Дедуктивные умозаключения в начальной школе - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Организация акмеологического пространства урока в начальной школе 1 126.33kb.
«История школы в фотографиях» 1 66.91kb.
Отчет о проведениии предметной недели по окружающему миру в начальной... 1 47.08kb.
Статья отнесена к разделу: Преподавание в начальной школе 1 94.55kb.
Использование методов проблемного обучения в начальной школе Выступление... 1 138.28kb.
«Двенадцать месяцев» Данный видеоматериал предназначен для использования... 1 37.12kb.
Пояснительная записка в начальной школе происходят существенные изменения... 1 239.42kb.
Из опыта работы по внеклассному чтению 6 695.74kb.
О гражданском воспитании в начальной школе 1 107.71kb.
Ж. А. Шалашова, учитель начальных классов высшей категории мбоу «сош... 1 86.63kb.
Использование игровых технологий на уроках русского языка и литературы... 1 184.25kb.
Задачи теорий массового обслуживания 1 47.82kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Дедуктивные умозаключения в начальной школе - страница №1/1




Дедуктивные умозаключения в начальной школе

Департамент образования города Москвы Педагогический колледж №5 Специальность 0312 «Обучение построению дедуктивных умозаключений при решении задач в 4 классе». Выпускная квалификационная работа студента Кудряшовой Натальи Михайловны «К» группы 3 курса дневного отделения Научный руководитель: Ситникова Галина Юрьевна. Рецензент: Галкина Неля Николаевна. Оценка (ГАК) Москва, 2003 год. СодержаниеВведение. … 3Глава 1.1.1. История возникновения и этапы развития теории дедукции.… 61.2. Общая характеристика дедукции и дедуктивных умозаключений.… 71.3. Структура дедуктивных умозаключений.… 91.4. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов.… 111.5. Роль математики в развитии логического мышления детей.… 151.6. Психолого-педагогические особенности младших школьников. … 171.7. Организация различных форм работы с младшими школьниками… 21 при решении задач.Глава 2.Практическая часть.… 241.Констатирующий этап. …242. Формирующий этап. …253. Контрольный этап. …263.1. Итог. …273.2. Вывод. …28Заключение. …30Список литературы.… 33Приложения. Введение. О роли математики в современном мире, о математизации знаний написанонемало различных книг. Стало очевидным, что в наше время трудно указатьобласть математики, не нашедшую применения в огромном разнообразии проблемпрактики, а также область человеческого знания, которая не пользовалась быматематическими методами. Необходимо не только описывать уже установленныефакты, но и предсказывать новые закономерности. Математизация наших знанийсостоит не только в том, чтобы использовать готовые математические методы ирезультаты, но и в том, чтобы наиболее полно и точно описывать интересующийнас круг явлений, выводить следствия и использовать полученные результатыдля практической деятельности. Реализация современной роли математики предполагает улучшениематематической подготовки учащихся, важное место, в которой отводитсяумению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике.Особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания, так иот опытных наук вообще, является, как правило, дедуктивный характер еедоказательств. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям иэкспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначеобстоит дело в математике. Теорема считается доказанной только в томслучае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблемаобучения учащихся приемам дедукции всегда являлась одной из центральных вметодике преподавания математики. В настоящее время актуальность умения строить дедуктивныеумозаключения возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизацииобразования предполагает направленность обучения на развитие личности, вчастности на развитие различных мыслительных процессов, чему способствуетобучение построению дедуктивных умозаключений. Другими словами, обучениепостроению дедуктивного умозаключения должно быть одной из целейматематического образования и являться составляющей основы конструированиясодержания обучения математики в начальной и средней школе. Последнеезаставляет взглянуть на проблему обучения дедукции учащихся с более широкихпозиций. С переходом в среднее звено школы учащиеся знакомятся с такимпредметом как геометрия, где весь курс построен на различного родадоказательствах, проводимых именно дедуктивным путем. И если в начальныхклассах мы не научим детей правильно рассуждать и пользоваться дедукцией,то в дальнейшем учащиеся столкнуться с множеством проблем, так как несмогут доказать ни теорему, ни вывести заключение или вывод. Однако при кажущемся обилии научного материала по этой тематикеприходится признать, что конкретного фактического материала, позволяющегостроить обучение школьников с учетом особенностей логического мышления,нет. Существует множество методических пособий по курсу математики вначальной школе, но в ходе нашей работы нам не встретилось ни одного, вкотором были бы собраны и обобщены данные, позволяющие развивать в системелогическое мышление школьников на уроках математики, не выходя за рамкикурса. Поэтому мы получаем противоречие: с одной стороны мы имеем огромноеколичество методических пособий и сборников интересных заданий, а с другой– неумение или нежелание учителей обучать детей строить дедуктивныеумозаключения при решении задач, проводить аналитико-синтетическую работуна уроке. Обычно все сводится к записи решения задачи или нахождениюзначения того или иного выражения. И затрагивая вопрос о целесообразностинашей работы можно сказать, что данное исследование не только возможно, но,на наш взгляд, и необходимо провести. Умение строить дедуктивные рассуждения (умозаключения) являетсяосновным методом математической науки и одним из особых средств усвоениякурса математики в средней школе. Осуществление преемственности междуобучением в начальных классах и в средней школе очень важно. Уже в младшихклассах надо проводить определенную работу по формированию умения строитьправильные дедуктивные умозаключения. В процессе обучения дедуктивнымумозаключениям, обращаясь к наблюдению, сравнению, то есть доступным дляних операциям, которые активизируют деятельность и на основе которых онимогут самостоятельно сделать вывод. Возможность же использованиядедуктивных рассуждений (умозаключений) в начальных классах на первыйвзгляд довольно ограничена, тем не менее, дедуктивные рассуждения следуетиспользовать при изучении начального курса математики, так как именно онивоспитывают строгость, четкость и лаконичность мышления.И если мы будем строить дедуктивные умозаключения при решенииматематических задач, то с одной стороны учащиеся будут учиться правильномыслить, а с другой – совершенствовать умение решать поставленные передними задачи, аргументировано и доказательно. Объектом нашего исследования является умение строить дедуктивныеумозаключения при решении задач на уроках математики. Предметом нашего исследования стала методика, позволяющая научитьдетей строить дедуктивные умозаключения при решении задач, используяразличный математический материал. Целью нашего исследования являлась разработка системы заданий,позволяющих развивать умение строить дедуктивные умозаключения на урокахматематики в 4 классе. После анализа литературы по интересующему нас вопросу мы выдвинулигипотезу, что развивать умение строить дедуктивные умозаключения, учитьрассуждать и доказывать на уроках математики, возможно при условиииспользования системы всевозможных задач. Назовем задачи, которые определили содержание и структуру нашегоисследования в его теоретической и экспериментальной частях:1. Исследовать вопрос возникновения и развития теории дедукции: её историко- теоретический аспект.2. Изучить основные понятия о дедукции и дедуктивных умозаключений.3. Рассмотреть психолого-педагогические особенности младших школьников.4. Рассмотреть логико-психологические проблемы начального курса математики в учебном процессе.5. Определить приемы активизации мыслительной деятельности при обучении построению дедуктивных умозаключений при решении задач на уроках математики у учащихся 4-х классов и проверить их на практике. Глава 1. 1. 1. История возникновения и этапы развития теории дедукции. Чтобы повысить общекультурный уровень учащихся, учителю необходимо знать,как же возникла дедукция и какие этапы проходила. Впервые теория дедукции была обстоятельно разработана Аристотелем. Онвыяснил требования, которым должны отвечать отдельные мысли, входящие всостав дедуктивного умозаключения; определил значение терминов и раскрылправила некоторых видов дедуктивных умозаключений. Положительной сторонойаристотелевского учения о дедукции является то, что в нем отобразилисьреальные закономерности объективного мира. Переоценка дедукции и ее роли в процессе познания особенно характернадля Декарта. Он считал, что к познанию вещей человек приходит двумя путями:путем опыта и дедукции. Но опыт вводит часто нас в заблуждение, тогда какдедукция избавлена от, этого недостатка. Английский философ Д. С. Милль утверждал, что дедукции вообще несуществует, что дедукция - это только момент индукции. По его мнению, людивсегда заключают от наблюдавшихся случаев к наблюдавшимся случаям, а общаямысль, с которой начинается дедуктивное умозаключение, - это всего лишьсловесный оборот, обозначающий суммирование тех случаев, которые находилисьв нашем наблюдении, только запись об отдельных случаях, сделанная дляудобства. Единичные случаи, по его мнению, представляют собою единственноеоснование вывода. В процессе изучения индукции и дедукции можно рассматривать ихраздельно, но в действительности, говорил русский логик Рутковский, всенаиболее важные и обширные научные исследования пользуются одной из нихстолько же, сколько и другой, ибо всякое полное научное исследованиесостоит в соединении индуктивных и дедуктивных приемов мышления. В правильном мышлении, таким образом, одинаково важны и индукция, идедукция. Они составляют две неразрывные стороны единого процесса познания,которые дополняют друг друга. Нельзя себе представить такое мышление,которое совершается только индуктивно или только дедуктивно. Индукция впроцессе реального опытного исследования осуществляется в неразрывной связис дедукцией. Под термином “дедукция” в узком смысле слова понимают такжеследующее:1. Метод исследования, заключающийся в следующем: переход от знания болееобщих положений к знанию менее общих положений.2. Форма изложения материала в книге, лекции, докладе, в беседе, когда отобщих положений, правил, законов идут к менее общим положениям, правилам,законам. Из всего выше сказанного мы можем сделать вывод, что учителюнеобходимо не только знать историю, но и знать определение дедукции, а также правила ее построения. 1. 2. Общая характеристика дедукции и дедуктивных умозаключений. ДЕДУКЦИЯ (лат. deductio - выведение) - в широком смысле слова - такаяформа мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем (позаконам логики) из предшествующих мыслей. Такая последовательность мыслейназывается выводом, а каждый компонент этого вывода является либо ранеедоказанной мыслью, либо аксиомой, либо гипотезой. Последняя мысль данноговывода называется заключением. Процессы дедукции на строгом уровне описываются в исчисленияхматематической логики. В узком смысле слова, принятом в традиционной логике, под термином“дедукция” понимают дедуктивное умозаключение, то есть такое умозаключение,в результате которого получается новое знание о предмете или группепредметов на основании уже имеющегося некоторого знания о них, и примененияк ним некоторого правила логики. Дедуктивное умозаключение, являющееся предметом традиционной логики,применяется нами всякий раз, когда требуется рассмотреть какое - либоявление на основании уже известного нам общего положения и вывести вотношении этого явления необходимое заключение. Структура дедуктивного умозаключения и принудительный характер егоправил, заставляющих принять заключение, логически вытекающее из посылок,отобразили самые распространенные отношения между предметами материальногомира: отношения рода, вида и особи, то есть общего, частного и единичного. Именно это и отобразилось в дедуктивном умозаключении: единичное ичастное подводится под общее. Дедукция играет большую роль в нашем мышлении. Во всех случаях, когдаконкретный факт мы подводим под общее правило и затем из общего правилавыводим какое-то заключение в отношении этого конкретного факта, мы делаемзаключение в форме дедукции. И если посылки истинны, то правильность выводабудет зависеть от того, насколько строго мы придерживались правил дедукции,в которых отобразились закономерности материального мира. Так, чтобыудостовериться в том, что заключение действительно вытекает из посылок,которые иногда даже не все высказываются, а только подразумеваются, мыпридаем дедуктивному рассуждению форму силлогизма: находим большую посылку,подводим под нее меньшую посылку и затем выводим заключение. При этомобращаем внимание на то, насколько в умозаключении соблюдены правиласиллогизма. Применение дедукции на основе формализации рассужденийоблегчает нахождение логических ошибок и способствует более точномувыражению мысли. Анализируя практику мышления, можно обнаружить самые разнообразныевиды умозаключений. Они различаются:1. числом посылок - одна, две и более;2. типом суждений - простое или сложное;3. видом суждений - атрибутивное или реляционное;4. степенью вероятности вывода - достоверный или вероятный. Всякое умозаключение вообще представляет собой логическое следованиеодних знаний из других, в зависимости от характера этого следования, отнаправленности хода мысли в умозаключении. Можно выделить три коренных,фундаментальных типа, которые и будут положены в основу последующегоанализа выводного знания. Это дедукция, индукция и традукция. Наряду с делением умозаключений по строгости вывода огромное значениеимеет их классификация по направленности логического следования, то есть похарактеру связи между знанием различной степени общности, выраженному впосылках и заключении. С этой точки зрения различают три видаумозаключений: 1. дедуктивные (от общего знания к частному); 2. индуктивные (от частного знания к общему); 3. умозаключения по аналогии (от частного знания к частному). 1. 3. Структура дедуктивных умозаключений. Умозаключение — это способ получения нового знания на основенекоторого имеющегося. Этот способ представляет собой переход от некоторых высказываний,фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новомувысказыванию и соответственно к знанию о наличии ситуации, которуюописывает это высказывание. Переход от некоторых высказываний (посылок умозаключения) квысказыванию (заключению) в умозаключении может совершаться на основеинтуитивного усмотрения какой-то связи - такие умозаключения называютсодержательными; или путем логического выведения одного высказывания издругих - это умозаключения формально-логического характера. В первом случаеоно представляет собой, по существу, психический акт. Во втором случае егоможно рассматривать как определенную логическую операцию. Последняя иявляется предметом изучения логики. В содержательных умозаключениях мы оперируем, по существу, не с самимивысказываниями, а прослеживаем связь между ситуациями действительности,которые эти высказывания представляют. Это и отличает содержательныеумозаключения от умозаключений как операций логического характера,называемых иногда формализованными умозаключениями. В этих умозаключенияхоперации совершаются именно над высказываниями самими по себе, причем поправилам, которые вообще не зависят от конкретного содержания высказываний.Для содержательных умозаключений нет никаких определенных критериев этогорода и всегда возможен спор - рассуждает ли человек правильно или нет.Именно формализованные умозаключения являются предметом изучения логики. Иименно их мы имеем в виду в дальнейшем. В умозаключении, как мы уже говорили, различают посылки -высказывания, представляющие исходное знание, и заключение - высказывание,к которому мы приходим в результате умозаключения. В естественном языке существуют слова и словосочетания, указывающиекак на заключение («значит», «следовательно», «отсюда видно», «поэтому»),так и на посылки умозаключения («так как», «поскольку», «ведь»).Представляя суждение в некоторой стандартной форме, в логике принятоуказывать вначале посылки, а потом заключение, хотя в естественном языке ихпорядок может быть произвольным: вначале заключение - потом посылки;заключение может находиться «между посылками». Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятиемлогического следования. Учитывая эту связь, мы различаем правильные инеправильные умозаключения. Умозаключение, представляющее собой переход от посылок к заключению,является правильным, если между посылками и заключением имеется отношениелогического следования. В противном случае - если между посылками изаключением нет такого отношения - умозаключение неправильно. В делении умозаключений на правильные и неправильные мы должныразличать отношение логического следования двух видов – дедуктивное ииндуктивное. Первое гарантирует истинность заключения при истинностипосылок. Второе - при истинности посылок - обеспечивает лишь некоторуюстепень правдоподобия заключения (некоторую вероятность его истинности).Соответственно этому умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные.Первые иначе еще называют демонстративными (достоверными), а вторые -правдоподобными (проблематичными). Мы можем заключить, что учителю, как специалисту, необходимо знать иуметь строить умозаключения. Именно от качества знания этого вопросазависит реализация поставленных нами целей и задач. Но для того, чтобыболее подробно рассмотреть этот вопрос на практике, нам надо увидеть роль иместо, занимаемое дедуктивными умозаключениями в курсе математики начальныхклассов. 1. 4. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов. Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается,прежде всего, в их тесной связи с индуктивными. Собственно поэтому исоздается впечатление, что дедуктивные рассуждения как таковые отсутствуютв курсе математики начальных классов. Здесь дело в том, что длясознательного проведения дедуктивных умозаключений при решении задачнеобходима большая подготовительная работа, направленная на сознательноеусвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенностимышления младшего школьника, которое отличается конкретностью. Носознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшемдедуктивным рассуждением. Для того чтобы учащиеся более осознанно моглипользоваться дедуктивными умозаключениями при решении задач, необходимопроводить пропедевтику по исследуемой теме. Начинать надо с самогоэлементарного и далее продвигаться к более сложным заданиям, таким, какрешение нестандартных математических задач. Например: приступая к составлению таблиц, необходимо сосредоточитьвнимание учащихся на общем выводе. Уже в самом начале обучения мы проводимпропедевтику использования дедуктивных умозаключений. Вот образецрассуждений: 1. Если к числу прибавим один, то получим следующее число; 2. К одному прибавим один, получим следующее число два; 3. К двум прибавим один, получим следующее число три. При решении примеров на порядок действий рассуждения учащихся носятдедуктивный характер. В качестве общей посылки выступает правило выполненияпорядка действий в выражении, в качестве частной – конкретное числовоевыражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуютсяправилом порядка действий. Данные знания понадобятся нам в дальнейшем прирешении задач и различными формами работы над ней. «Практика показывает, что для усвоения общих положений, правил,выводов учащимся требуется большое количество конкретных упражнений. Тольков результате целенаправленной длительной работы в этом направлении появитсявозможность для благотворного развития логического мышления младшихшкольников»[8]. Для того чтобы заинтересовать детей математической логикой мы должныразработать интересные и увлекательные задания, которые дети судовольствием выполняли бы и которые послужили бы пропедевтикой для решениянестандартных задач. Приведем некоторые задания для примера: «Ответьте, правильно ли данное рассуждение (умозаключение), Если нет,то почему?»1. Пианино – это музыкальный инструмент. У Вовы дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома пианино.2. Классные комнаты надо проветривать. Квартира – это не классная комната. Значит, ее не надо проветривать.3. Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. В примере 100+100+100+100 все слагаемые одинаковые. Значит сумма 100+100+100+100 – это произведение 100*4. Можно использовать также задания на продолжение рассуждений, например: Закончи следующие рассуждения:1. Домашние животные полезны. Лошадь и осел – домашние животные …2. Все деревья растения. Тополь и березы растения …3. Если одно число при счете называют раньше, чем другое, то это число меньше. При счете 3 называют раньше 5 … Описанная выше работа ни в коем случае не превышает требованиепрограммы по математике для начальных классов, так как, уделяя значительноевнимание формированию у учащихся осознанных и прочных, доведенных доавтоматизма навыков вычисления, программа предполагает вместе с тем идоступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов изаконов, лежащих в основе изучаемых математических фактов, и осознание техсвязей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями. А даннуюработу нельзя проводить, не формируя у детей умения рассуждать. Логико-психологические проблемы начальной математики как учебногопредмета, в последнее время у нас и за рубежом часто обсуждаются. Вопросстоит о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе.Эти программы не обеспечивают должного развития математического мышленияучащихся, не обладают преемственностью и цельностью по отношению кначальной и средней школ. В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается понятие оее предмете, об исходных и всеобщих его признаках (работы Н.Бурбаки). Этообстоятельство тесно связано с определением природы самой математическойабстракции, способов ее выведения, то есть с логической стороной проблемы,которую нельзя не учитывать при создании учебного предмета. С поступлением ребенка в школу в его жизни происходят существенныеизменения, коренным образом меняется социальная ситуация развития,формируется учебная деятельность, которая является для него ведущей.Обучение выдвигает мышление в центр сознания ребенка. Тем самым мышлениестановится доминирующей функцией. С началом обучения в школе у ребенка не только расширяется кругпредставлений и понятий, но и сами представления и понятия становятся болееполными и точными. В процессе обучения в школе совершенствуется, и способность школьниковформулировать суждения и производить умозаключения. Суждения школьниковразвиваются от простых форм к сложным постепенно, по мере овладениязнаниями. Первоклассник в большинстве случаев судит о том или ином фактеодносторонне, опираясь на единичный внешний признак или свой ограниченныйопыт. Его суждения, как правило, выражаются в категорической утвердительнойформе. Высказывать предположения, выражать и, тем более, оцениватьвероятность, возможность наличия того или иного признака, той или инойпричины ребенок еще не может. Умение рассуждать, обосновывать и доказывать то или иное положениеболее или менее уверенно и правильно тоже приходит постепенно и врезультате специальной организации учебной деятельности. Развитие мышления, совершенствование умственных операций, способностирассуждать прямым образом зависят от методов обучения. Умение мыслитьлогически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлятьсуждения по определенным правилам - необходимое условие успешного усвоенияучебного материала. Широкие возможности в этом плане дает решениелогических задач. Мы говорили о необходимости использования нестандартных логическихзадач на уроке математики в начальной школе и психологические исследованияпоследних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) раскрыли связь некоторых"механизмов" детского мышления с общематематическими и общелогическимипонятиями. На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законыкомпозиции", имеющие сложные математические определения, не могут бытьсвязаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Прежде всего, следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 - 10лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общихпредставлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления. В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формированияинтеллекта детей и возникновения у них общих представлений одействительности, времени и пространстве изучались известным швейцарскимпсихологом Жаном Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеютпрямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка. 1. 5. Роль математики в развитии логического мышления детей. Математика способствует развитию творческого мышления, заставляяискать решения нестандартных задач, размышлять над парадоксами,анализировать содержание условий теорем и суть их доказательств, изучатьспецифику работы творческой мысли выдающихся ученых. В математикелогическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать общуюлогическую культуру мышления; и основным моментом воспитательной функцииматематического образования считается развитие у учащихся способностей кполноценной аргументации. В обыденной жизни и в ряде естественнонаучныхдискуссий аргументацию почти не удается сделать исчерпывающей, в математикеже дело обстоит иначе: «Здесь аргументация, не обладающая характеромполной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможностьобоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасываетсякак лишенная какой бы то ни было силы … Изучая математику, школьник впервыев своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценнойаргументации»[16]. А. Я. Хинчин сформулировал некоторые конкретныетребования, выполнение которых обеспечивает полноту аргументации. Среди них– борьба против незаконных обобщений и необоснованных аналогий, борьба заполноту дизъюнкций, за полноту и выдержанность классификаций. Математический стиль мышления, по характеристике А. Я. Хинчина.Определяется следующими особенностями:1. Доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждений;2. Лаконизм - сознательное стремление всегда находить кратчайший из ведущих к данной цели логический путь;3. Четкое разбиение хода рассуждений;4. Скрупулезная точность символики. Указанные черты стиля математического мышления школьников, позволяютразвитию их интеллектуального потенциала. На уроках математики учащиесяоперируют всеми формами мышления: понятиями, суждениями, умозаключениями. Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развиватьлогическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе,в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как это делать,учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитиелогического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинствоучащихся, даже старшеклассников, не овладевает начальными приемамилогического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование). Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика.Причина столь исключительной роли математики в том, что это самаятеоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровеньабстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний являетсяспособ восхождения от абстрактного к конкретному. Как показывает опыт, вмладшем школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышленияявляется решение школьниками нестандартных логических задач. Кроме того, решение нестандартных логических задач способно привитьинтерес ребенка к изучению математики. В этом отношении весьма характеренследующий пример. Крупнейший математик современности, создатель московскойматематической школы, академик Николай Николаевич Лузин, будучигимназистом, получал по математике сплошные двойки. Учитель прямо сказалродителям Н.Н. Лузина, что их сын в математике безнадежен, что он туп и чтовряд ли он сможет учиться в гимназии. Родители наняли репетитора, с помощьюкоторого мальчик еле-еле перешел в следующий класс. Однако репетитор этот оказался человеком умным и проницательным. Онзаметил невероятную вещь: мальчик не умел решать простые, примитивныезадачи, но у него иногда вдруг получались задачи нестандартные, гораздоболее сложные и трудные. Он воспользовался этим и сумел заинтересоватьматематикой этого, казалось бы, бездарного мальчика. Благодаря такомутворческому подходу педагога из мальчика впоследствии вышел ученый смировым именем, не только много сделавший для математики, но и создавшийкрупнейшую советскую математическую школу. Значительное место вопросу обучения младших школьников логическимзадачам уделял в своих работах известнейший отечественный педагог В.Сухомлинский. Суть его размышлений сводится к изучению и анализу процессарешения детьми логических задач, при этом он опытным путем выявлялособенности мышления детей. О работе в этом направлении он так пишет всвоей прекрасной книге "Сердце отдаю детям": "В окружающем мире - тысячизадач. Их придумал народ, они живут в народном творчестве как рассказы-загадки". Сухомлинский наблюдал за ходом мышления детей, и наблюденияподтвердили, "что прежде всего надо научить детей охватывать мысленнымвзором ряд предметов, явлений, событий, осмысливать связи между ними…Изучая мышление тугодумов, я все больше убеждался, что неумение осмыслить,например, задачу – следствие: неумение абстрагироваться, отвлекаться отконкретного. Надо научить ребят мыслить абстрактными понятиями" Проблемой внедрения в школьный курс математики логических задачзанимались не только исследователи в области педагогики и психологии, но иматематики-методисты. Поэтому при написании работы использоваласьспециализированная литература, как первого, так и второго направления. 1. 6. Психолого-педагогические особенности младших школьников. Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается,прежде всего, в их тесной взаимосвязи с индуктивными. Собственно поэтому исоздается впечатление, что дедуктивные рассуждения как таковые отсутствуютв курсе математики начальных классов. Здесь дело в том, что длясознательного проведения дедуктивных рассуждений необходима большаяподготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общеговывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышлениямладшего школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательноеусвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивнымрассуждением. Проанализировав литературу, в которой рассматривается проблемаобучения дедуктивным умозаключениям, мы видим, что в ее решении преобладаетлогический подход, заключающийся в том, что основной акцент делается наисследование логических аспектов дедуктивных умозаключений: сущностидедуктивного умозаключения, его видов, правил вывода, обучения логическимдействиям, входящим в процесс дедуктивного умозаключения. Однако, несмотряна обилие работ, и рекомендаций по обучению учащихся дедуктивнымумозаключениям, владении ими, соответствующее умение находится на низкомуровне, о чем свидетельствуют многочисленные публикации. Основной причинойэтому является традиционная методика обучения дедуктивным умозаключениям,которые исходят, главным образом из отождествления дедуктивногоумозаключения с его логической формой. Работы В. А. Байдака, М. И. Бурды,Г. Р. Бреслер, С. Т. Обидныка, А. А. Столяра и многих других авторовпоказывают актуальность проблемы, где предметом исследований являетсяформирование и дальнейшее развитие умения строить дедуктивныеумозаключения, умение осуществлять цепочки дедуктивных рассуждений, приемымышления, адекватные исследуемой проблеме, воспитание потребности вдедуктивных умозаключениях. «Обучение дедукции, включающее разъяснение простейших схемдедуктивных рассуждений, неявно применяемых в доказательствах, являетсянеобходимым условием успешного применения дедукции как метода обучения,метода получения новых знаний».[14] Среди математиков, методистов и учителей распространены различныеточки зрения на обучение школьников дедуктивным умозаключениям. Так, З. И.Слепкань отмечает, что положительный эффект в обучении применению логики иматематической символики был обнаружен у способных школьников, а средние ислабые учащиеся по-прежнему плохо рассуждали и решали задачи. Попутнозаметим, что лучший результат дает обучение элементам логики наряду собучением общим умственным действиям (анализ, синтез, обобщение, сравнение,сопоставление) и специфическим действиям. При изучении данной проблемы учеными были выявлены трудности,возникающие у учащихся при построении дедуктивных умозаключений. Выделяютсятакие причины как: плохое качество знаний, неумение их применять,неосознанность умственных операций, неумение устанавливать связи междулогическими шагами. В качестве средств, устраняющих трудности, предлагаетсяиспользование приемов:1. формулирования общей идеи дедуктивного умозаключения;2. мотивации дополнительных построений;3. приведения плана дедуктивного умозаключения;4. проведения его с опорой на краткую запись;5. использования блок-схемы доказательства, таблиц. Концепция обучения дедуктивному рассуждению заключается не толькосодержанием понятия «дедуктивное умозаключение», но и целями, которыевыдвигаются в связи с их рассмотрением. Несомненно, и то, что ееформирование должно учитывать возрастные особенности школьников. Очевидназависимость обучения дедукции от содержания обучения математике, отпринятой структуры курса, ступеней обучения. Формирование концепцииобучения дедукции должно осуществляться с учетом методов обучения, средстви форм обучения математике. Таким образом, обучение дедукции представляетсобой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленнымисвязями между различными ее составляющими. Возможность ознакомления школьников с логическими схемами рассужденийв рамках даже ныне действующих учебников математики возросла. Дело в том,что упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию, выведениеследствий из факта принадлежности понятию являются неотъемлемым атрибутомметодики формирования математических понятий, а потому «проникли» во всеучебники математики. Рассматривая индивидуальные компоненты логического мышления, мыставили перед собой задачу выделить те его особенности, от которых зависитлегкость овладения однородными знаниями, темп продвижения в них, то естьсвязывали его с понятием общих способностей. У школьников эти свойства ихпсихики обуславливают успешность учебной деятельности, быстроту и легкостьв овладении новыми знаниями, широту их переноса, то есть выступают как ихобщие способности к учению. Для их обозначения в психологии широкоиспользуют термин (обучаемость(. Чем выше обучаемость, тем быстрей и легчеприобретает человек новые знания, тем свободнее оперирует ими вотносительно новых условиях, тем выше, следовательно, и темп егоумственного развития. Логическое мышление предполагает не только широкое использованиеусвоенных знаний, но и преодоление барьера прошлого опыта, отхода отпривычных ходов мысли, разрешение противоречий между актуализированнымизнаниями и требованиями проблемной ситуации, оригинальность решений, ихсвоеобразие. Использование дедукции и дедуктивных умозаключений в процесс поисканового закономерно. Однако чтобы найденные таким образом знания могли бытьпереданы другим, использованы для решения широкого круга задач, должны бытьхорошо осознаны как их существенные признаки, так и способы оперированияэтими знаниями. Вот почему одним из основных качеств ума, входящих вобучаемость, мы считаем осознанность своей мыслительной деятельности,возможность сделать ее предметом мысли самого решающего проблему субъекта. Это качество ума проявляется в возможности выразить в слове или вдругих символах (в графиках, схемах, моделях) цель и продукт, результатмыслительной деятельности (существенные признаки вновь сформированныхпонятий, закономерностей), а также те способы, с помощью которых этотрезультат был найден, выявить ошибочные ходы мысли и их причины, способы ихисправления. Неосознанность мыслительной деятельности проявляется в том,что человек не может дать отчета о решении задачи (даже если оно верное),не замечает своих ошибок, не может указать те признаки, на которые онопирался, давая тот или иной ответ. Внешне хорошо выраженная особенность логического мышления —самостоятельность при приобретении и оперировании новыми знаниями. Этокачество ума проявляется в постановке целей, проблем, выдвижении гипотез исамостоятельном решении этих задач, причем существенные индивидуальныеразличия по этому параметру экспериментально обнаружены уже у младшихшкольников. Итак, дедуктивные умозаключения с психолого-педагогической точкизрения играют огромную роль и являются источником и условием развитиялогического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Великоих значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. Кмоменту поступления ребенка в школу, он может, при правильной методикепреподавания, развивать у себя умение строить дедуктивные умозаключения.Именно дедукция является способом систематизации учебного материала. С еепомощью и посредством ее устанавливаются различные связи. Она являетсясредством мотивации и получения обучаемыми новых знаний, развиваетважнейшие интеллектуальные и учебные умения. Но для более продуктивнойработы, необходимо правильно организовать работу на уроке, используя, повозможности, различные формы работы с математическим материалом. 1. 7. Организация различных форм работы с логическими задачами. Выше неоднократно утверждалось, что развитие у детей логическогомышления – это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслитьлогически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлятьсуждения по определенным правилам – необходимое условие успешного усвоенияучебного материала. Основная работа для развития логического мышления должна вестись сзадачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развитиялогического мышления. Нестандартные логические задачи – отличный инструментдля такого развития. Конкретные примеры логических задач приведены вприложениях 1 и 2. Однако что зачастую наблюдается на практике? Учащимсяпредлагается задача, они знакомятся с нею и вместе с учителем анализируютусловие и решают ее. Но извлекается ли из такой работы максимум пользы?Нет. Если дать эту задачу через день-два, то часть учащихся может вновьиспытывать затруднения при решении. Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результатеприменения различных форм работы над задачей:1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторногоанализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твердых знанийпо математике.2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решениюзадач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь этоумение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Крометого, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль вбудущем.3. Правильно организованный способ анализа задачи - от вопроса или отданных к вопросу.4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать "картинку").Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательнопредставить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации.Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации спомощью чертежа, рисунка.5. Самостоятельное составление задач учащимися.Составить задачу: > используя слова: больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше; > решаемую в 1, 2, 3 действия; > по данному ее плану решения, действиям и ответу; > по выражению.6. Решение задач с недостающими данными.7. Изменение вопроса задачи.8. Составление различных выражений по данным задачи и объяснение, чтоозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являютсяответом на вопрос задачи.9. Объяснение готового решения задачи.10. Использование приема сравнения задач и их решений.11. Запись двух решений на доске - одного верного и другого неверного.12. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.13. Закончить решение задачи.14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, наоборот,восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче).15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.16. Решение обратных задач. Систематическое использование на уроках математики и внеурочныхзанятиях специальных задач и заданий, направленных на развитие логическогомышления, организованных согласно приведенной выше схеме, расширяетматематический кругозор младших школьников и позволяет более уверенноориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительностии активнее использовать математические знания в повседневной жизни.Глава 2.Практическая часть. Как уже было сказано во введении теоретической части нашей работы,умение строить дедуктивные рассуждения (умозаключения) является основнымметодом математической науки и одним из особых средств усвоения курсаматематики в средней школе. Это отмечает и Г. В. Дорофеев. Он писал:«Ответственность преподавателей математики особенно велика, так какотдельного предмета «логика» в школе нет, и умение логически мыслить истроить правильные умозаключения необходимо развивать с первых«прикосновений» детей к математике. И то, как этот процесс мы сможемвнедрить в различные школьные программы, будет зависеть какое поколениепридет нам на смену» (4( Именно такая позиция легла в основу постановки и проведенияпрактической части нашей работы. Тема: Обучение построению дедуктивным умозаключениям при решении задачв 4 классе. Цель: Подтвердить или опровергнуть гипотезу, выдвинутую втеоретической части данной работы. Разработать задания, которыеспособствовали бы развитию умения строить дедуктивные умозаключения прирешении задач, на примере различного математического материала. Эксперимент проводился в 4 «А» классе. Количество детей: 14 человек.Девочек – 6. Мальчиков – 8. 1. Констатирующий этап позволяет нам выявить уровень развитиялогического мышления у учащихся, выявить показатели сформированностиумений, таких как: умения решать нестандартные задачи и выстраиватьлогические цепочки. Определить приемы активизации творческой мыслительнойдеятельности с помощью дедуктивных умозаключений на уроках математики уучащихся 4-х классов. Полученные с помощью констатирующего экспериментаданные помогут определить задачи и разработать содержание и методыформирующего этапа исследования:1. Подготовленные нами варианты работ раздаются учащимся. Работа выполняется в двух аналогичных вариантах (варианты работ см. приложение 4).2. Учителем дается инструкция к выполнению каждого задания, указывая на то, что последующее будут сложнее предыдущего.3. Итог: в полученных работах можно выделить 3 уровня (критерии оценивания): > Высокий(5 заданий) > Средний(3-4 задания) > Низкий(меньше 3 заданий) [pic]1. Формирующий этап. На формирующем этапе своей работы мы ставим следующие задачи:1. Развивать логическое мышление.2. Формировать умение строить дедуктивные умозаключения и пользоваться ими на практике.3. Развивать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, сопоставление).Содержание работы.> давать задания с учетом возможностей детей, постепенно усложняя;> перед началом работы детей над тем или иным заданием, давать четкую инструкцию по его выполнению;> контролировать выполнение детьми данных заданий;> осуществлять контроль уровня сформированности умения строить дедуктивные умозаключения. На данном этапе, на практике реализуется составленная группа заданий,которые способствуют развитию логического мышления, путем построениядедуктивных умозаключений. 3. Контрольный этап. На данном этапе эксперимента с классом проводились такие формы работ: > Открытые уроки (содержание уроков см. приложение 5) > Практическая работа с классом (математический диктант). > Практическая работа с классом (см. приложение 3)Цель: Проверить уровень сформированности умения строить дедуктивныеумозаключения у учащихся при решении математических задач. Математический диктант. Данный вид работы позволяет учителю быстро и точно определить пробелыв знаниях учащихся. Мы предлагаем математический диктант, которыйприменялся на преддипломной практике. 1Начни или закончи высказывание:1. Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше, чем другое, надо…2. При умножении единицы на любое число получается…3. … нуля на любое число получается нуль.4. Для того чтобы найти скорость, нужно…5. Для того чтобы найти значение периметра прямоугольника, нужно…6. … , то значение разности равно нулю.7. … прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое. 21. У Вити и Мити было одинаковое количество гвоздей. Витя отдал Мите 3 гвоздя. Насколько больше гвоздей стало у Мити, чем у Вити?2. «Вот вам три таблетки, – сказал доктор. – Принимайте по одной через каждые 2 часа». Через сколько времени будет принята последняя таблетка?3. Петров на 8 лет моложе, чем Светлов. Петров на 3 года старше, чем Денисов. Кто моложе всех? На сколько лет Светлов старше Денисова? 3Вставь такие числа, чтобы неравенства были верными:__ х 6 ( __ х 9 Таким образом, целью данного диктанта является закрепление таких навыковкак сравнение значения выражения с числом, нахождение определеннойзакономерности, умение использовать дедуктивные умозаключения привычислениях и нахождении логических цепочек. Проводилось множество диктантов, в течение нашей работы, направленных назакрепление и другого материала, такого как: уравнения, порядок действий.Данный вид работы мы реализовывали, не выходя за рамки курса изученияматематики. Работы такого рода служили пропедевтикой по изучаемой нами темеи помогали при достижении поставленных нами целей. 3.1. Итог: проверив работы учащихся, мы сделали вывод о том, что уучащихся формируется навык использования дедуктивных умозаключений приразличных видах работ, таких как: составление выражений по условию задачи,навык сравнения выражения с числом, построение логических цепочек.Большинство учащихся допустили ошибки в задании, связанном с расстановкойзнаков действий, что говорит о том, что надо как можно больше работать надвариативностью мышления, чтобы научить детей смотреть и видеть на несколькошагов вперед. В приложении 1 и 2 приведены варианты заданий, которыеспособствовали реализации нашего исследования и приближению нашей цели креальности. На диаграмме контрольного этапа мы видим, что динамика развитияисследуемой проблемы весьма заметна. Если при первичной диагностики стеоретическим материалом справилось 30% учащихся, то после проведенной намиработы этот показатель повысился до 70%, что говорит о правильноподобранных методах и формах работы с детьми. Но, решая нестандартныезадачи, учащиеся все еще могут ошибаться и для того, чтобы избежатьдальнейших ошибок, нужно постоянно поддерживать интерес детей и развиватьих способности.[pic] 3.2.Вывод: Констатирующий эксперимент подтвердил положения, выдвинутые втеоретической части данной работы. Большинству учащихся трудно выделятьопределенные закономерности, выстраивать логические цепочки и решатьнестандартные задачи. Поэтому на формирующем этапе нашей работы мыопределили группу заданий, решение которых способствовало развитию умениястроить дедуктивные умозаключения. Группа заданий и форма выполнения, предложенных на формирующем этапе(см. приложение 3), вызвали интерес у учащихся. Нужно отметить активность исознательность учащихся при их выполнении. На наш взгляд, такой активизацииспособствовали занимательность и наглядность заданий. При выполнении первых заданий у детей возникли трудности в построениилогических цепочек, опираясь на дедуктивные рассуждения. Но в дальнейшемдети стали допускать меньше ошибок при ответах на вопросы и выполнениипрактических заданий. Заключение. Основной целью математического образования должно быть развитие уменияматематически, а значит, логически и осознанно исследовать явленияреального мира. Реализации этой цели может и должно способствовать умениястроить дедуктивные умозаключения при решении на уроках математикиразличного рода математических задач. Итак, в своей работе мы исследовали и доказали необходимостьиспользования дедуктивных умозаключений при решении задач. Именноразработав группу заданий, мы сможем улучшить математическую подготовкуучащихся, реализуя на практики поставленную нами цель. Организацияразличных форм работы с задачами поможет нам развивать у детей логическоемышление, с помощью умения строить дедуктивные умозаключения, иматематические способности. А так же поможет нам расширить детский кругозори разрушить стереотипы у детей при решении различного рода задач. Исходя извыше сказанного, мы можем заключить, что действительно, развивать умениестроить дедуктивные умозаключения, учить рассуждать и доказывать на урокахматематики, возможно при условии использования на уроках системывсевозможных задач, проводя из урока в урок аналитико-синтетическую работус каждым из заданий. И как мы говорили ранее, систематическое использованиена уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач и заданий,направленных на развитие логического мышления, расширяет математическийкругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться впростейших закономерностях окружающей их действительности и активнееиспользовать математические знания в повседневной жизни. В данной работе мы исследовали вопрос возникновения и развития теориидедукции, изучили основные понятия. Рассмотрели психолого-педагогическиеособенности младших школьников, место и роль дедуктивных умозаключений прирешении математических задач. А так же показали пропедевтические задания,которые можно использовать при обучении учащихся строить правильныедедуктивные умозаключения. Изучив эту проблему, и проанализировав литературу и передовой опытучителей-новаторов, мы пришли к выводу, что эта тема недостаточно изучена ипредставлено очень мало практических и методических разработок. В целяхсовершенствования преподавания математики целесообразна дальнейшаяразработка новых методик для развития умения правильно мыслить, рассуждатьи доказывать, используя дедуктивные умозаключения. В ходе нашей практики мыувидели необходимость систематического использования на уроках задач,способствующих формированию у учащихся познавательного интереса исамостоятельности. Целесообразно использовать на уроках задачи насообразительность и задачи-шутки. Учитывая индивидуальные особенностиучащихся, мы использовали задания различного типа, осуществляя личностно-ориентированный подход. Осуществляя целенаправленное обучение школьниковматематике, с помощью специально подобранных упражнений, мы учим ихнаблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, дедукцией, сравнениями иделать соответствующие выводы. На государственной практике мы выполняли различные по форме исодержанию работы, направленные на реализацию поставленных нами цели изадач. В ходе теоретического и экспериментального исследования полученыследующие основные результаты: Изучив психологические особенности учеников 4 «А» класса, мы выяснили,что целесообразно выбирать в качестве основного содержания работы системунестандартных заданий. Результаты, полученные в дипломной работе, позволяют сделать следующиевыводы:1. Разработанная система упражнений для учащихся по развитию умения строить дедуктивные умозаключения при решении задач, обеспечивает достаточную глубину усвоения основных математических понятий.2. Предложенная система заданий содействует более полному раскрытию связей между различными темами учебного материала.3. Используемые задания позволяют активизировать творческие способности учащихся при решении математических задач.4. Рекомендуемая методика позволяет научить детей решать логические задачи, строить дедуктивные умозаключения, разрешать проблемные ситуации и добиваться оригинальности решений. Таким образом, проведенное нами исследование позволяет утверждать, чтогипотеза, выдвинутая нами в теоретической части данного исследования,подтвердилась. Наше исследование показало, что, используя дедуктивныеумозаключения при решении задач, мы решаем одну из главных задач, а именно:развиваем логическое мышление школьников, учим детей правильно мыслить,аргументировать и доказывать, что важно, и даже, необходимо. Поиск новыхпутей активизации творческой деятельности школьников на уроках математикиявляется одной их неотложных задач современной методики математики. Поэтомуиспользование учителем начальной школы наших методических рекомендаций приразвитии умения использовать дедукцию при решении математических задач,является не только желательным, но даже необходимым элементом обученияматематике. Мы показали, что есть возможность использовать дедуктивныеумозаключения в начальных классах, и это даже необходимо, так как именноони воспитывают строгость, четкость и лаконичность мышления. Список литературы1. Атахов Р. В. Соотношение общих закономерностей мышления и математического мышления. Вопросы психологии, №5, 1995, С. 46;2. Гетманова А. Д. Занимательная логика. – М., «Владос», 1998, Ч. 1, С. 171;3. Гетманова А. Д. Логика. – М., «Добросвет», 2000, С. 137;4. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. Математика в школе, №6, 1990, С. 2-5;5. Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М., «Академия», 1998, С. 164;6. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М., 1968, С. 206-209, 291-293;7. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. – М., 1980. С. 127;8. Липина И. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. – 1999. - № 8. С. 37-39.9. Лехова В. П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов. – Начальная школа, 1988, № 5, С. 28-31;10. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М., 1975, Т. 1;11. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. – М., «Просвещение», 2000;12. Семенов Е. М., Горбунова Е. Д. Развитие мышления на уроках математики. Свердловск, 1966;13. Скаткин Л. Н. Методика начального обучения математике. – М., «Просвещение», 1972, С. 35;14. Стойлова Л. П. Математика. –М., «Академия», 1997, С. 96;15. Стойлова Л. П., Пышкало А. М. Основы начального курса математике. – М., «Просвещение», 1988, С. 32;16. Столяр А. А. Педагогика математики. – Минск, Вышэйшая школа, 1986;17. Хинчин А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики. Математика как профессия. - М., 1980. С. 36;




Если вы начинаете с самопожертвования ради тех, кого любите, то закончите ненавистью к тем, кому принесли себя в жертву. Джордж Бернард Шоу
ещё >>