Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 2 курса гф

Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 2 курса ГФ.

Темы: «Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье. Дифференциальные уравнения. Численные методы решений уравнений». 4 семестр.

Числовой ряд, сходимость ряда и его основные свойства. Необходимый признак сходящего ряда. Достаточное условие расходимости ряда. Гармонический ряд.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак сравнения, предельный признак сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница, его доказательство. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Условная и абсолютная сходимость ряда.
Функциональный ряд и признак Вейерштрасса о его равномерной сходимости. Степенной ряд, теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
Ряд Тейлора, его частный случай ряд Маклорена. Теорема о сходимости ряда Маклорена. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.
Приложение степенных рядов к вычислению значений функций и вычислению определенных интегралов, оценка ряда. Пример.
Периодические функции, их основные свойства. Гармоническое колебание. Тригонометрический ряд Фурье и его коэффициенты. Свойство ортогональности.
Теорема Дирихле о достаточном условии разложения функции в ряд Фурье. Геометрическая интерпретация теоремы на примере. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Разложение функции с произвольным периодом в ряд Фурье. Представление непериодической функции рядом Фурье. Продолжение функции четным, нечетным образом.
Комплексная форма ряда Фурье, вывод формул для его коэффициентов. Амплитуды гармоник.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (Д.У.). Геометрический смысл Д.У. первого порядка. Изоклина. Общее и частное решения Д.У., их геометрический смысл. Теорема существования и единственности решения задачи Коши, ее геометрический смысл.
Дифференциальные уравнения с разделенными и с разделяющими переменными. Особые решения. Однородные дифференциальные уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения, методы его решения: метод И.Бернулли и метод Лагранжа (привести решение одним из методов). Уравнение Я.Бернулли.
Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро.
Дифференциальные уравнения (Д.У.) высших порядков, их общие и частное решения. Геометрический смысл решения Д.У. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Д.У., высших порядков, допускающих понижения порядка, не содержащие явно функции и ее первой производной.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижения порядка, не содержащие явно функции, не содержащие явно переменной.
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго порядка. Линейно зависимые и линейно независимые функции. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Структура общего решения ЛОДУ.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (три случая).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка. Структура общего решения ЛНДУ. Построение частного решения ЛНДУ второго порядка со специальной правой частью.
Численные методы решений уравнений. Геометрический смысл методов хорд и касательных. Метод итерации-метод повторений.

Литература.

Д.Т.Письменный Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. Москва. Айрис-пресс.2007.
Р.С.Гутер, Б.В.Овчинский Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М. Изд-во «Наука». 1970

Пояснения: для студентов ГФ-1-1б-СП рассматривать только семнадцать вопросов.