Давид гильберт - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Давид гильберт 1 44.74kb.
Познание природы и логика Давид Гильберт 1 183.81kb.
Давид Гильберт в 1886 г 1 15.91kb.
Давид и голиаф, голиаф и давид, давид голиаф Давид и Голиаф 1 24.54kb.
Прп. Давид Гареджийский краткое житие 1 25.81kb.
All that David Copperfield kind of crap всю эту ерунду в духе Давида... 1 288.49kb.
Рене Давид. Основные правовые системы современности 64 7350.41kb.
Перевод Владимира Еремина 2 568.57kb.
Давид Самойлов Слова 1 22.39kb.
Литература 13 Кугультинов Давид Никитич (1922-2006), поэт 1 49.77kb.
Давид и Голиаф Израиль помнит много битв, побед и поражений 1 11.57kb.
Кафедра математики и информатики 10 1563.7kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Давид гильберт - страница №1/1

Р.М.Асланов
(Московский педагогический государственный университет)

ДАВИД ГИЛЬБЕРТ

(К ста пятидесятилетию со дня рождения)

Каждый человек имеет некоторый горизонт взглядов.

Когда он сужается и становится бесконечно малым,

то превращается в точку.

Тогда человек говорит: "Это моя точка зрения".

Гильберт Давид

Трудно писать о великих людях. Давид Гильберт - звезда немецкой и мировой математики. Гильберт давно вошел в историю мировой математики и останется в ней навсегда.

Давид Гильберт (Hilbert, David) немецкий математик, иностранный член-корреспондент РАН (1922) и иностранный почетный член АН СССР (1934). Окончил Кенигсбергский университет, в 1893-1895 гг. профессор там же, в 1895-1930 гг. профессор Геттингенского университета, до 1933 г. продолжал читать лекции в университете. Для его творчества характерна убежденность в единстве математической науки, в единстве математики и естествознания. Его труды оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, в которых он работал, Конец формы

а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Гёттинген в первой трети XX века являлся одним из основных мировых центров математической мысли. Диссертации большого числа крупных математиков (среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под его научным руководством.

Давид Гильберт математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков.

Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:

1. Теория инвариантов (1885-1893),
2. Теория алгебраических чисел (1893-1898),
3. Основания геометрии (1898-1902),
4. Принцип Дирихле и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900-1906),
5. Теория интегральных уравнений (1900-1910),
6. Решение проблемы Варинга в теории чисел (1908-1909),
7. Основы математической физики (1910-1922),
8. Логические основы математики (1922-1939).

Гильберт Давид, родился 23 января 1862 в г. Велау близ Кёнигсберга (ныне г. Калининград, Россия) в семье окружного судьи Отто Гильберта. .Давид был единственным сыном Гильбертов. С шести лет у него появилась сестра, названная Элизой.

Поступил в гимназию Фридрихсколлег, а в 1879 перешел в Вильгельм-гимназию. По ее окончании поступил в Кёнигсбергский университет, однако, вопреки желанию отца, записался не на юридический, а на математический курс.

В 1880 году окончил гимназию Вильгельма (Wilhelm Gymnasium). Далее, в том же году, Гильберт поступил в Кёнигсбергский университет, где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем( умер 18 ноября 1918 года). Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем; позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.

В феврале 1885 Гильберт защитил докторскую диссертацию, научным руководителем которой был Линдеман, а в следующем году стал профессором математики в Кёнигсберге

В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков

Особенностью научного творчества Гильберта является то, что его можно разделить на несколько периодов, в каждом из которых он занимался только задачами из одной области, а затем погружался в другую область. Период с 1885 по 1893 посвящен теории инвариантов. В этой уже значительно развитой области математики он доказал основную теорему о существовании конечного базиса в кольце всех инвариантов.

В мае 1885 по настоянию Гурвица отправился в Лейпциг, где посещал лекции Клейна и принимал участие в его семинаре. В марте 1886 по совету Клейна отправился на семинар в Париж, где прослушал лекции Пуанкаре, Пикара, Эрмита, Жордана. Вернувшись в Кёнигсберг, Гильберт представил габилитационные тезисы и прочел лекцию на факультете, после чего получил титул профессора.

В 1892 году женился на Кэте Ерош (Käthe Jerosch, 1864—17.01.1945). В следующем году родился их единственный сын, Франц (1893—1969), оказавшийся душевнобольным.

В марте 1895 при поддержке Клейна Гильберт получил место профессора Гёттингенского университета. В этом университете он оставался 35 лет, фактически до конца жизни. Вскоре Германское математическое общество предложило ему написать обзор по теории чисел. Работая над обзором, Гильберт систематизировал эту труднейшую область математики, объединил все известные результаты в строгую теорию.

Продолжением этих исследований стали работы по теории абстрактных полей, колец и модулей, фактически охватывающие современную алгебру. Работы Гильберта по теории инвариантов подвели черту под этой областью математики, и он перешел к новой теме, теории алгебраических числовых полей.

В одной из рецензий на эту работу о ней отзывались как о «вдохновенном произведении искусства», а введение было названо «одним из лучших достояний немецкой прозы». Спустя год после появления обзора, в 1898, вышла в свет работа Гильберта О теории относительно абелевых полей, в которой он дал набросок теории полей классов и после этого занялся другой областью — основаниями геометрии.

Он высоко ценил творчество Гете и Гомера, а в романах требовал больше действия.

Летом 1900 в Париже должен был пройти второй международный конгресс математиков, и Гильберт получил приглашение обозначиться на нем с одним из основных докладов. В докладе со скромным названием Математические проблемы им были сформулированы 23 задачи, постановка которых во многом определила формирование математики в 20 в. Ученый, которому удавалось найти решение одну из них или привнести вклад в ее вывод, немедленно становился знаменитостью.

Гильберт вступил на этот путь в 38 лет — в 1900 году, когда он сделал на Парижском математическом конгрессе доклад "Математические проблемы». Доклад, прочитанный 8 августа 1900 г.
на II Международном Конгрессе математиков
в Париже. Перевод с немецкого М.Г. Шестопал и А.В. Дорофеевой.
  В работе Конгресса приняло участие 226 человек: 90 человек из Франции, 25 из Германии, 17 из Соединенных Штатов, 15 из Италии, 13 из Бельгии, 9 из России, по 8 из Австрии и Швейцарии, по 7 из Англии и Швеции, 4 из Дании, по 3 из Голландии, Испании и Румынии, по 2 из Сербии и Португалии, 4 из Южной Америки, по одному делегату прислали Турция, Греция, Норвегия, Канада, Япония и Мексика.

Основными языками Конгресса были английский, французский, немецкий и итальянский.

Председателем Конгресса был избран Анри Пуанкаре, почетным председателем - отсутствовавший Шарль Эрмит (1822 - 1901), вице-председателями - Е. Чубер (Вена), К. Гейзер (Цюрих), П. Гордан (Эрланген), А. Гринхилл (Лондон), Л. Линделёф (Гельсингфорс), Ф. Линдеман (Мюнхен), Г. Миттаг-Леффлер (Стокгольм), отсутствовавший Э. Мур (Чикаго), М. А. Тихомандрицкий (Харьков), В. Вольтерра (Турин), Г. Цейтен (Копенгаген), секретарями Конгресса - И. Бендиксон (Стокгольм), А. Капелли (Неаполь), Г. Минковский (Цюрих), И. Л. Пташицкий (Петербург), отсутствовавший А. Уайтхед (Кембридж).

Генеральным секретарем Конгресса был избран Э. Дюпорк (Париж).

Работало шесть секций: 1) арифметики и алгебры (председатель Д. Гильберт, секретарь Э. Картан),

2) анализа (председатель П. Пенлеве, секретарь Ж. Адамар),

3) геометрии (председатель Г. Дарбу, секретарь Б. Нивенгловский),

4) механики и математической физики (председатель Ж. Лармо, секретарь Т. Леви-Чивита),

5) истории и библиографии математики (председатель принц Роланд Бонапарт, секретарь М. Окань),

6) преподавания и методологии математики (председатель М. Кантор, секретарь Ш. Лезан).

5-я и 6-я секции заседали вместе.

В день открытия Конгресса на общем заседании состоялось два часовых доклада: М. Кантора "Об историографии математики", в котором он сделал обзор работ по истории математики, начиная с Ж. Монтюкла и Г. Либри, и В. Вольтерра о научной деятельности Э. Бетти, Ф. Бриоски и Ф. Казорати.

Затем начались секционные заседания, на которых было сделано 46 сообщений, в том числе Л. Диксоном, Г. Миттаг-Леффлером, Д. Гильбертом, Ж. Адамаром, А. Капелли, И. Фредгольмом, И. Бендиксоном, В. Вольтерра и др.

Русская математика была представлена на Конгрессе единственным сообщением М.А. Тихомандрицкого "Об исчезновении функции Н нескольких переменных".

На заключительном общем заседании выступили Г. Миттаг-Леффлер, который рассказал о последних годах жизни Вейерштрасса по его письмам к С. В. Ковалевской, и А. Пуанкаре, сделавший доклад "О роли интуиции и логики в математике".

Так проходил Конгресс, на котором 8 августа на совместном заседании 5-й и 6-й секций Д. Гильберт прочитал свой доклад "Математические проблемы»

С тех пор прошел целый век — и видно, что ни один математик не превзошел Гильберта своим влиянием на развитие науки.

После Парижа Гильберт продолжал заниматься геометрическими исследованиями, при всем при том большую количество времени посвящал анализу. Начинался свежий отрезок времени его творческой жизни, в течение которого он немаловажно развил теорию интегральных уравнений Фредгольма и применил ее к ряду конкретных задач из теории дифференциальных уравнений. Введенное им понятие так называемого Гильбертова пространства (обобщающего понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай) составило одну из основ современного функционального анализа.

С 1902 года Гильберт — редактор самого авторитетного математического журнала «Mathematische Annalen».

В 1910-х годах Гильберт консультирует Эйнштейна и помогает ему в разработке четырёхмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для Общей теории относительности.

В 1920-х годах Гильберт и его школа сосредоточили усилия на построении аксиоматического обоснования математики

Работы по интегральным уравнениям привели Гильберта в пограничную область между математикой и физикой. Гильберту казалось, что настало время для проекта, предложенного им в Париже в качестве шестой проблемы 20 столетия, – аксиоматизации физики и других наук, связанных с математикой. Существовал раздел физики – кинетическая система газов, – где физические понятия естественным образом вели к интегральным уравнениям. Именно в этом месте он начал претворять в бытие свои планы. После этого занялся элементарной теорией излучения, понятия которой кроме того приводили к интегральным уравнениям. За следующие два года Гильберт опубликовал серию работ, в которых с помощью линейных интегральных уравнений получил основные результаты этой теории, заложил для них аксиоматическую основу и доказал непротиворечивость своих аксиом. Затем Гильберт пришел к молекулярной теории строения вещества и собирался заняться теорией электрона. Его подходы в этих областях напоминали прежние трактовки кинетической теории, и все-таки ни в жизнь не были опубликованы. С большим интересом следил Гильберт попытками Эйнштейна сотворить общую теорию относительности. Оба ученых пришли к цели без малого одновременно: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свои две работы « Об общей теории относительности» 11 и 25 ноября 1915, Гильберт же передал Королевскому научному обществу в Гёттингене свою первую заметку «Основания физики» 20 ноября. Несмотря на эти впечатляющие результаты, проект Гильберта «заковать физику» в рамки аксиоматического подхода не удался.


И сегодня, в начале 21века, из 23 проблем Гильберта не решёнными остались ТОЛЬКО две: проблема о нулях дзета-функции Римана (8 проблема) и проблема о предельных циклах (16 проблема).


Третья проблема. Учение о площадях в элементарной геометрии основывается на следующих четырех положениях:

Площади конгруэнтных фигур равны.

Если фигура разбита на две части, то её площадь равна сумме этих частей.

Если фигура  целиком помещается в фигуре , то площадь фигуры  не превосходит площади фигуры .

Площадь квадрата, сторона которого равна единице длины, равна единице.

Седьмая проблема Гильберта формулируется следующим образом: пусть a -положительное алгебраическое число, не равное 1, b - иррациональное алгебраическое число. Доказать, что ab есть число трансцендентное.

В 1934 году советский математик И.М. Гельфонд и чуть позже немецкий математик Шнайдер доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.

Когда-то, на заре своего существования, журнал "Квант" предложил своим читателям следующую задачу:

Пусть a и b --- иррациональные числа. Может ли число ab быть рациональным?

Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число - трансцендентное (поскольку - алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому - иррациональное. С другой стороны,

()=* =2=2.

Итак, мы просто предъявили такие числа: a=, b=. Однако эта задача может быть решена и без каких-либо ссылок на результат Гельфонда.

Среди читателей нашёлся школьник, который не знал, что такое седьмая проблема Гильберта, но прислал поразительно красивое решение. Он рассуждал так: "Рассмотрим число . Если это число рациональное, то задача решена, такие a и b найдены. Если же оно иррациональное, то возьмём

a=, b=, и ab=()=2".

Этот школьник предъявил две пары чисел a и b, таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это элегантное решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.



Десятая проблема. Эта проблема также связана с теорией чисел. Ещё древнегреческий математик Диофант пытался ответить на следующий вопрос:

Дано уравнение с целыми коэффициентами. Имеет ли оно целые решения?

Будучи ещё 20-летним учеником Андрея Николаевича Колмогорова в Московском государственном университете, в 1957 году В.И. Арнольд показал, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде комбинации конечного числа функций от двух переменных, тем самым решив тринадцатую проблему Гильберта

Гильберт заслуженно считается отцом метаматематики. Действительно, именно он создал метаматематику как самостоятельную науку; он боролся за её право на существование, имея за собой всю свою репутацию великого математика.

В 1950 году Американское математическое общество обратилось с просьбой к Герману Вейлю подытожить историю за первую половину двадцатого столетия. Отвечая, он писал, что, если бы терминология парижских проблем не была столь специальной, он смог бы выполнить требуемое задание исключительно в терминах тех проблем Гильберта, которые были решены, либо частично решены, - «схема, по которой математики часто измеряли наш прогресс» в течение прошедших пятидесяти лет. «Насколько лучше он предсказал будущее математики, чем любой политик смог предвидеть последствия войн и террора, которые должно было обрушить на человечество новое столетие».


Среди прямых учеников Гильберта в Гёттингене были Эрнст Цермело, Герман Вейль, Джон фон Нейман, Рихард Курант, Гуго Штейнгауз, шахматный чемпион Эммануил Ласкер и другие. Намного больше круг учёных, которые считали себя его учениками, в их числе, например, Вера Евгеьевна Миллер-Лебедева,Эмми Нётер и Алонзо Чёрч, Любовь Никалаевна Запольская(она представила диссертацию на степень доктора» О теории относительных кубических числовых полей»), Надежда Николаевна Гернет(она представила диссертацию на степень доктора « Исследование об одном новом методе в вариационном исчислении» и защитила с высшей похвалой) .

Любовь Никалаевна Запольская написала под влиянием монументального исследования Д. Гильберта «Теория алгебраических числовых полей. Работа называлась «О теории относительных кубических числовых полей» и писала ее Л. Н. Запольская под руководством Д. Гиль­берта.

Защите диссертации предшествовала сдача специальных экзаменов по математике, астрономии и физике. Экзамен по математике принимал сам Гильберт. В протоколе, хранящемся в архиве Геттингенского университета, рукой Д. Гильберта записаны вопросы, на которые отвечала Запольская: «Алгебра, доказательство существования корня уравнения и теория Галуа уравнений. Элементы теории аналитических функций, теорема Пикара о значении целой трансцендентной функции вблизи существенно особой точки. Элементы теории эллиптического абсолюта».

Ответы были уверенные, четкие и ясные. Они свидетельствовали об очень глубоких знаниях в области теории чисел и теории функций.

Интересно отметить, что все экзамены проходили в один день: 29 июня 1900 года. В протоколе отмечено время проведения каждого экзамена. Так, экзамен по математике Д. Гильберт начал в 5 ч 36 мин и закончил в 6 ч 33 мин.

Защита самой диссертации состоялась в 1902 году и прошла успешно. Диссертантка дала письменную клятву на латинском и немецком языках следующего содержания: «Настоящим клятвенно заверяю, что диссертация «О теории относительных кубических числовых полей» выполнена самостоятельно без недозволенной помощи». В архиве Геттингенского университета сохранился отзыв Д.Гильберта на диссертацию.



«Отзыв Д. Гильберта

Геттинген 9.11.1900

Работа посвящена главным образом кубическим уравнениям с целыми рациональными коэффициен­тами, которые рассматриваются с точки зрения новейшего развития теории алгебраических числовых полей.

Главные цели работы ясно указаны во введении: изучение полей с 6-й до 12-й степеней, которые образуются путем расширения сопряженных полей и полей соотношения между их дискриминантами и разложение чисел в простые множители этих и возникающих при построениях полей. Исследование всех возможных при этом случаев, а также исключений, которые действительно могут возникнуть, было проделано с чрезвычайной тщательностью и основательностью. Особенный интерес представляет последняя часть работы, результаты о кубических полях классов.

Богатый и тщательно подобранный числовой материал окажется полезным и ценным для всех математиков, которые занимаются теорией числовых полей.

Что касается прилежания и энергии и той меры одаренности, которые автор проявил в абстрактных рассуждениях и логических заключениях, то эта диссертация стоит наравне с лучшими диссертациями. При этом объективная научная ценность диссертации выше, чем у обычных диссертаций.

Я голосую за ее допущение к защите».

«Работа посвящена главным образом кубическим уравнениям с целыми рациональными коэффициен­тами, которые рассматриваются с точки зрения новейшего развития теории алгебраических числовых полей. … объективная научная ценность диссертации выше, чем у обычных диссертаций»- Давид Гильберт.

В 1902 году в Геттенгене на немецком языке была издана ее книга «Uber die Theorie der Relativ – abelschen cubischen ZahlkÖrper», посвященная одному из важных разделов современной алгебры – теории алгебраических числовых полей. Объем книги – свыше 480 страниц текста и 35 таблиц в приложении.

К зиме 1920–1921 интересы Гильберта начали смещаться в область математики. Теперь его главной целью была логическая формализация оснований математики. К 1922 у него сложился большой проект формализации математики с последующим доказательством непротиворечивости формализованной математики.

В один из тихих вечеров июня 1925года умер Ф. Клейн.

В 1934 и 1939 вышло два тома Оснований математики, написанных Гильбертом совместно с его ассистентом П.Бернайсом.

После прихода национал-социалистов к власти в Германии жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. Многие его коллеги, имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены эмигрировать. Однажды Бернхард Руст, нацистский министр образования, спросил Гильберта: «Как теперь математика в Гёттингене, после того как она освободилась от еврейского влияния?» Гильберт уныло ответил: «Математика в Гёттингене? Её больше нет» (нем. …das gibt es doch gar nicht mehr)[3]

В 1897 году выходит капитальная монография «Zahlbericht» («Отчёт о числах») по теории алгебраических чисел.

Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий. В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная Гильбертом совместно с С.Кон-Фоссеном.


Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания.
Собрание сочинений Гильберта, изданное под его наблюдением (1932-1935), кончается статьей «Познание природы», а эта статья – лозунгом «Мы должны знать – мы будем знать». Воистину, это можно считать девизом его жизни

На основе лекций в Гёттингенском университете была написана небольшая — всего 92 страницы — книга Основания геометрии, ставшая математическим бестселлером. Книга Основания геометрии была сразу же переведена на многие языки. А в это время Гильберт начал публиковать работы в еще одной, совершенно новой области математики.

В январе 1930 Гильберту исполнилось 68 лет – возраст, в котором профессор в Германии должен был отправляться в отставку. В зимнем семестре 1929–1930 он прочитал родное «Прощание с педагогической деятельностью», а весной 1930 ушел в отставку. хотя время от времени читал лекции студентам. Последнюю лекцию в Гёттингене Гильберт прочитал в 1933 году.

Его преемником на кафедре стал Герман Вейль.

Лет через 20 молодые ученики в шутку спросили Гильберта: решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики? Стареющий профессор ответил вполне серьезно: "Поймать муху на обратной стороне Луны!" Ученики опешили, а Гильберт объяснил: "Сама эта задача никому не нужна. Но подумайте: если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!"

Награды и почести


  • Премия имени Н. И. Лобачевского (1903), Казанское физико-математическое общество.

  • Премия Бойяи (1910), Венгерская академия наук.

  • Почётный гражданин Кёнигсберга (1930).

  • В честь учёного названа улица в Геттингене (Гильбертштрассе).

Был избран иностранным членом многих Академий наук. Давид Гильберт (Hilbert, David) немецкий математик, иностранный член-корреспондент РАН (1922) и иностранный почетный член АН СССР (1934).

Давид Гильберт умер 14 февраля 1943 года в возрасте 81 года в Гёттингене . За его гробом шло всего около десятка человек. Похоронен на городском кладбище Гёттингена Groner Landstrasse.

С его смертью математика потеряла одного из своих великих мастеров. Работы Гильберта немало послужили той счастливой гармонии, в которой развивается математика по сей день.

В 1962 году по случаю столетия со дня рождения Гильберта Рихард Курант произнёс речь в Гёттингене о работе Гильберта и её значении для математики:

«Гильберт показал нам своим впечатляющим примером, что опасности можно легко предупредить и что не существует разделения между чистой и прикладной математикой, а между математикой и наукой в целом может быть установлено плодотворное сотрудничество. Поэтому я уверен, что заразительный оптимизм Гильберта даже сегодня сохраняет свою жизнеспособность для математики, которая будет процветать только следуя духу Гильберта».

И пока сохраниться камень от надгробной плиты, установленной на могиле Гильберта в Гёттингене, именно этот оптимизм будет отдаваться от него эхом:


WIR MÜSSEN WISSEN
WIR WERDEN WISSEN
(«Мы должны знать. Мы будем знать»)

Однако по всему миру – в маленьких европейских странах, охваченных войной, Англии, Японии, России, США- оставались ученики Гильберта и ученики учеников Гильберта.



После смерти Гильберта едва ли можно встретить в мире математика, чья работа не была бы в той или иной степени связана с работами Гильберта: Гильбертово просттранство, неравенство Гильберта, преобразование Гильберта, инвариантный интеграл Гильберта, теорема непроводимости Гильберта, теорема Гильберта о базисе, аксиома Гильберта, подгруппа Гильберта, поле классов Гильберта

Труды в русском переводе

  • Гильберт Д. Избранные труды: В 2 томах. //Под ред. А. Н. Паршина. М.: Изд-во Факториал, 1998.

  • Том 1: Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. 575 с. ISBN 5-88688-029-1.

  • Том 2: Анализ. Физика. Проблемы Гильберта. Personalia. 607 с. ISBN 5-88688-039-5.

  • Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. — Серия: Классики естествознания.

  • Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: Издательская группа URSS, 2010, 304 с. ISBN 978-5-484-01144-5.

  • Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука.

  • Том I. Логические исчисления и формализация арифметики. 1979, 560 c.

  • Том II. Теория доказательств. 1982, 656 с.

  • Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, М.-Л., ОНТИ, 1936. — 304 с. Переиздание: Гостехиздат (1951), Едиториал УРСС (2010).

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том I, 1933. Том II, 1945.






Трагедия не в том, что любовь проходит; трагедия — это любовь, которая не проходит. Ширли Хаззард
ещё >>