Исследование условий существования и единственности уравнения - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Доклады академии Наук СССР. 1935, т. 1(VI), в. 5 А. Тихонов Теоремы... 1 49.32kb.
Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения» 1 18.61kb.
Задача интегрирования дифференциального уравнения. Задача Коши. 1 38.57kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов2 курса зик 1 18.63kb.
Задача для уравнения Лапласа, теорема единственности. 16. Внутренние... 1 25.83kb.
3. Задача. Зав кафедрой тмп 1 97.45kb.
Программа по математике для поступающих в аспирантуру ипмех ран 1 41.02kb.
Исследование одномерного нагруженного уравнения типа бюргерса специального... 1 40.31kb.
О решении шестой проблемы тысячелетия 1 71.33kb.
Математическая морфология. Электронный математический и медико-биологический... 1 72.44kb.
Тема Алгебра высказываний. 2 часа 1 47.73kb.
Программа дисциплины Комплексный анализ  для направления 010400. 1 140.73kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Исследование условий существования и единственности уравнения - страница №1/1

§3. Формулировка условий существования и единственности регулярных составляющих решений обыкновенных нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений динамики кусочно-степенных моделей


Исследование условий существования и единственности уравнения (1) в классе обобщенных функций целесообразно выполнить, используя сами характеристики функционально-степенных рядов, описывающих решение (4), и не выполняя каких-либо других операций с (1). Так как численная часть аналитически-численного метода реализуется пошагово, то исследовать существование и единственность решения целесообразно пошагово. Упростим нашу задачу, доказывая существование и единственность для (т.е., для скалярной составляющей матрицы ).

, (5)

где Rl,i — известные коэффициенты функционально-степенного ряда. «Усекая» ряд до полинома Тейлора, получим



Погрешность такого представления равна



.

Известно, что ряд будет сходиться, если



.

Если доказать, что это условие выполняется в каждой точке множества t > 0, то ряд сходится равномерно и оказывается рядом Тейлора своей суммы. Таким образом, существование в заданном интервале исследования регулярной составляющей опосредованно следует из сходимости ряда. Согласно признаку Вейерштрасса, равномерная и абсолютная сходимость ряда (5) на t > 0 следует из сходимости его мажоранты



.

Чтобы рассмотреть сходимость его ряда, необходимо исследовать поведение его коэффициентов:





  1. мажорируются :

Если все коэффициенты ряда возрастут до , то ряд, построенный на этих коэффициентах, будет больше, чем ряд, построенный на исходных коэффициентах. Так как ряд в правой части сходится, то, согласно признаку сравнения числовых рядов, мажорирующий ряд Вейерштрасса также сходится . Следовательно, сходится и ряд (5). Таким образом, если среди коэффициентов есть максимальный , то при всех t > 0 существует регулярная составляющая , и она может быть разложена в ряд Тейлора.



  1. мажорируются .

Так как выбором τl мы добились, что ряд в правой части сходится, то, согласно признаку сравнения числовых рядов, мажорирующий ряд Вейерштрасса также сходится. Следовательно, сходится и ряд (5). Таким образом, если образован максимум , то при существует регулярная составляющая , и она может быть разложена в ряд Тейлора.


То есть, мы выделили τl , в пределах которой ряд (5) сходится:

.

Тогда, согласно свойствам степенных рядов, при существует матричное решение уравнения, и все его элементы могут быть разложены в ряды Тейлора.

Существование доказано. Докажем теперь единственность решения. Разложение в ряд Тейлора единственно. Неединственность может быть только тогда, когда в результате выполнения аналитической части аналитически-численного метода мы получим несколько наборов Тейлоровых коэффициентов. Тогда, проверив существование каждого из них, установим радиусы сходимости, выберем шаг, и в численной части метода будем строить каждое из этих решений в отдельности.

Подведем итоги:


  1. Составленную модель, описываемую (1), при доказательстве не изменяли.

  2. Каких-либо других математических аппаратов, кроме начальной формулы, не привлекали.

  3. Существование и единственность решения доказали параллельно с помощью самого решения.

  4. Существование и единственность решения доказываем единообразно на каждом шаге его построения.

§4. Аналитическая часть процедуры формирования аналитически-численных ренений уравнений динамики кусочно-степенных моделей


Уравнение (1) и формулы (2), (3) могут описывать следующие классы моделей:



  1. Кусочно-линейные: .

  2. Нелинейные автономные стационарные с выделенной линейной частью. В A(D), G(D) и H коэффициенты не зависят от t. Все старшие производные находятся слева, в A(D).

  3. Нелинейные неавтономные, нестационарные, с невыделенной линейной частью. В H есть по крайней мере одна из старших производных.

Формирование аналитической части начинаем с преобразования матрицы H. Описав искомые решения уравнения (4), подставляем их в матрицу H и выполняем все действия, которые диктуют нам выражения, записанные в H. При этом используем известную формулу:

.

В результате всех действий над H получим



(6)

Тогда уравнение (1) после всех операций будет иметь вид



, (7)

где матрица-столбец T(x, f ) — матрица, тождественно заменившая собой H(x, f ). Мы просто подставляем в H ряды Тейлора, а они точно описывают рассматриваемые функции. Именно благодаря представлению решения в виде ряда, его можно интегрировать и дифференцировать. Важно лишь следить при этом, чтобы не возникало перемножения сингулярных составляющих, эта операция не определена: δ0(t) δ0(t) = ?, но δ0(t) δ1(t) = δ0(t).

Полученное уравнение (7) нелинейное, интегрально-дифференциальное, и, в отличие от исходного, допускает преобразование по Лапласу. Пользуясь правилом

,

переводящим независимую переменную t в независимую же переменную p, получим



,

где матрицы A(p) и G(p) получены из A(D) и G(D) путем замены оператора дифференцирования D на независимую переменную p в соответствующей степени (по теоремам о дифференцировании и интегрировании):



;

X(p) — матрица-столбец изображений искомых переменных, F(p) — матрица-столбец известных воздействий, T(p) — матрица-столбец «бывших нелинейностей», полученная из T(t) заменой , Q(p) — матрица-столбец предначальных условий, появляющаяся в силу теорем о дифференцировании и интегрировании.

В результате, мы получили линейное алгебраическое уравнение относительно вектора X(p), тождественное исходному нелинейному интегрально-дифференциальному уравнению относительно искомых координат.

В итоге имеем A(p) X(p) = C(p). Удобнее всего такое уравнение решать по Крамеру:

,

где Δ(p) — главный определитель (полином), l-й частный определитель (ряд).

После того, как определители будут раскрыты, получим

.

Старшая положительная степень ряда числителя может оказаться выше порядка знаменателя на Jl. При Jl ≥ 0 полученная дробь неправильная и, следовательно, для того, чтобы воспользоваться теоремой Хевисайда, из нее необходимо выделить целую часть:



,

где — целая часть, изображение сингулярной составляющей ; — правильная дробь, изображение регулярной составляющей . Теперь



.

Получили результат в виде суммы главной (степени p отрицательные) и правильной (степени p неотрицательные) частей ряда Лорана, где коэффициенты Sl,j и Rl,i теперь известны.

Далее идет «магическая» часть, которую можно понять, только сдав зачет по вуду.











Следовательно,



.




Это такая грязная работа, что ее должны выполнять джентльмены. Премьер-министр Польши Тадеу
ещё >>