Кафедра математики и информатики - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Отчет о проведении предметной недели математики и информатики в мкоу... 2 321.19kb.
Воспитание патриотизма на уроках математики и информатики 1 29.53kb.
Методическая тема моучителей математики, информатики и физики «миф»на... 1 24.17kb.
Анализ работы нмо методического объединения учителей математики,... 4 438.48kb.
Кафедра управления и информатики (УиИ) 1 181.12kb.
Кафедра теоретической информатики и дискретной математики 1 45.12kb.
Фундаментальной информатики 6 1086.68kb.
Анализ работы нмо учителей математики, физики, химии, биологии, информатики... 4 621.39kb.
Кафедра: информатики и методики преподавания математики фио разработчиков... 1 46.98kb.
Анализ работы мо учителей математики и информатики за 2012-2013 учебный год 4 529.85kb.
Рабочая программа учебнойдисциплины по выбору магистранта двм-04... 2 401.86kb.
Биография краснера Наума Яковлевича 3 468.05kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Кафедра математики и информатики - страница №10/10

Поэтому погоду, характеризуемую как наличием, как и видом осадков атмосферы, в рассматриваемом пункте ЁC 15 ноября, следует считать более неопределенной, чем 15 июня.

Если теперь интересоваться только тем, будут ли в рассматриваемый день осадки или нет, то исходы Error: Reference source not foundопыта следует объединить. При этом, вместо опыта Error: Reference source not found будем иметь опыт с матрицей вероятностей

где Error: Reference source not found- исход опытаError: Reference source not found состоящий в том, что 15 ноября идет дождь или снег, а исходError: Reference source not found- состоящий в отсутствие осадков на этот день.

Энтропия опыта Error: Reference source not found рана:

При таком понимании погоды, следует считать, что 15 ноября погода является менее неопределенной, чем 15 июня.

Вывод: соображения, развитые в решении задачи представляют интерес для оценки качества предсказывания погоды по тому или иному методу (аналогично обстоят дела и в любых других случаях). В самом деле, при оценке качества прогноза нельзя учитывать лишь его точность (то есть процент случаев, в которых прогноз оправдывается), иначе нам пришлось бы высоко оценивать любой прогноз, имеющий большие шансы оказаться правильным ЁC в том числе, например, предсказания отсутствия снега в Москве 1 июня не представляющий, разумеется, никакой ценности.

При сравнении качества прогноза следует учитывать не только их точность, но и трудность удачного прогноза, которую можно характеризовать степенью неопределенности соответствующего опыта.

Задача№3


Известно, что при прочих равных условиях, позднее вскрытие ото льда некоторого водоема (в мае) наблюдается при вторжении холода в предшествующий период времени (в апреле). Причем эти вторжения холода (когда Error: Reference source not found) бывают в начале, середине и конце апреля. При вторжении холода в 1 декаде апреля вероятность позднего вскрытия равна 0.25, во 2 декаде ЁC0.35 и в 3-ей ЁC 0.4. Вероятность того, что вторжение холода будет в 1 декаде апреля равна 0.6, во 2-ой ЁC 0.3 и в 3-ей ЁC 0.1 (при допущении, что позднее вскрытие зависит только от отрицательной температуры воздуха).

Чему равна энтропия наблюдения вскрытия ледяного покрова водоема ото льда, содержащаяся в сообщениях о вторжении холода в одной из декад апреля?

Решение

Обозначим через Error: Reference source not found опыт, состоящий в наблюдении вскрытия ледяного покрова водоема. Считаем, что опыт имеет два исхода:



Error: Reference source not found ЁC позднее (в мае) вскрытие водоема ото льда в результате вторжения холода в одной из декад апреля.
Error: Reference source not found ЁC вскрытие водоема ото льда в апреле месяце в условиях отсутствия апрельских вторжений холода.

Соответствующая матрица вероятностей опыта имеет вид:

Error: Reference source not found

где Error: Reference source not found

Пока Error: Reference source not found неизвестны. Они будут найдены позже из формулы полной вероятности.

Пусть теперь опыт, состоящий в наблюдении вторжения холода в апреле месяце, имеет три исхода:

Error: Reference source not found ЁC вторжение холода в 1-ой декаде апреля

Error: Reference source not found ЁC вторжение холода в 2-ой декаде апреля

Error: Reference source not found ЁC вторжение холода в 3-ей декаде апреля

Соответствующая матрица вероятностей опыта

так по условию задачи

По условию задачи опыт также характеризуется следующими условными вероятностями:

Error: Reference source not found - вероятность позднего вскрытия водоема ото льда при вторжении холода в 1-ой декаде апреля;

Error: Reference source not found - вероятность позднего вскрытия водоема ото льда при вторжении холода в 2-ой декаде апреля;

Error: Reference source not found - вероятность позднего вскрытия водоема ото льда при вторжении холода в 3-ей декаде апреля;

Напомним, что

Из формулы полной вероятности

Таким образом, матрица вероятностей опыта Error: Reference source not found принимает вид:

Энтропия опыта состоящего в наблюдении состояния ледяного покрова водоема, равна:

Информация об опыте Error: Reference source not found, содержащаяся в опытеError: Reference source not found, равна:

Error: Reference source not found где,

Error: Reference source not found ЁC

средняя условная энтропия опыта Error: Reference source not found при условии осуществления опыта Error: Reference source not found

Найдем:


Таким образом, информация о вскрытии ото льда водоема (об опытеError: Reference source not found ) содержащаяся в наблюдении вторжения холода в апреле месяце (в опыте) равна:

Вывод: сообщение о вторжении холода в апреле месяце уменьшает степень неопределенности прогноза на 0.0061 bt, значит является полезным. Однако, сообщение, связанное с наблюдением вторжения холода только в одной конкретной декаде апреля, например, в 3-ей, увеличивает степень неопределенности на 0.477 ЁC 0.474 bt, а поэтому является, естественно, бесполезным.

Такое пояснение является естественным следствием случайного характера исходов опыта Error: Reference source not found.

Задача№4


Изучаются случаи выпадения кислотных дождей в весенний период в регионе, на территории загрязнения. Известно, что если перенос воздушных масс весной западный, то вероятность выпадения «грязного» дождя 0.03, при восточном переносе ЁC 0.25, при северном ЁC 0.6, а при комбинированных типах ЁC 0.12.

Известно также, что вероятность западного переноса воздушных масс весной на этой территории 0.65, вероятность восточного переноса ЁC 0.11, вероятность северного переноса ЁC 0.10 и комбинированных типов ЁC 0.14.

Найти полную взаимную информацию, содержащуюся в наблюдениях за направлением переноса воздушных масс весной на данной территории, о выпадении весенних «кислотных» дождей в регионе.

Решение


Обозначим через Error: Reference source not found опыт, состоящий в наблюдении различных типов переноса воздушных масс весной на территории региона.

Возможные исходы этого опыта:

Error: Reference source not found ЁC западный перенос воздушных масс;

Error: Reference source not found ЁC восточный перенос воздушных масс;

Error: Reference source not found ЁC северный перенос воздушных масс;

Error: Reference source not found ЁC комбинированный перенос воздушных масс;

Вероятности этих исходов по условию равны:

Матрица вероятностей опыта принимает вид:

Обозначим теперь через Error: Reference source not found опыт, состоящий в наблюдении весенних «кислотных» дождей, и имеющий два исхода:

Error: Reference source not found ЁCвыпадение «кислотных» дождей;

Error: Reference source not found ЁCих отсутствие;

Матрица вероятностей опыта Error: Reference source not found имеет вид:

Error: Reference source not found

где Error: Reference source not found

Пока Error: Reference source not found неизвестны.

По условию задачи опыт Error: Reference source not foundхарактеризуется следующими условными вероятностями:

По формуле полной вероятности найдем вероятность выпадения «кислотных» дождей:

Тогда вероятность не выпадения «кислотных» дождей равна:

Матрица вероятностей пример вид:

Полная взаимная информация, содержащаяся в обеих системах наблюдения за направлением переноса воздушных масс весной на территории региона и за выпадением «кислотных» дождей на этой территории, определяется по формуле, которая в данном случае примет вид:

Вероятность Error: Reference source not found, где Error: Reference source not found , уже найдены при вычислении Error: Reference source not found по формуле полной вероятности в виде 4-х слагаемых:

Теперь найдем вероятностиError: Reference source not found, где Error: Reference source not found , так как

Итак,

Полная взаимная информация, содержащаяся в обеих системах наблюдения равна:



Вывод: степень неопределенности прогноза выпадения» кислотных» дождей на 0.15 bt уменьшается при наблюдении масс весной в регионе не территории загрязнения. Значит, эти наблюдения являются практически бесполезными.

Задача№5


При взаимодействие вторичного алкана с едким калием возможно прохождение различных реакций (SN1 или SN2) в зависимости от растворителя.

Если в качестве растворителя взять

диэтиловый эфир, то вероятность того, что для данного вещества пойдет реакция SN2 равна 0.8, а SN1 - 0.2.

Если взять в качестве растворителя воду, то вероятность реакции соответственно равны: для SN2 ЁC 0.3, а для SN1 - 0.7.

Определить, который из опытов по виду протекания реакций считать более определенным.

Решение


Для того чтобы ответить на вопрос следует найти энтропию каждого опыта.

Обозначим черезError: Reference source not found опыт с участие эфира в качестве растворителя.

Вот возможные исходы этого опыта:

Error: Reference source not found ЁCпротекание реакции SN1, Error: Reference source not found

Error: Reference source not found ЁCпротекание реакции SN2, Error: Reference source not found

Матрица вероятностей этого опыта имеет вид:

Энтропия опыта Error: Reference source not found

Обозначим черезError: Reference source not found опыт с участием в качестве растворителя воду.

Вот возможные исходы этого опыта:

Error: Reference source not found ЁCпротекание реакции SN1, Error: Reference source not found

Error: Reference source not found ЁCпротекание реакции SN2, Error: Reference source not found

Матрица вероятностей этого опыта имеет вид:

Энтропия опыта Error: Reference source not found

Вывод: опыт с участие воды в качестве растворителя следует считать более неопределенным, чем опыт с участие диэтилового эфира. В качестве растворителя целесообразно взять диэтиловый эфир.

Задача№6

При взаимодействие толуола с молекулярным хлором возможно -орто и ЁCпара присоединение в бензольное кольцо.

Если взять в качестве растворителя хлорбензол, то вероятность ЁCпара присоединения равна 0.6, а ЁCорто присоединение ЁC 0.4.

Если в качестве растворителя используется нитробензол, то вероятности присоединения соответственно равны: - пара ЁC 0.56 и - орто ЁC 0.44.

Какой из опытов считать более определенным?

Найти количество информации сложного опыта при одновременном использовании обоих растворителей (объемы растворителей 1:1).

Решение

Для ответа на оба вопроса задачи следует найти энтропию каждого опыта.



Обозначим через Error: Reference source not foundопыт с участием в качестве растворителя хлорбензол.

Вот возможные исходы этого опыта:

Error: Reference source not found ЁCпара присоединение;

Error: Reference source not found ЁCорто присоединение.

Их вероятности: Error: Reference source not found

Матрица вероятностей опыта в данном случае равна:

Энтропия опыта Error: Reference source not found

Обозначим черезError: Reference source not found опыт с участием в качестве растворителя нитробензол.

Вот возможные исходы этого опыта:

Error: Reference source not found ЁCприсоединение -пара

Error: Reference source not found ЁC присоединение -орто

Их вероятности:

Матрица вероятностей этого опыта имеет вид:

Энтропия опыта Error: Reference source not found

Error: Reference source not found,

значит, опыт с участие хлорбензола следует считать более определенным.

Так как опыты независимы, то количество информации Error: Reference source not found сложного опыта, при одновременном использовании обоих растворителей равна:

Вывод: при взаимодействии толуола с молекулярным хлором в качестве растворителя целесообразно предпочесть хлорбензол нитробензолу.

Задача№7

В теракте применены средства химического и радиоактивного заражения.

Если человеческий организм попал под воздействие средств только химического заражения, то вероятность его гибели ЁC 0.3, если радиационного ЁC 0.2, совместного ЁC 0.5.

При наступлении вероятность попадания под химическое воздействие ЁC 0.4, под радиоактивное ЁC 0.4, под совместное ЁC 0.2.

Найти полную взаимную информацию, содержащуюся в наблюдения за попаданием человека под воздействие различных средств заражения и о его выживании или гибли.

Решение


Рассмотри опыт Error: Reference source not foundсвязанный с событиями:

Error: Reference source not found ЁCгибель человеческого организма;

Error: Reference source not found ЁCего выживание.

Вероятности этих событий в условии не указаны. Так как Error: Reference source not foundто матрица вероятностей опыта Error: Reference source not found имеет вид:

Error: Reference source not found где Error: Reference source not found

Обозначим через Error: Reference source not foundопыт состоящий в попадании человека под воздействия средств заражения.

Возможны три исхода опыта:

Error: Reference source not found ЁCпопадание под химическое воздействие;

Error: Reference source not found ЁCпопадание под радиационное воздействие;

Error: Reference source not found ЁCпопадание под совместное воздействие;

Их вероятности: Error: Reference source not found

Матрица вероятностей опыта примет вид:

так по условию задачи

По формуле полной вероятности найдем вероятность гибели:

Тогда Error: Reference source not found = 0.7 ЁC вероятность того, что человек останется жив.

Итак,


Полная взаимная информация, содержащаяся в обеих системах наблюдения за попаданием в различные зоны заражения и выживанием или гибелью человека, определяется по формуле:

Вероятность Error: Reference source not found, где Error: Reference source not found , мы нашли при вычислении Error: Reference source not found по формуле полной вероятности в виде 3-х слагаемых:

Теперь найдем вероятностиError: Reference source not found, так как

Итак,


Error: Reference source not found

Проверим выполнение равенства

Error: Reference source not found действительно Error: Reference source not found = 0.18+0.12+0.4=0.7

Полная взаимная информация, содержащаяся в обеих системах наблюдения равна:

Вывод: величина Error: Reference source not found указывает на сколько учет вида и средств заражения увеличивает определенность вывода о выживаемости людей в результате теракта.

Задача№8


Известно, что при применении определенного дегазирующего средства аллергическую реакцию на него дают два человека из ста. Для выявления таких людей используется проба, которая всегда оказывается положительной в том случае, когда человек имеет аллергию. Если же нет, то она столь же часто бывает как положительной, так и отрицательной.

Пусть опыт Error: Reference source not found состоит в определении того, болен или здоров человек, а опыт Error: Reference source not foundв определение результата указанной реакции.

Спрашивается, какова будет энтропия H опыта Error: Reference source not found и условная энтропияError: Reference source not foundопыта Error: Reference source not found при условии осуществления Error: Reference source not found

Решение


Очевидно, здесь два исхода опыта Error: Reference source not found - исход Error: Reference source not found (человек здоров)и исход Error: Reference source not found (человек болен), имею вероятности:

Error: Reference source not found Error: Reference source not found.

Поэтому,

ОпытError: Reference source not found также имеет два исхода: Error: Reference source not found (положительная реакция)и Error: Reference source not found (отрицательная реакция). Вероятности этих исходов равны:

Error: Reference source not found Error: Reference source not found

ибо исход Error: Reference source not foundимеет место в половине тех случаев, когда опыт Error: Reference source not found имеет исход Error: Reference source not found и во всех случаях, когда Error: Reference source not foundимеет исход Error: Reference source not found, а исход Error: Reference source not foundлишь в половине случаев, когда Error: Reference source not foundимеет исход Error: Reference source not found. При этом, если опыт Error: Reference source not foundимел исход Error: Reference source not found(а таких случаев большинство), то условные вероятности исходов Error: Reference source not found будут равны:

ибо из 99 случаев, когда реакция оказывается положительной, в 98 случаях человек болен, а в 1 ЁC здоров. Поэтому условная энтропия Error: Reference source not found будет заметно больше безусловной Error: Reference source not found

Зато, если имеет исход Error: Reference source not found, то мы с уверенностью можем утверждать, что опыт Error: Reference source not foundимел исход Error: Reference source not found(человек здоров).

Следовательно, Error: Reference source not found.

Таким образом, средняя условная энтропия опыта Error: Reference source not found при условии осуществления Error: Reference source not foundбудет все же меньше безусловной энтропии Error: Reference source not found

Иначе говоря, выполнение Error: Reference source not foundуменьшает степень неопределенности опыта на 0.0021 bt.

Вывод: используемая реакция для выявления зараженных вирусом дает информацию о заболеваниях равную:

Эта количественная характеристика оценивает пользу реакции.

Алгоритм решения данной задачи применим к следующим текстовым задачам из [2, с.70-71] и [3, с.70-71].

Задача 8.1

Известно, что некоторой болезнью в среднем болеют 2 человека из 100. Для выявления больных используется определенная реакция, которая всегда оказывается положительной в том случае, когда человек болен; если же человек здоров, то она столь же часто бывает положительной, как и отрицательной.

Пусть опыт Error: Reference source not foundимеет два исхода:

Error: Reference source not found ЁCчеловек здоров;

Error: Reference source not found ЁCчеловек болен.

Опыт Error: Reference source not found также имеет два исхода:

Error: Reference source not found ЁCположительная реакция;

Error: Reference source not found ЁCотрицательная реакция

Вывод: Энтропия Error: Reference source not found опыта Error: Reference source not found равна Error: Reference source not found , a Error: Reference source not found

Средняя условная энтропия опыта Error: Reference source not found при условии осуществления Error: Reference source not found будет все же меньше безусловной энтропии Error: Reference source not found Отсюда следует целесообразность использования пробы.

Задача 8.2

Специалист, занимающийся проблемой B, для информационного обеспечения своей интеллектуальной деятельности воспользовался автоматизированной информационно-поисковой системой (АИПС). В базе АИПС содержится 2% статей, непосредственно относящихся к данной проблеме. Система поиска в АИПС точно обнаруживает эти статьи по запросу. В то же время ввиду некоторой близости тематики других статей к проблеме B эта система с равной вероятностью может представить или не представить или не представить специалисту статьи, не относящиеся непосредственно к проблеме B. Определить эффект системы поиска, используя меру снятия неопределенности по отношению к проблеме B.

Пусть опыт Error: Reference source not foundимеет два исхода:

Error: Reference source not found ЁCстатья не относится к данной проблеме;

Error: Reference source not found ЁCстатья относится.

Определение эффективности системы поиска представим как опыт Error: Reference source not found, также имеющий два возможных исхода:

Error: Reference source not found ЁCсистема эффективна;

Error: Reference source not found ЁCсистема неэффективна.

Неопределенность отношения той или иной статьи к проблеме B: Error: Reference source not found. С учетом эффективности работы системы поиска, т.е. опыта Error: Reference source not found, неопределенность АИПС вычисляем через условную энтропию Error: Reference source not found

Задача№9


По цели производится n выстрелов. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равнаError: Reference source not found. После какого выстрела (Error: Reference source not found производится разведка, сообщающая, поражена или не поражена цель. Если она поражена, то стрела по ней прекращается.

Определить Error: Reference source not found из этого условия, чтобы количество информации, доставленное разведкой, было максимальным.

Решение

Рассмотрим систему Xi ЁC цель после k-го выстрела. Возможны два состояния системы Xi:



X1 ЁC цель поражена;

X2 ЁC цель не поражена.

Вероятности этих состояний равны:

XiX1X2Pi1-(1-P)k(1-P)k

Очевидно, информация, которая будет получена после выявления состояния системы Xi примет максимальное значение при равновероятных состояниях X1 и X2 системы, т.е. при

1-(1-P)k= (1-P)k

Отсюда:

Положим, что вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0.2. Тогда k составит:



Вывод: следовательно, наибольшее количество информации будет содержать сообщение, переданное разведкой после третьего выстрела по цели.

Литература:

1 Яглом А.М., Яглом И.М. Вероятность и информация ЁCМ.: ГИФМЛ, 1960.-315с.

2 Белов А.А., Баллод Б.А., Близарова Н.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. ЁCРостов Н/Д: ФЕНИКС, 2008.-318с.

3 Хохлов Г.И. Основы теории информации: учеб. Пособие для студ. высш. учеб. заведений/ Г.И. Хохлов. ЁC М.: Издательский центр «Академия», 2008.-176с.

Список опубликованных работ студентов

Воликова Е., Мальцев И.М., Орлик Л.К. Две модификации логистической эволюции эпидемии / Математические методы и приложения: Труды семнадцатых математических чтений РГСУ, часть 2. ЁC М.: РГСУ, 2008. ЁC С. 164-172.

Воликова Е., Мальцев И.М., Орлик Л.К. Моделирование распространения эпидемии в динамике порядок ЁC хаос ЁC там же - С. 172-179.

Воликова Е.,Орлик Л.К.ModelingofEpidemicsinDynamicOrder-Chaos /Международная конференция: образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство. г. Плоцк, Польша, 9-14 сентября, 2008.Plocku:WydawnictwoNaukoweNovum,2008. - С. 507-514.

Гайдина О.,Орлик Л.К., Единак Е.А.Математическая модель дорожного движения как задача кинетической теории газов/Математические методы и приложения: Труды девятнадцатых математических чтений РГСУ (29января-2февраля 2010).Ч.1. -М.:РГСУ.-С.96-101.

Гончарова М.,ОрликЛ.К. Форсайт: инструмент, методология, методы/ Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ(27-31января 2011года).Ч.2.-М.:РГСУ,2011. .-С.56-62.

Дёров В.,Орлик Л.К. Полипарадигмальный характер образовательной эпистемы. Первичный анализ/ Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ(27-31января 2011года).Ч.2.-М.:РГСУ,2011. .-С.62-69.

Миронов А. Высшее профессиональное образование в переходную эпоху/ Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ(27-31января 2011года).Ч.2.-М.:РГСУ,2011. .-С.180-187.

Поликарпова Ю., Орлик Л.К.Нестандартное применение математического ожидания к решению модельных задач / Математические методы и приложения: Труды девятнадцатых математических чтений РГСУ (29января-2февраля 2010).Ч.1.-С.164-168.

Поликарпова Ю., Орлик Л.К. Прогнозирование напряженности в студенческой среде. Пробация оригинальной математической модели Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ(27-31января 2011года).Ч.2.-М.:РГСУ,2011.-С.219-228.

Поликарпова Ю., Орлик Л.К. Теоретико-информационные меры связей между фрустрацией и относительной депривацией студентов по двум категориям ценностей/ Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии. X Международный социальный конгресс:25-26 ноября2010г .Сборник статей. -М.:АПК и ППРО,2010.-С. 123-128

Родина А.,Орлик Л.К. Структурное моделирование нелинейности 2-го рода в социодинамике/ Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ(27-31января 2011года).Ч.2.-М.:РГСУ,2011.-С.245-250.

Родина А.,Орлик Л.К.,Сулян Г.С.Арифметико-геометрическая прогрессия:от задачи планиметрии до модели мобилизации/Математические методы и приложения: Труды семнадцатых математических чтений РГСУ (31января-3февраля 2008).Ч.1.-М.:РГСУ,2009.-С.89-104.

Родина А.,Орлик Л.К.,Ющенко Н.С.Математические модели и методы в социологии. Предыстория/Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии.IX Международный социальный конгресс:25-26 ноября 2009г. Сборник статей. Часть1.-М.:АПК и ППРО,2009.-С. 187-191.

Чебан С.,Орлик Л.К., Устинова Т.Ю. Логарифмы в обработке статистических данных /Математические методы и приложения: Труды девятнадцатых математических чтений РГСУ (29января-2февраля 2010).Ч.1. -М.:РГСУ. -С.186-195.

Щипунова А., Орлик Л.К. Примеры информационно-энтропийного анализа сложных событий/ Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ(27-31января 2011года).Ч.2.-М.:РГСУ,2011.-С.269-277.

Учебное пособие

Л.К.Орлик

Траектория творчества: научно-исследовательская

работа студентов

Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов

Компьютерный набор и вёрстка: А. Родина

Подписанно в печать

Формат

Авт.л. 1,3 Тираж . Заказ



Отпечатано с готового оригинал-макета в авторской редакции

Российский государственный социальный университет

Издательский центр «Союз» РГСУ

Адрес: 107150, г. Москва, ул. Лосиноостровская, стр.24.



1 Hearing of the Committee on Health, Education, Labor and Pensions US Senate. June 10, 1999. Wash. 1999, p. 1-3. / цит. по книге: Ашин Г.К. Элитология. Учебное пособие. ЁC М.:МГИМО ЁC Университет МИД России. 2005. ЁC С. 528.

2 Предисловие к русскому изданию. Цит. по книге: О’ Коннор Дж. Искусство системного мышления: необходимые знания о системах и творческих подходов к решению проблемы. Пер. с анг. ЁC М.: АЛЬПИНА БИЗНЕС БУКС, 2006. ЁC С. 14.

3 С января 2011 г. ЁC кафедра математики и информатики

4Примером дорожного картирования является программа «Детство 2030» http://www.detstvo2030.ru/

5В [8] по-видимому, в силу опечатки, Error: Reference source not found в отличие от полученного нами значения Error: Reference source not found

6 Поскольку 100,2 = 1,58, что на 58% больше, чем 1.

7 Поскольку 10№ = 10.

<< предыдущая страница  



О жизни и деньгах начинают думать, когда они приходят к концу. Эмиль Кроткий
ещё >>