Журов А. Н. Финансовая академия при правительстве рф, г. Москва

Журов А.Н.

Финансовая академия при правительстве РФ,

г.Москва

Шаповал А.Б.,

Финансовая академия при правительстве РФ,

г.Москва,

к.ф.-м.н.,доц.

Влияние бонусов на оптимальные стратегии страховой компании в условиях неопределенности

В работе построены оптимальные стратегии страховой компании в условиях неопределенности. Предполагается, что компания занимается тремя видами деятельности:

(1) страхованием, т.е. сбором премий и выплатой убытков по страховым случаям;

(2) инвестированием капитала в безрисковый и рисковый активы;

(3) потреблением, т.е. выплатой заработных плат, бонусов, и любых других расходов, не являющимися выплатами по страховым случаям.

Капитал страховой компании увеличивается за счет сбора премий и положительной конъюнктуры на финансовом рынке и уменьшается при наступлении страховых случаев, а также отрицательной рыночной конъюнктуры. Предполагается, что суммарные страховые премии , собираемые в каждый момент времени, постоянны [Бауэрс,2001], а страховые выплаты задаются сложным пуассоновским процессом , где случайный процесс количества страховых случаев, произошедших за промежуток Значение процесса в каждый момент времени равно суммарному убытку за временной промежуток Процесс числа страховых случаев является пуассоновским с интенсивностью . Размер убытка по ому страховому случаю определяется неотрицательной случайной величиной , т.е. Случайная величина имеет неотрицательную функцию распределения и конечные первый и второй начальные моменты.

Из определения сложного пуассоновского процесса следует, что случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют общую функцию распределения а также не зависят от числа страховых случаев. Предположим, что не зависит от - винеровского процесса. Размер брутто-премии , собираемая за время рассчитывается по формуле: Величина премии рассчитывается на основе математического ожидания суммарных убытков за промежуток , рассчитываемого по формуле: . Параметр называется рисковой надбавкой. Предполагается, что эта величина удовлетворяет неравенству (противоположное неравенство означает разорение страховой компании почти наверное за конечное время [Бауэрс,2001]).

Суммарные убытки от страховых случаев моделируются сложным пуассоновским процессом.

Пусть цена безрискового актива изменяется с постоянной доходностью, а цена рискового актив удовлетворяет геометрическому броуновскому движению:

(1)

(2),

где , , а Винеровский процесс.

Пусть - это доля капитала, инвестируемого в рисковый актив, управляющий параметр. Тогда капитал удовлетворяет уравнению:

(3)

Согласно [Yang, 2005], оптимальные стратегии весьма чувствительны к выбору целевого функционала. Предполагая конкретный вид функции полезности, в [Merton, 1969], [Samuelson, 1969] найдена оптимальная доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. В статье [Moore, 2006] изложены многие полученные результаты для задачи наиболее общего типа- оптимальное инвестирование, потребление и деление риска (перестрахование) страховой компании в стохастических условиях при степенной, экспоненциальной и логарифмической функциях полезности. В ряде работ изучено, как влияет потребление фирмы на ее инвестиционные стратегии, (обзор методов приведен в статье [Sennewald ,2006]).

В докладе рассматривается задача, в которой компания выплачивает средства по страховым событиям, инвестирует капитал в рисковый и безрисковый активы и расходует часть своего капитала на потребление. Управляющими переменными являются - доля капитала, направляемая в рисковые активы и - величина потребления. Горизонт планирования – неслучайная заданная величина

Цель компании – оптимизировать ожидаемые капитал и потребление в соответствии с функцией полезности капитал или потребление.

Пусть выражение

(4)

где -дисконтирующая процентная ставка, определяет максимально достижимый ожидаемый уровень полезности капитала и потребления для компании при условии, что в начальный момент времени капитал

Предполагается, что функции полезности удовлетворяют естественным условиям , отражающим соответственно увеличение удовлетворения инвестора при увеличении блага и убывание предельной полезности – первый закон Госсена. В простейшем случае функция полезности

(5),

является степенной, а при логарифмической.

Оптимальная стратегия страховой компании (другими словами, пара максимизирует функционал (4) при ограничении (3)

В этой работе будем предполагать, что мгновенное изменение капитала, связанное со случайными выплатами, не влияет на размер мгновенного оптимального потребления, т.е.:

.(6)

Основным результатом данной работы является следующая теорема:

Теорема 1. Пусть выполнены перечисленные выше условия (1)-(6). Тогда динамика оптимального потребления задается формулой:

(7)

В случае произвольной функции полезности потребления уравнение динамики оптимального потребления имеет вид:

Если предположить, что функция Беллмана ищется в виде: оптимальная инвестиционная стратегия задается выражением:

Следствие. Если , то оптимальное потребление в среднем возрастает, а если , то оптимальное потребление в среднем убывает.

Условие возрастания оптимального потребления для произвольной функции полезности удовлетворяющей естественным ограничениям: также получено в данной работе. Это условие имеет вид:

(8)

здесь .

Подставляя степенную функцию полезности (5) в неравенство (8), получим условие возрастания оптимального потребления для степенной функции полезности, которое сформулировано в следствии.

В работе сравниваются две стратегии страховой компании, учитывающие и не учитывающие потребление в целевом функционале. Как следствие из теоремы 1, выведено условие, при котором сумма капитала и потребления в задаче с потреблением больше капитала в задаче без потребления. Рассмотрим более подробно эту проблему.

Поскольку в рассматриваемой модели и дополнительный капитал, и дополнительное потребление увеличивают полезность, то сравнить модель без учета и с учетом потреблениея можно, сравнив дифференциалы капитала первой модели и сумму дифференциала капитала в модели с учетом потребления и дифференциала оптимального потребления:

.

Так, необходимо решить неравенство:

Дифференциал находим из уравнения (7), и после преобразований получаем неравенство:

(9)

Взяв математическое ожидание левой и правой частей неравенства (32) и проведя преобразования, получим:

(10)
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Чем меньше дисконтирующая процентная ставка , то есть чем пессимистичнее компания оценивает будущее, тем больше должно быть потребление.

2. На рынках с относительно высокой волатильностью, т.е. с большим показателем , расходы на потребление невыгодны. На рынках с относительно малой волатильностью, стимулирование сотрудников с помощью бонусов- эффективное управленческое решение, увеличивающее капитал и потребление компании.

3. Так как неравенство (10) выполняется при относительно малых то стимулировать бонусами своих сотрудников следует компаниям с относительно малым т.е. относительно приемлющих риск.

Список используемой литературы.

1. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения: Пер. с англ.- М.: Мир, 000 “Издательство АСТ”, 2003.-408 с.- ил.- (лучший зарубежный учебник).

2. Актуарная математика. Н. Бауэрс, Х. Гербер, Д. Джонс, С. Несбитт, Дж. Хикман. / Перевод с английского под редакцией В.К. Малиновского - М.: "Янус-К", 2001. - 644 с.
3. Yang H., Zhang L. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process. // Insurance: Mathematics and Economics, 2005. V. 37 P. 615-634.

4. Moore K. S., Young V. R. Optimal insurance in a continious-time model. //Insurance: Mathematics and Economics, 2006, V.39, P.47-68.

5. Samuelson, P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management Review, 1965. V.6, 13.31.

6. R. C. Merton. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainy: The Continuos-Time Case.// The review of Economics and Statistics,1969. V.51. P. 247-257.

7. K. Sennewald, K.

Lemma” and the Bellman Equation for Poisson Processes: An Applied View. //Journal of Economics, March 2006. Springer-Verlag.