Кафедра математики и информатики - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Отчет о проведении предметной недели математики и информатики в мкоу... 2 321.19kb.
Воспитание патриотизма на уроках математики и информатики 1 29.53kb.
Методическая тема моучителей математики, информатики и физики «миф»на... 1 24.17kb.
Анализ работы нмо методического объединения учителей математики,... 4 438.48kb.
Кафедра управления и информатики (УиИ) 1 181.12kb.
Кафедра теоретической информатики и дискретной математики 1 45.12kb.
Фундаментальной информатики 6 1086.68kb.
Анализ работы нмо учителей математики, физики, химии, биологии, информатики... 4 621.39kb.
Кафедра: информатики и методики преподавания математики фио разработчиков... 1 46.98kb.
Анализ работы мо учителей математики и информатики за 2012-2013 учебный год 4 529.85kb.
Рабочая программа учебнойдисциплины по выбору магистранта двм-04... 2 401.86kb.
Биография краснера Наума Яковлевича 3 468.05kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Кафедра математики и информатики - страница №2/10

But everyday, the song is a little bit dierent.”

”Движение транспорта напоминает музыку”,-

Движение возникает подобно песне. Это также песня.

Но каждый день эта песня немного другая”.

Chris L. Barrett ЁC

участник проекта моделирования транспортных потоков в Национальной исследовательской лаборатории Лос-Аламоса-Los Alamos National Lab (LANL)

Современное общество нуждается в постоянном увеличении объема транспортного сообщения, повышении его надежности, безопасности и качества. Это требует увеличения затрат на улучшение инфраструктуры транспортной сети, превращения ее в гибкую, высокоуправляемую логистическую систему. При этом риск инвестиций значительно возрастает, если не учитывать закономерности развития транспортной сети, распределение загрузки ее участков. Игнорирование этих закономерностей приводит к частому образованию транспортных пробок, перегрузке/недогрузке отдельных линий и узлов сети, повышению уровня аварийности, экологическому ущербу.

Для поиска эффективных стратегий управления транспортными потоками в мегаполисе, оптимальных решений по проектированию улично-дорожной сети и организации дорожного движения необходимо учитывать широкий спектр характеристик транспортного потока, закономерности влияния внешних и внутренних факторов на динамические характеристики смешанного транспортного потока.

Теория транспортных потоков развивалась исследователями различных областей знаний ЁC физиков, математиков, специалистов по исследованию операций, транспортников, экономистов.

Накоплен большой опыт исследования процессов движения. Однако, общий уровень исследований и их практического использования не достаточен в силу следующих факторов:

• транспортный поток нестабилен и многообразен, получение объективной информации о нем является наиболее сложным и ресурсоемким элементом системы управления;

• критерии качества управления дорожным движением противоречивы: необходимо обеспечивать бесперебойность движения одновременно снижая ущерб от движения, накладывая ограничения на скорость и направления движения;

• дорожные условия, при всей стабильности, имеют непредсказуемые как в части отклонения погодно-климатических параметров так и, собственно, дороги;

• исполнение решений по управлению дорожным движением всегда неточно при реализации и, учитывая природу процесса дорожного движения, приводит к непредвиденным эффектам [1].

Таким образом, трудности формализации процесса движения транспортного потока стали серьезной причиной отставания результатов научных исследований от требований практики.

В моделировании дорожного движения исторически сложилось два основных подхода ЁC детерминистический и вероятностный (стохастический).

В основе детермининированных моделей лежит функциональная зависимость между отдельными показателями, например, скоростью и дистанцией между автомобилями в потоке. В стохастических моделях транспортный поток рассматривается как вероятностный процесс.

Все модели транспортных потоков можно разбить на три класса [2 ]: модели-аналоги, модели следования за лидером и вероятностные модели.

В моделях-аналогах движение транспортного средства уподобляется какому либо физическому потоку (гидро- и газодинамические модели). Этот класс моделей принято называть макроскопическими.

В моделях следования за лидером существенно предположение о наличии связи между перемещением ведомого и головного автомобиля. По мере развития теории в моделях этой группы учитывалось время реакции водителей, исследовалось движение на многополосных дорогах, изучалась устойчивость движения.

Этот класс моделей называют микроскопическими.

В вероятностных моделях транспортный поток рассматривается как результат взаимодействия транспортных средств на элементах транспортной сети. В связи с жестким характером ограничений сети и массовым характером движения в транспортном потоке складываются отчетливые закономерности формирования очередей, интервалов, загрузок по полосам дороги и т. п. Эти закономерности носят существенно стохастический характер.

Рассмотрим развитие базовой математической модели дорожного движения, полученной на основе уравнения материального баланса [3]. Используем разработанный И. Пригожиным в кинетической теории газов метод описания коллективного поведения объектов макроскопической природы ЁC автомобилей на автострадах [4].

Градиентная катастрофа как Модель автомобильной «пробки»

Предположим, что автомобили движутся слева направо по скоростной автостраде, у которой нет боковых въездов и съездов.

Направим ось µ § вдоль дороги. Обозначим через µ § плотность автомобилей в точке х в момент времени µ §, то есть число авто, находящихся на расстоянии х от начала автострады в момент времени µ §, а w(x,t) поток автомобилей в точке х, то есть число авто, проезжающих в единицу времени через поперечное сечение дороги в точке х.

Покажем, что они удовлетворяют уравнению:

µ § (1)

Составим уравнение материального баланса, выражающее закон сохранения числа автомобилей для участка дороги µ §.



С одной стороны, изменение числа автомобилей за единицу времени на µ § равно

µ §


с другой стороны, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим

µ §


Приравняем эти два интеграла

µ §


Поскольку промежуток µ § произволен, подынтегральные функции равны, то есть приходим к уравнению (1).

µ §


В задачах дорожного движения пользуются экспериментально найденной зависимостью потока автомобилей от плотности: µ § В этом случае по правилу дифференцирования сложной функции имеем

µ §.


Значит (1) можно переписать следующим образом:

µ §


Если зависимость потока от плотности квадратичная, то есть µ §, то уравнение (1) принимает вид:

µ § (2)


Дифференциальное уравнение характеристик имеет вид

µ § (3)


Следовательно, в левой части уравнения (2) дифференцирование производится вдоль характеристик, то есть уравнение (2) можно записать в виде µ § Следовательно, вдоль характеристики u(x,t)=const. Из уравнения характеристик (3) следует, что характеристики ЁC это прямые.

Рис.0


Рассмотрим задачу Коши для уравнения (2) с начальным значением µ § Если µ § имеет вид указанный на (рис. 1), то на этом участке (0, x1) характеристики будут расходящимися (угловые коэффициенты их растут с ростом x), а на участке (x1, x2) они будут сходящимися (их угловые коэффициенты убывают с ростом x) и, следовательно, пересекутся (рис. 2). Но так как каждая характеристика несет свое постоянное значение функции u(x,t), то в точке пересечения характеристик (x0, t0) мы будем иметь два значения.

Таким образом, в момент t0 производная µ § обращается в µ § - наступает градиентная катастрофа или так называемая автомобильная «пробка» (в качестве t0 надо брать наименьшее значение t, при котором произойдет пересечение характеристик).

Кинетическая модель движения транспорта на автострадах

Каждый автомобиль на автостраде мы будем описывать его пространственной координатой x, то есть тем местом на автостраде, где он находится в данный момент времени, и скоростью v, с которой он движется в этот момент времени.

Если автомобиль в момент времени t находится на расстоянии x от начала дороги и имеет скорость v, то мы поставим ему в соответствие точку координатной плоскости с координатами (x, v). Таким образом, каждое возможное состояние автомобиля на автостраде изобразится некоторой точкой на плоскости, а движение автомобиля на автостраде ЁC движением точки в плоскости.

Множество тех точек плоскости, координаты которых могут соответствовать какому-нибудь автомобилю на автостраде, называется фазовым пространством нашей системы.

Если на дороге находится N автомобилей, то полная информация состояния движения на дороге будет даваться указанием положения N точек в фазовом пространстве нашей системы. Координаты этих точек ЁC набор 2N чисел, в кинетической теории газов удобно рассматривать эти 2N чисел как набор координат одной точки в пространстве 2N измерений.

Рассмотрим участок дороги (µ §) и предположим, что на этом участке в момент времени t есть µ § автомобилей, скорости которых заключены в интервале (µ §).

Статистическая обработка результатов наблюдений движения на автострадах показывает, что если µ § и µ § не слишком малы (µ §2-3 км, µ §1-2 км/ч) и движение достаточно разрежено (5-6 автомобилей на 1 км), то можно ввести такую функцию µ §, что с приемлемой точностью выполнено равенство

µ §


Функция µ § называется функцией распределения числа частиц в фазовом пространстве.

В рассматриваемом нами сейчас случае частица ЁC это автомобиль, а точка фазового пространства ЁC это координата и скорость автомобиля, функция µ § - это функция распределения числа автомобилей по координатам и скоростям.

Понятие функции распределения является фундаментальным понятием кинетической теории. Оно было введено Дж. К. Максвеллом при рассмотрении задач кинетической теории газов.

Так вот, согласно вероятностной интерпретации функции распределения график функции µ § - это та кривая, в окрестности которой после соответствующей нормировки будут концентрироваться точки на графике µ § при увеличении числа наблюдений.

Заметим, что, вводя «гладкую» (то есть непрерывно зависящую от своих аргументов) функцию распределения, мы пытаемся описать свойства дискретного множества частиц с помощью некоторого континуума. Такая двойственность описания характерна для кинетической теории. Цель теории состоит в том, чтобы вычислить функцию распределения. Для этого, следуя И. Пригожину, получим уравнение для функции распределения.

Предположим сначала, что все автомобили движутся с постоянной скоростью и на дороге не появляются новые автомобили.

Число автомобилей, которые в момент времени t находятся на участке дороги (µ §) и имеют скорости в интервале (µ §) по определению функции µ §, равно

µ §


Через время µ § все эти (и только эти) автомобили будут на участке дороги µ §, следовательно,

µ §


и, разделив на µ §, получаем,

µ §


поэтому в том случае, если все автомобили движутся с постоянной скоростью, функция µ § удовлетворяет уравнению

µ § (4)


В том случае, если автомобили меняют свою скорость в процессе движения, то число µ § изменится за счет того, что в интервал скоростей (µ §) одни автомобили попадут, а другие из этого интервала скоростей уйдут, поэтому уравнение (4) заменится на следующее:

µ § (5)


где символом µ § мы обозначим слагаемое, обусловленное изменением функции f за счет изменения скоростей автомобилей.

Предположим, что изменение скорости движения автомобилей происходит из-за того, что каждый водитель выравнивает скорость движения своего автомобиля так, чтобы ехать с той скоростью, которую он считает для себя оптимальной.

Вычислим µ §. Для этого предположим, что водитель набирает желаемую скорость по закону

µ §,


где µ § - скорость автомобиля в момент времени t=0, когда водитель начал набирать скорость, v ЁC желаемая водителем скорость, v(t) ЁC скорость в момент времени t, T ЁC некоторое время релаксации.

(Заметим, что этот закон был проверен экспериментально, и оказалось, что он удовлетворительно описывает экспериментальные данные.)

Далее мы предположим, что число µ § водителей, которые хотели бы ехать со скоростью в интервале (µ §), есть µ §.

В подходе И. Пригожина время релаксации T, функция µ § являются параметрами математической модели, их нужно знать заранее. Им предложено следующее выражение для

µ § (6)

Подставляя выражение (6) в уравнение (5), мы получим модельное уравнение для функции f:



µ § (7)

Итак, приведем решение уравнения с частными производными (7), переписав его в виде

µ § (8)

Введем новые переменные



µ § (9)

Тогда


µ § (10)

и

µ § (11)



Из (9) следует µ §.

Учитывая (10) и (11), получим µ §, или

µ §.

При а=1 имеем µ §, то есть за координатную линию y берется характеристика µ § дифференциального оператора



µ §

и далее,

µ §.

Решим однородное уравнение с частными производными µ §.



Получим µ §, С=const.

Полагаем µ §, тогда µ §,

µ §,

и далее


µ §,

отсюда


µ §

Интегрируя последнее уравнение ,получаем

µ §

µ §


µ §

µ §


И наконец,

µ §


Дальнейшее развитие модели будет связано с учетом того, что, догоняя едущий впереди автомобиль, водитель обгоняет его с вероятностью p, а с вероятностью 1-p он «пристраивается» за едущим впереди автомобилем.

Литература:

1. Отчет о научно-исследовательской работе „Разработка концепции оперативного управления движением на улично-дорожной сети г. Москвы“, договор N 10-Тр/02 от 29 июля 2002 г.

2. Брайловский Н.О., Грановский Б.И. Моделирование транспортных систем .- М.: Транспорт, 1978 - 125 с.

3.Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. -М.: Мир,1985.-383с.

4.АрсенинВ.Я.Методы математической физики и специальные функции.-М.:Наука,1974.-429с.

Гайдина О.(ПМИ-Д-4,2011г)

Математическая модель перекрёстка

Одним из приоритетных направлений финансирования Российской экономики является создание и развитие транспортной инфраструктуры, поскольку общество нуждается в увеличении объёма транспортного сообщения при кардинальном повышении его безопасности, надёжности и качества. Превращение транспортной сети в гибкую, высокоуправляемую логистическую систему предполагает поиск эффективных стратегий развития и управления транспортными потоками, её соответствия общепринятым критериям качества: минимизации расходов топлива, предупреждению образования и распространения транспортных заторов и, как следствие, уменьшению загрязнения окружающей среды и чрезмерного уровня шумов.

Для улучшения организации городского дорожного движения ,увязки градостроительного планирования со стратегией развития общественного и индивидуального видов транспорта недостаточно опираться на экспертные оценки. Такие особенности транспортной системы как

• компенсация увеличения пропускной способности при развитии сети увеличением спроса и перераспределением его в новых условиях;

• непредсказуемость поведения каждого водителя ЁC выбор маршрута, манера вождения и проч.;

• влияние случайных факторов (ДТП, погода и проч.) и флуктуаций, связанных с сезонами, выходными и праздничными днями и т.п.,

требуют разработки математических моделей , численных экспериментов и прогнозных сценариев.

В требованиях[1] к программным комплексам моделирования работы транспортной системы Москвы, проведенных в 2000 ЁC 2001 г.г. ЦИТИ , были поставлены решаемые с помощью моделирования задачи-вопросы и определено содержание требований, позволяющим решать эти задачи.

А именно:

1. Задачи в масштабе городской агломерации:

• как изменится работа транспортной системы при введении новых элементов: линий метро, радиальных или кольцевых автомагистралей;

• каких изменений в транспортной системе города может потребовать строительство нового жилого района или расположение емкого центра притяжения посетителей;

• какого перераспределения потоков транспорта и пассажиров следует ожидать в случае временного закрытия или ликвидации какого-либо элемента транспортной системы;

• как может повлиять на работу системы введение экономических санкций (плата за проезд по магистрали, за въезд в зону центра, введение зонного тарифа в метро и т.п.);

• какой эффект может дать внедрение автоматизированных систем управления уличным движением.

2. Задачи локального порядка: какой эффект даст перепланировка перекрестка, группы перекрестков, расширение проезжей части улицы, изменения в организации движения на пересечениях, оптимизация светофорного регулирования, изменение условий пересадки пассажиров и т.п.

3. Задачи анализа работы улично-дорожной сети, пассажирского (уличного и внеуличного) и грузового транспорта.

Моделирование транспортной ситуации может проводиться на любой расчетный срок ЁC от оперативных задач сегодняшнего дня до долгосрочной (20-30 лет) перспективы. Условно, задачи прогнозирования можно разделить на:

• долгосрочные (отдаленная перспектива в 10 и более лет);

• среднесрочные (задачи первой очереди возможного развития ЁC около 5 лет);

• краткосрочные (анализ последствий намечаемых мероприятий ближайших дней, недель, месяцев);

• оперативные (в реальном масштабе времени).

Этапы развития математического моделирования дорожного движения

УчёныйЗадача Инновация в деятельности моделированияДублер Г.Д.

1912 г.анализ пропускной способности дорогзаложены основы математического моделирования закономерностей дорожного движенияЛайтхилл М.

(Ligthill M.),

Уизем Ф.


(Whitham F.)

1955 г.выявление механизма появления автодорожных заторных участковсоздана первая макроскопическая модель движения транспортных потоков с позиций механики сплошных средГазис Д.

(Gasis D.C.)

1959г.изучение закономерностей перемещений в системе

головной-ведомый автомобилисоздана первая микроскопическая модель следования за лидеромПригожин И.

(Prigogine I.)

1961г.анализ распределения автомобилей по координатам и скоростям в потоке применены методы кинетической теории газов к описанию коллективного поведения объектов макроскопической природы: автомобилей на дорогахНагель К.

(Nagel K.),

Шрекенберг М.

(Schreckenberg M.)

1992 г.

Проект LANLвыявление закономерностей скоростного движения в отсутствие столкновений и с учётом случайностей в поведении водителейиспользована концепция клеточных автоматов фон Неймана к моделированию транспортных потоковКюне Р.



(K*hne R)

1993 г.определение

максимальной плотности транспортного потока на аттрактореприменена теория детерминированного хаоса к моделированию транспортных потоковChris L. Barrett

1999г.


Проект LANL/Los Alamos National Labпостроение дискретной модели загрузки сети городских дорог и автодорожных заторовприменены нейронные сети к моделированию транспортных потоков в режиме «stop-and-go»

В [2] авторами приведены две динамические модели дорожного движения : стохастическая и детерминированная .Первая- кинетическая модель транспортного потока , и вторая- градиентная катастрофа как модель автомобильного затора. В данной работе на основе концепции клеточных автоматов построена модель дорожного движения в виде перекрёстка, которая является и динамической ,и динамичной . Здесь- динамическая в противоположность -статической, -динамичная[ от гр. dinamikos ]-способная к движению, развитию , видоизменению.

Впервые идея клеточных автоматов была предложена в 1940-х годах

Конрадом Цузе, размышляющим о «вычисляющих пространствах» как о дискретных моделях физических систем,

Станисловом Уламом ЁC вслед за созданием совместно с Николосом Метрополисом метода Монте-Карло,

Джоном фон Нейманом воплощена практически с целью воспроизведения поведения сложных пространственно-протяжённых систем.

Современное состояние клеточных автоматов изложено в антологиях Тоффоли Т.,Моргулиса Н. и Вольфрама С.[3,4].

Клеточные автоматы доказали свои моделирующие способности не только в области формирования биологических конфигураций, но и множества разнообразных масштабно-инвариантных явлений : магнитных доменов, гидродинамических потоков и турбулентности ,землетрясений, экономических взаимодействий [5 ] . Применение концепции клеточных автоматов к моделированию дорожного движения впервые предложено Кремером М. и Людвигом Дж. [6 ] и активно разработано Нагелем К. и Шрекенбергом М. [7].

В данной работе представлена модель перекрёстка, которую отличают

• возможность автоматического и ручного регулирования светофора;

• простота в пользовании;

• быстрая и наглядная возможность просмотра результатов.

На основе этих особенностей разработано формальное описание содержательной модели так называемое описание экземпляра модели. Затем на основе математической модели была разработана и реализована программа на языке программирования Delphi, иллюстрирующая динамику процессов, происходящих на автомагистрали. Эта программа имеет простой и понятный интерфейс и может применяться для получения количественных оценок характеристик дорожного движения.

В качестве модели дорожного полотна используется сетка из пикселей разных цветов. Эта сетка по многим свойствам схожа с клеточным автоматом. Динамика движения визуализируется с помощью окраски пикселей. При этом в определенные моменты времени каждая из клеток (пикселей) может находиться в одном из состояний, которые входят в определение конкретной сетки. Будем считать, что в заданный момент времени автомобиль может находиться в одной клетке, из которой происходит прорисовка всего автомобиля. Горизонтальный и вертикальный масштабы дорожного полотна могут не совпадать.

В рассматриваемой модели дорожного полотна автомобили будут двигаться слева направо, справа налево, сверху вниз и снизу вверх.

В качестве максимального количества машин будет использоваться число

100. Движение осуществляется в каждую сторону по две полосы. Регулировка перекрестка происходит по светофору. В центре модели ЁC сам перекресток ЁC так называемый «центральный квадрат», в котором чаще всего происходят аварии из-за неправильной регулировки светофора.

В предлагаемой модели множество допустимых опций для каждого автомобиля в конкретный момент времени представлено следующими двенадцатью опциями/клетками:

1234567891011121 ЁC координата х;

2 ЁC текущая скорость машины;

3 ЁC состояние движения автомобиля, таких состояний 6:

0 ЁC стоит;

1 ЁC движется прямо;

2, 3, 4, 5 ЁC перестроение по заданному принципу

4 ЁC полоса движения (1 или 2);

5 ЁC координата y;

6 ЁC максимальная скорость;

10 ЁC показана ли машина на экране (0 ЁC не показана, 1 ЁC показана)

Две дополнительные ячейки необходимы для дальнейших расчетов.

Наличие в модели данных опций дают возможность изучать такие вопросы, как возникновение пробки, зависимость средней скорости от состояний светофора и многое другое.

Если машина подъезжает к точке отсчета, то точка отсчета становится за машиной. На рисунке 1,2,3 ЁC точки отсчета на начальном уровне, 4 ЁC точка отсчета за машиной.

Далее описываются следующие процедуры:

переключения светофора,

движения машин справа налево,

желтого света,

определяемые соответствующими таймерами:

Procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject)

Procedure TForm1.CarRLTimer (Sender: TObject);

Procedure TForm1.YELLOWTimer (Sender: TObject).

В [9] сформулирована гипотеза о том, что в результате последовательного применения одной и той же функции к точке из некоторого сложного пространства, возможно возникновение одного из трех сценариев:

1. Последовательность точек сходится к некоторому аттрактору. На практике это означает, что, начиная с некоторого шага, картина движения автомобилей по автомагистрали практически перестанет изменяться. Например, все машины встанут в одной большой пробке, или же на автомагистрали совсем не останется машин.

2. Последовательность точек начинает циклически повторяться: что на сотом, что на тысячном, что на десятитысячном шаге значения основных функционалов, естественным образом возникающих в данной модели, не будут существенно различаться. Такая ситуация бывает, например, при равномерном движении среднего числа автомобилей по дороге.

3. Последовательность точек хаотически гуляет по аттрактору иррациональной конфигурации.

Данная модель имеет ряд важных следствий. Первое следствие заключается в том что, запустив автомат два раза в результате моделирования после t шагов для одной и той же случайной начальной конфигурации, скорее всего, будет получено разные результаты движения автомобилей по дорожному полотну.


<< предыдущая страница   следующая страница >>



Дети редко перевирают наши слова. Они удивительно точно повторяют все то, чего нам не следовало говорить.
ещё >>