Кафедра математики и информатики - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Отчет о проведении предметной недели математики и информатики в мкоу... 2 321.19kb.
Воспитание патриотизма на уроках математики и информатики 1 29.53kb.
Методическая тема моучителей математики, информатики и физики «миф»на... 1 24.17kb.
Анализ работы нмо методического объединения учителей математики,... 4 438.48kb.
Кафедра управления и информатики (УиИ) 1 181.12kb.
Кафедра теоретической информатики и дискретной математики 1 45.12kb.
Фундаментальной информатики 6 1086.68kb.
Анализ работы нмо учителей математики, физики, химии, биологии, информатики... 4 621.39kb.
Кафедра: информатики и методики преподавания математики фио разработчиков... 1 46.98kb.
Анализ работы мо учителей математики и информатики за 2012-2013 учебный год 4 529.85kb.
Рабочая программа учебнойдисциплины по выбору магистранта двм-04... 2 401.86kb.
Биография краснера Наума Яковлевича 3 468.05kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Кафедра математики и информатики - страница №1/10

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Серия "Математический кружок"

Л.К.Орлик

Траектория творчества: научно-исследовательская

работа студентов

Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов

Москва 2011

УДК 316.31.4

ББК 60.56

О66

Рецензенты:



Доктор физико-математических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д.И.Менделеева

М.П. Чахкиев

Ведущий научный сотрудник факультета педагогического образования МГУ им. М.В. Ломоносова, кандидат психологических наук, доцент

Г.В.Новикова

О.66. Орлик Л.К.: Траектория творчества: научно-исследовательская работа студентов. Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов. М.: Союз.2011.- с.

Утверждено на заседании кафедры математики и информатики от 23 апреля 2011 года (протокол № №63)

Учебное пособие посвящено результатам трехлетней совместной деятельности студентов и руководителя научного кружка при кафедре математики и информатики.

Содержит доклады студентов по математическому моделированию социодинамики.

УДК 316.31.4

ББК 60.56

Оглавление

1.





Обучение "ремеслу" как пропедевтика творчества

«Талант ЁC это проблема для общества.

Одаренные и талантливые ученые и студенты

обладают большим потенциалом стать либо лидерами,

либо бременем для общества, поскольку могут

использовать свой талант для деструктивных целей».

Из речи сенатора Крэсли в конгрессе США1.

«Одаренность, талант играют огромную роль в умении

воплощать емкие, информативные образы. Это справедливо

для любой сферы искусства, науки, практики

Но ведь и мастеров учат! И в искусстве существует своя теория.

Есть в нем и много ремесла, то есть технологий и приемов,

которыми при желании и старании может овладеть практически каждый. И рисовать совсем даже недурные пейзажи».

Рубаник Ю.Т. Системное мышление

как искусство правдивой простоты2.

В 2008 году при кафедре высшей математики 3 РГСУ был организован научный кружок.

Реализуемые цели:

выявление наиболее одаренных студентов, мотивированных на профессиональный рост;

приобщение к научной работе студентов, способных к исследовательской деятельности;

повышение уровня компетенций студентов в области современных математических моделей социодинамики;

освоение алгоритмов подготовки докладов и научных статей с учетом маркетингового принципа.

Формы работы:

тематические лекции руководителя;

индивидуальные консультации;

семинары под руководством студентов-докладчиков.

Основная тематика заседаний круглого стола связана с:

эволюционными моделями социодинамики с дискретным и непрерывным временем;

моделями переходных процессов, катастроф и хаоса в социальных системах;

решением нестандартных задач;

решением классических именных задач (Фурье, Кельвина, Гаусса, Эйлера, Наполеона);

решением стандартных задач нестандартными методами.

Значительная часть современного социума перешла новый порог динамической сложности, знаменующий нарушение традиционного линейного типа развития. Для него характерны неравновесность, возрастающая роль фактора случайности и ненамеренных последствий спланированных социально-политических и экономических действий. Окружающие нас экологические, социально-природные, экономические структуры и другие сложные объекты являются открытыми системами, управляемыми нелинейными законами. Эти объекты «обнаруживают невозможную в области действия линейных законов способность к самоорганизации, резонансным образом реагируют на внешние воздействия, их поведение неоднозначно определяется предшествующей историей их эволюции. Необходимость учета всех этих свойств очевидна. Но такой учет возможен только на основе перестройки мышления. Новое мышление в его техническом применении должно быть нелинейным» [1].

Фундаментом становления нелинейного характера мыслительной деятельности, включающей осознание изменчивости, противоречивости, многовариантности, структурности и иерархичности явлений и процессов действительности, является творческое мышление. Для него характерны «не только развитость логического мышления, обширность знаний, но и гибкость, критичесть мышление, быстрота актуализации нужных знаний, способность к высказыванию интуитивных суждений, решению задач в условиях неполной детерминированности» [2].

Перечисленные свойства творческого мышления вслед за Ермолаевой-Томиной Л.Б. дополним следующими:

открытость опыту (умение видеть и ставить проблему);

широта категоризации (падающее яблоко связывается не со спелостью, а с законом всемирного тяготения);

беглость мышления (богатство и разнообразие идей; ассоциации, возникающие по поводу незначительного стимула);

гибкость мышления (способность быстро переходить из одной категории в другую);

оригинальность мышления [3].

Перечисленные свойства приводят к так называемому «математическому мышлению», вопрос о структуре, особенностях которого разработан Маркушевичем А.И., Колмогоровым А.Н., Гнеденко Б.В., Крутецким В.А. Среди характерных черт математического мышления они выделяют широту и гибкость; способность производить абстракцию, решать математические задачи, склонность к операциям с числами, знаками, символами и т.д.

Опираясь на понимание творчества как высшего уровня активности, самостоятельности, и проведя сравнительный анализ творческого процесса и процесса решения математических задач, убеждаемся в совпадении по своей сути алгоритмов этих процессов. В [4] выделена следующая последовательность творческой деятельности:

постановка вопроса (умение увидеть проблему);

мобилизация необходимых знаний (личного опыта или опыта, обобщенного в специальной литературе) для постановки гипотезы, определения путей и способов решения задачи;

специальные наблюдения и эксперименты; их обобщение в виде выводов и гипотез;

оформление возникших мыслей (образов) в виде математических, графических, предметных структур;

проверка социальной ценности продукта.

Освоению этого алгоритма, то есть овладению «ремеслом» - базовой составляющей творчества, во многом посвящена работа научного студенческого кружка.

Творческие компетенции, на формирование которых нацелена наша совместная деятельность:

определять иерархию значимости проблем;

критично воспринимать выявленную проблему;

умение сочетать различные звенья знаний с целью получения множества гипотез решения проблемы;

охватывать многовариантность подходов к решению проблемы;

находить новую интерпретацию для новых и старых знаний;

развивать «экстраполяции специфического стиля», - предвидения;

связывать отдельные предметные области в междисциплинарных направлениях.

XX век резко ускорил двуединый процесс дифференциации и интеграции наук, передав его как эстафету XXI веку. Новые научные дисциплины все чаще формируются не просто как специализированные области уже сложившихся научных дисциплин, а именно как дисциплины, интегрирующие достижения разных, главным образом, смежных наук, причем часто методы и концепции одной науки оказываются эвристическими при решении проблем, возникающих перед другой научной дисциплиной [5].

В связи с успехами междисциплинарных исследований у студентов проявляется большой интерес к гуманитарному контексту их математических исследований. Это и культурологический, и психолого-педагогический, и историографический, и социально-философский аспекты.

Такой интерес к «привлеченному мышлению», в котором сотрудничают на равных рассудочное понятие, художественный образ и математические символы, описал Г. Гачев в книге «Математика глазами гуманитария (дневник удивлений математики)»: «Попытаюсь эти свои новые штудии из математики помещать в наличное уже во мне интеллектуальное силовое поле и наблюдать, как начнут естественно создаваться, притягиваться, спариваться родственные явления там и сям, и стану переводить их на язык друг друга ЁC математические «опилки» и феномены из «гуманитарного континуума».

Показателен в этом смысле следующий факт. Обращение к картине Строцци Б. «Аллегория математики» в мультимедийном варианте лекции, посвященной аксиоматическому методу, побудило студента Антонова М.В. ЁC СОЦ-З-3, - написать следующее эссе.

«Итальянская школа живописи, Строцци Бернардо (1581-1644), поздний стиль Барокко: хорошо видна игра формы и оттенков; контраст света и тени.

Заметно, как взгляд старца (предположительно, ученого-математика Евклида) внимательно смотрит на руку женщины, которую художник изображает в виде Минервы ЁC богини мудрости (характерный наряд и алый лат указывают на это). Рука женщины лежит строго параллельно руке мужчины, возможно ЁC бога Сатурна, хранителя времени, расположившегося между ними. Это явно задает математическую загадку или намек от автора картины.

Сомкнутая в кулак рука с древних времен символизировала силу и власть. И, может быть, художник благодаря этому математическому приему пытается нам рассказать, что сила мысли и духа сильнее грубой физической силы. Очень бросается в глаза тот факт, что рука женщины четче и ярче параллельной руки мужчины, что может символизировать надежность духовной силы и мудрости, в отличие от силы тела, которая со временем идет на убыль (время ассоциируется с цифрами, окружностями, градусами и т.д., уход силы на убыль, параболу).

Если внимательно вглядеться, можно заметить между кулаком женщины, локтем мужчины и кистью старца незримый четкий равнобедренный треугольник (по замерам практически равнобедренный). Треугольник одна из математических фигур. Возможно, автор картины намекал на единство трех составляющих: Силу, Красоту и Ученость. Ну и конечно, лоб ученого, тело женщины и мышцы мужчины явно написаны исходя из набросков идеальной окружности.

Циркуль как инструмент математики, который, несмотря на то, что расположен в углу, играет немалую роль на этой картине, которая заставляет легким сумеречным стилем, игрой пропорций втягиваться и вглядываться в нее по-новому».

Воликова Е., будучи студенткой 2-го курса, подготовила доклад «Математические модели распространения эпидемий», занявший 1-ое место на факультете информационных технологий в рамках недели студенческой науки в 2008 году, был представлен на международной конференции в Польше (г. Плоцк, 9-14 сентября, 2008). Сценарное изложение проблем роста инфекционной патологии, анализ стратегических концепций ВОЗ, США и НАТО по борьбе с биотерроризмом, выполненные Воликовой Е., вошли в монографию «Терроризм: проблемы, модели, сценарии», опубликованной МПИ ФСБ России в 2009 году.

Гайдина О. в ходе подготовки доклада «Математические модели дорожного движения» проанализировала особенности проблемы дорожного движения в Москве. Результаты составили основы ее дипломной работы в 2011 г.

Поликарпова Ю., участвуя в разработке оригинальной математической модели «RDF-эффекта» и ее апробации, изучила концепции эмоциональной атмосферы общества, основанные на идеях Г. Тарда и К. Левина; модели Дэйвиса Дж., Гарра Т. фрустрационных процессов современной политологии; анализ зависимости между склонностью общества к токвилеву, или стрессовому, процессу и развитостью в нем достижительного поведения по Урнову М.Г.

Родина А., занимаясь информационно-математическим моделированием социальной динамики, реализовала неожиданную, оригинальную интерпретацию модели социальной мобилизации как формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии (АГП). Не прошла мимо историографии понятия АГП, проследив его развитие от Древней Греции до наших дней. В другом исследовании, посвященном моделям структурной динамики, Родина А. проанализировала типологию нелинейностей социума с точки зрения социальной синергетики.

Гончарова М., изучая методы количественного анализа информации, полученной от экспертов, обратилась к современному инструменту прогнозирования ЁC Форсайту. Изучила его методы, методологию и приложения. Поскольку Форсайт носит междисциплинарный характер и объединяет статистические, микро- и макроэкономические, маркетинговые, эвристические и социологические методы, он позволяет перейти от прогнозирования будущего к его формированию с учетом экспертной точки зрения.

Информационно-энтропийный подход к анализу и моделированию сложных событий реализован в оригинальных работах Щипуновой Н. и Поликарповой Ю.

Проблемы современного высшего профессионального образования в «социальном измерении», перспективы его модернизации нашли отображение в докладах Дёрова В., Миронова А.

Литература:

Добронравова И.С. Синергетика: становление нелинейного мышления. ЁC Киев: Лыбедь, 1990. ЁC 150 с.

Волков Н.Г. Социология науки. ЁC М.: Наука, 1968. ЁC 328 с.

Ермолаева-Томина Л.Б. Проблемы развития творческих способностей детей// Вопросы психологии, 1975, №5. ЁC С. 166-175

Дрозина В.В., Дильман В.Л. Механизм творческтва решения нестандартных задач. ЁC М.: Бином, Лаборатория знаний, 2008. ЁC 255с.

Ашин Г.К. Элитология. ЁC М.: МГИМО ЁC Университет, 2005. ЁC С. 544

Воликова Е (ПМИ-Д-3,2009г)

Моделирование эпидемий в динамике порядок-хаос

Современный мир оказался в положении, когда «старые» и «новые» инфекционные заболевания имеют высокий потенциал к бесконтрольному распространению с беспрецедентно высокой скоростью. Этому способствуют урбанизация, нарастающее ухудшение экологии, социально-гигиенических условий жизни сотен миллионов людей, все возрастающие миграционные потоки и процессы глобализации экономики.

Традиционно возникновение эпидемий связано с природной очаговостью и эпизоотией. Однако сегодня реальная угроза исходит и от высоких биотехнологий - генной инженерии и молекулярной биологии. Дело в том, что модифицированные микроорганизмы могут стать первопричиной тяжелых эпидемий, например, в результате неконтролируемого их «выхода» из научных лабораторий и промышленных предприятий промышленно-развитых стран мира в результате техногенных аварий или природных катастроф.

Кроме того, в последнее десятилетие на фоне использования в террористических актах взрывчатых веществ и огнестрельного оружия, сформировался в отдельную проблему и биологический терроризм. Этот вид терроризма особенно опасен в связи с тем, что очень сложно своевременно обнаружить и идентифицировать вирус, а впоследствии провести все необходимые санитарно-гигиенические меры по остановке или уменьшению последствий его распространения. Тем самым встаёт вопрос именно о прогнозе дальнейшего развития эпидемии как средстве наглядно представить весь её ход, а также изменение каких параметров повлечёт за собой стабилизацию обстановки, а затем и прекращение заболевания.

В настоящее время в России существуют технологии по математическому и компьютерному моделированию эпидемий, которые позволяют заблаговременно оценивать их масштабы и последствия. Одной из базовых моделей этих разработок является классическая логистическая модель распространения инфекционных заболеваний при естественном развитии, то есть без какого-либо вмешательства с целью уменьшения последствий заражения. Удаление заболевших из группы не происходит: нет ни выздоровления, ни гибели, ни изоляции, то есть имеется в виду инкубационный период в течение болезни.

µ § (1)


где µ § ЁC число инфицированных в момент времени t,

r ЁC параметр модели, равный отношению числа заболевших к числу всех контактов здоровых и инфицированных в этот момент времени t.

МНК-оценка параметра r производится по первичным эмпирическим данным.

Опишем сценарии в рамках двух модификаций дифференциальной логистической модели (1): с учётом соответственно доэпидемической вакцинации части населения и фактора смертности.

При доэпидемической вакцинации населения модель имеет вид:

µ §, (2)


где с ЁC параметр, характеризующий уменьшение скорости распространения эпидемии, численно равный доле привитого населения.

С учётом смертности в ходе развития эпидемии классическая модель принимает вид:

µ §, (3)

где р ЁC доля погибших из числа заболевших (0

Качественный анализ модели (2) приводит к следующим сценариям

Рис. 1


Сценарий 1: при с<µ § существуют два положения равновесия А и В. Нижнее положение равновесия (х=А) неустойчиво. Если в некоторый момент величина популяции х опустится ниже А, то в дальнейшем вся популяция за конечное время вым-рет. Верхнее положение равновесия В устойчиво ЁC это стационарный режим, на который выходит популяция при постоянном с (рис. 1).

Сценарий 2: при с=µ § существует одно неустойчивое состояние равновесия А=В=µ § (рис. 2).

Сценарий 3: (рис. 3): при с>µ § положение равновесия отсутствует и за конечное время эпидемия прекратится. Таким образом, при вакцинации четверти населения, то есть 25%, при достаточно большой начальной численности популяции, эпидемия будет продолжаться в течение длительного времени. Однако сколь угодно малое колебание численности установившейся равновесной популяции приводит к полному вымиранию популяции за конечное время. Таким образом, нецелесообразна вакцинация ниже 25-30% населения так как при них опасный порог А близок к установившемуся режиму В (небольшие случайные отклонения отбрасывают популяцию ниже порога А, после чего она погибает).

Рис. 2


Рис. 3

Качественный анализ модели (3) приводит к следующим выводам. Здесь имеем два положения равновесия: неустойчивое А (х=0) и устойчивое В. Абсолютная скорость смертности устанавливается при этом равной µ §. Наибольшее значение абсолютной скорости смертности равно наибольшей ординате графика функции µ §. Оно достигается при х=µ §, то есть при µ § (рис. 4).

Рис. 4

Сценарий 1: при µ §<µ § возможно вымирание за конечное время лишь малочисленной популяции.



Сценарий 2: при µ §=µ § система остаётся устойчивой (возвращается к установившемуся состоянию при малых отклонениях начальной популяции от установившейся).

Сценарий 3: при µ §>µ § популяция вымрет.

Теперь рассмотрим разностный аналог дифференциальной логистической модели эпидемии (1):

µ §, (4)


где µ §- число инфицированных в момент времени t

Качественный анализ модели (4) связан с бифуркационной диаграммой (рис. 5)

Рис. 5

Рис. 5


Приведём интерпретацию возможных сценариев распространения эпидемии.

Сценарий 1: при 0

хµ §=0,4; хµ §=0,096; хµ §=0,035, ЎK

Рис. 6


Сценарий 2: при r>4 модель теряет смысл, так как последовательность значений x(t) стремится к -µ §. Например, при r =5:

x1 = 4; x2 = 1,2; x3 = -1,2; x4 = -13,2,....;

Сценарий 3: при 1

колеблется, стремясь к единственному значению µ §=0,6296, которое является точкой покоя (рис. 7).

Рис. 7

Рис. 8


На рисунке 8 иллюстрируется геометрический метод получения по начальному значению x0 последующих значений x1, x2, x3,.... Для этого следует из точки x0 на оси Оx сначала провести перпендикуляр до параболы y = rx(1-x), а затем ЁC горизонталь до графика y = x. Абцисса найденной точки и есть x1. Далее перпендикуляр проводим из точки x1 и т.д. В результате проделанных построений последовательность {xi} изображается в виде «лестницы Ламерея». Направленное перемещение по этой «лестнице» даёт возможность наглядно следить поведения данной последовательности.

Рис.8


Сценарий 4: при 31) при r=3,1 после нескольких итераций форми­руемая здесь последо-вательность получается периодической: Рис. 9

x2t = µ §, x2t+1 = µ §;

Рис. 9


Её элементы, определяемые начальным значением xµ §, составляют цикл, обозначаемый S2 = {µ §, µ §}. Количество инфицированных колеблется между двумя точками покоя µ §=0,557 и µ §=0,764, чередуясь через день (рис. 9, 10).

Рис. 10


2) при r=3,5 двухдневный цикл стал четырёхдневным, а количество инфицированных колеблется между четырьмя точками покоя (рис. 11, 12).

Рис. 11


Рис. 10

Рис. 12


Вычисления показали, что при переходе параметра r через критическое значение r1 происходит бифуркация: вместо одной точки покоя µ §, появляются две новые - µ §, µ §. Данная бифуркация с точки зрения исходной системы означает рождения цикла S2. Количество инфицированных повторяется через два шага, а период колебаний равен 2 дням.

Переход r через следующее бифуркационное значение r2 приводит к появлению четырёх новых точек покоя µ §, µ §, µ §, µ §, то есть к рождению цикла S4.

Количество инфицированных повторяется через четыре шага, а период колебаний равен 4 дням.

Дальнейшее увеличение r обнаруживает аналогичные бифуркационные значения r3, r4, r5, ... связанные с рождением циклов S8, S16, S32, ...., S2n, ... . Период колебаний численности инфицированных достигает бесконечности.

Наблюдаются каскады удвоения периода: последовательные бифуркации удвоения следуют одна за другой так, что на конечный отрезок изменения параметра rµ §[3, rµ §] приходится бесконечное число удвоений (рис. 5). При каждом значении rµ §[0,rµ §) указан аттрактор ЁC множество предельных точек данной динамической системы. Так, это µ §, при 0µ §rµ §rµ §. На следующем промежутке (rµ §,rµ §] аттрактором является график µ §(r). Далее, на (r1,r2] графики µ §(r) и µ §(r) образуют аттрактор S2, затем на (r2,r3] графики µ §(r), µ §(r), µ §(r) и µ §(r) представляют собой аттрактор S4 и т.д.

3) при r=3,9 формируется беспорядочная непериодическая последо­ватель­ность точек покояЁC хаос (рис. 13).

Рис. 13

Соответствующие множества называют странными аттракторами. В данном случае странный аттрактор имеет параболическую форму (рис. 14).



Рис. 14

При r=µ § аттракторы начинают выглядеть как множества, состоящие из сплошных (зачернённых) интервалов. В этой зоне выделяются и просветы ЁC окна, в которых снова виден порядок (рис. 15). В этих окнах расположены аттракторы, отвечающие периодическим циклам вида µ §, P= 3, 5, 7,ЎK

В зоне (µ §,4] содержится бесконечное число бифуркаций: хаос µ § порядок, порядок µ § хаос (рис. 16). Следует подчеркнуть, что в режиме хаоса при больших n практически невозможно предсказать значение µ §.

Рис. 15


Рис. 16

Хаотический режим фазовой плоскости при r=3,9 приведён на рис. 17.

Рис. 17

Рис. 10


Используя чувствительность хаотических режимов, в некоторых случаях с помощью так называемых джокеров можно перейти на стабильные траектории развития процесса распространения эпидемии. Джокер ЁC правило или алгоритм, определяющий поведение объекта в небольшой области фазового пространства (области джокера), в которой неопределённость в поведении объекта резко возрастает. Таким образом, джокер может радикально изменить ход процесса ЁC сделать установившийся процесс распространения эпидемии периодическим или хаотическим, или, напротив, внести упорядоченность в поведение системы.

Литература:

Л.В. Белайчук, Г.Г. Малинецкий. Проделки джокеров на одномерных отображениях, Предпринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1997, №24 -с. 3-28

Л.Б. Ряшко. Модели динамики популяции: от порядка к хаосу, Соровский образовательный журнал, том №7, №10, 2001 г.

А.И. Чуличков. Математические модели нелинейной динамики. М: Физматлит, 2003 г. - 296 с.

С.П. Капица, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего, М: Эдиториал УРСС, 2001 г. - 288 с.

Арнольд В.И. «Жёсткие» и «мягкие» математические модели. ЁC М.:МЦНМО, 2004. ЁC 32 с.

Гайдина О. (ПМИ-Д-3,2010г)

Макроскопическое математическое моделирование транспортных потоков

”Trac is like music,”

”Trac constructs itself like a singer sings. It’s the same song.


следующая страница >>



Слова и иллюзии гибнут, факты остаются. Дмитрий Писарев
ещё >>