищник-Жертва» принципиально не отличаются. Классические сценарии сохраняются, что иллюстрирует целесообразность использования критерия простоты.

Дальнейшие исследования предполагают проведение вычислительного эксперимента при отказе: во-первых, от Error: Reference source not found и варьирование различных значений для случайных величин Error: Reference source not found Во-вторых, использование логнормального закона, учитывающего мультипликативный характер факторов, влияющих на численность популяции хищников и жертв. В-третьих, интерпретацию полученных результатов в социально-экономических терминах.

Литература:

Милованов В. П. ЎЄНеравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация. ЁC М.: Эдиториал УРСС, 2001.- 264 с.

Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. ЎЄЧто такое математическая биофизика (Кинетические модели в биофизике). М.: Просвещение, 1971.- 136 с.

Гленсдорф П., Пригожин И. ЎЄТермодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций, М.: Мир,1973.- 280 с.

Николис Г., Пригожин И. ЎЄ Самоорганизация в неравновесных системах: От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации, М.: Мир,1979.- 512 с.

Климонтович Ю.Л. ЎЄПроблемы статистической теории открытых систем: критерии относительной степени упорядоченности состояний в процессах самоорганизации// Успехи физических наук. 1989. Т. 158, вып. 1. - 59-92 с.

Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. ЎЄМатематическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975.- 344 с.

Марков М. А. О единстве и многообразии форм материи  в физической картине мира// Вопросы философии. 1980, № 11. - 60 с.

Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. ЎЄ Математическая биофизика. М.: Наука, 1984.- 304 с.

Щипунова А.(ПМИ-Д-3, 2011 г)

Примеры информационно-энтропийного анализа сложных событий

Работа посвящена оценке некоторых сложных случайных событий, основанной на понятии энтропии.

В рассмотренных задачах используются элементы вероятностной теории информации. В рамках этой теории за меру количества информации принята величина

где Error: Reference source not found - неопределенность исхода случайного эксперимента до опыта;

Error: Reference source not found- неопределенность исхода опыта после опыта.

В качестве меры неопределенности исхода опыта б с конечным множеством случайных исходов n используется энтропия этого опыта:

Она представляет собой математическое ожидание величины Error: Reference source not found, где Error: Reference source not found- вероятность осуществления в опыте Error: Reference source not found события Error: Reference source not found и является величиной, xарактеризующей определенность наступления этого события[1,с.20].

Если в результате опыта б могут наступить только два события, соответственно с вероятностями Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, то энтропия

является функцией от одной переменной Error: Reference source not found

Неопределенность исхода сложного опыта Error: Reference source not found с множеством всевозможных совместных исходовError: Reference source not found при независимости этих исходов, равна сумме неопределенностей исходов опытов Error: Reference source not found.

Это так называемое правило сложения энтропий для независимых опытов Error: Reference source not found

Error: Reference source not found, (1)

где

Здесь неопределенность сложного опыта Error: Reference source not found больше неопределенности каждого из опытов Error: Reference source not found, так как осуществляются сразу оба эти опыта, каждый из которых может меть разные исходы в зависимости от случая.

Общее правило сложения энтропий для зависимых опытов Error: Reference source not found имеет вид:

Error: Reference source not found, (2)

Средняя условная энтропия опыта Error: Reference source not found при условии осуществления опыта Error: Reference source not found

где

Если опытыError: Reference source not found являются независимыми, то



В этом случае формула (2) переходит в формулу (1).

Существенно, что во всех случаях условная энтропия Error: Reference source not found заключается между нулём и безусловной энтропией Error: Reference source not found опыта Error: Reference source not found

Таким образом, случаи, когда исход опыта Error: Reference source not found полностью определяется исходом Error: Reference source not found и когда опыты Error: Reference source not found независимы, являются в определенном смысле крайними [2, с.67].

Количество информации, получаемое в событиях опыта Error: Reference source not found об исходах опыта Error: Reference source not found:

и равно количеству информации, которое заключено в событиях опыта Error: Reference source not found об исходах опытаError: Reference source not found:

Тогда информацию относительноError: Reference source not found Error: Reference source not found можно записать

В рассмотренных задачах используются также формула полной вероятности.

Пусть пространство элементарных событий §Щ опыта Error: Reference source not found представлено в виде,

§Щ= A1 + A2+ЎK +An,

где разбиение Error: Reference source not found множества §Щ является полной группой несовместных событий Error: Reference source not found, называемых гипотезами

(Error: Reference source not found

и пусть априорные вероятности гипотез Error: Reference source not found(Error: Reference source not found)>0.

Рассмотрим такое случайное событие B , которое может наступить в этом опыте лишь при появлении одной из гипотез Error: Reference source not found. Тогда имеет место формула полной вероятности

где


Error: Reference source not found- условная вероятность случайного события B при условии осуществления гипотезы Error: Reference source not found, Error: Reference source not found.

Задача №1

Предположим, что в некотором пункте за весенне-летний сезон примерно в одном из пяти случаев бывает дождь, в остальных случаях ясная погода. Допустим, что накануне дается прогноз погоды. Естественно, этот прогноз может быть ошибочным. Предположим, что прогноз дождя бывает ошибочным приблизительно в половине всех случаев (правильно предсказать маловероятное событие ЁC дождь, - весьма трудно), а прогноз ясной погоды действует точнее и оказывается ошибочным лишь в одном случае из десяти. Каково количество информации, которое в среднем несет в себе прогноз погоды?

Насколько больше информации несет в себе безошибочный прогноз?

Решение

Пусть опыт в состоит в определении погоды в некотором пункте в период весенне-летнего сезона. Согласно тому, как понимается здесь слово погода, имеем два исхода опыта: В1- дождь, В2 ЁC ясная погода. Матрица вероятностей этого опыта в имеет вид:



пусть теперь опыт б ЁC прогноз погоды на этот период. Он имеет также два исхода: А1- прогноз дождя, А2 ЁC прогноз ясной погоды. По условию этой задачи этот опыт характеризуется следующими условными вероятностями:

Error: Reference source not found (В2) = Error: Reference source not found и Error: Reference source not found (В1) = Error: Reference source not found

матрица вероятностей опыта имеет вид:

Пока Error: Reference source not found неизвестны.

Воспользуемся формулой полной вероятности:

Error: Reference source not found

Используя известные по условию вероятности, получаем:

Отсюда находим, что

Количество информации, которое в среднем несет в себе прогноз погоды, определяется по формуле:

При n=2, m=2

Находим:

Согласно формуле (1):

Теперь можно ответить на второй вопрос. В случае безошибочного прогноза следует положить Error: Reference source not found Error: Reference source not found

и тогда


Действительно, информация Error: Reference source not foundравна энтропииError: Reference source not found опыта Error: Reference source not found в том и только в том случае, когда условная энтропия Error: Reference source not found, то есть когда резерв опыта полностью определен исходом вспомогательного опыта Error: Reference source not found

Таким образом

Вывод: безошибочный прогноз несет на Error: Reference source not found бит информации больше прогноза, который может оказаться ошибочным.

Задача№2


Пусть из многолетних наблюдений за погодой известно, что для определения пункта вероятность того, что 15 июня будет идти дождь, равна 0.4, а вероятность того, что в указанный день дождя не будет, равна 0.6. Пусть далее для этого же пункта вероятность того, что 15 ноября будет идти дождь, равна 0.65, вероятность того, что 15 ноября не будет осадков, равна 0.2.

Если из всех характеристик погоды интересоваться лишь вопросом о наличии и о характере осадков, то в какой из двух перечисленных дней погоду в рассматриваемом пункте считать более неопределенной?

Решение

Обозначим черезError: Reference source not found опыты, состоящие в наблюдении погоды в рассматриваемом пункте соответственно 15 июня и 15 ноября.



Пусть погода характеризуется наличием и видом атмосферных осадков (дождь, снег). Тогда соответствующие матрицы вероятностей каждого из этих опытов имеют вид:

где Error: Reference source not found - исход опыта Error: Reference source not found, состоящий в том, что 15 июня идет дождь, а Error: Reference source not found- исход опыта, состоящий в том, что в этот день нет дождя.

где Error: Reference source not found- исход опыта Error: Reference source not found состоящий в том, что 15 ноября идет дождь,Error: Reference source not found- исход опыта Error: Reference source not found состоящий в том, что в этот день идет снег и Error: Reference source not found- исход опыта Error: Reference source not found состоящий в том, что 15 ноября нет осадков.

Энтропия опыта Error: Reference source not found, состоящая в выяснении того, какая погода будет иметь место 15 июня в определенном пункте рана:

Энтропия опыта Error: Reference source not found, состоящая в выяснении того, какая погода будет иметь место 15 ноября в определенном пункте рана:

Таким образом Error: Reference source not found


<< предыдущая страница   следующая страница >>



Автомобиль благотворно повлиял на состояние нравов: конокрадство почти прекратилось.
ещё >>