Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Решение систем линейных уравнений с параметрами 1 21.48kb.
Программа вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010100. 1 150.63kb.
Программа итогового государственного экзаменa по специальности 010600... 1 94.78kb.
Программа по курсу "Методы оптимизации" 1 49kb.
Отчет по лр№1: «Решение систем линейных алгебраических уравнений... 1 62.18kb.
Решение линейных уравнений 1 74.06kb.
Занятие №1. Линейное уравнение с параметрами 1 18.19kb.
Iv. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 1 78.09kb.
Лекция №4 Прямые методы решения слау пусть дана система n линейных... 1 93.61kb.
Кафедра вычислительной математики продолжает 1 29.91kb.
Разработка программы на языке программирования Паскаль «Решения системы... 1 75.93kb.
Графический метод решения задач на оптимизацию 1 21.13kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами - страница №1/1

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.

Содержание

  1. Понятие уравнений с параметрами.

  2. Различные виды и методы решений линейных уравнений с параметрами.

  3. Задания для самостоятельной работы.

Рассмотрим уравнения, в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие уравнения называются уравнениями с параметрами, а буквы – параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

Решить уравнение с параметрами – значит, найти множество всех корней данного уравнения в зависимости от допустимого значения параметра. (Т.е. указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они, затем исследовать его относительно параметра)

Алгоритм решения уравнений с параметрами примерно таков:

  • Разбить область изменения параметра на промежутки, где при изменении параметра в каждом из них полученные уравнения решаются одним и тем же методом.(Границами промежутков служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными).

  • Отдельно на каждом промежутке находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра.

  • Ответ уравнения состоит из списков изменения параметра с указанием всех корней для каждого промежутка (или конкретных значений параметра).

Основные методы решения уравнений с параметрами.

  1. Решение простейших линейных уравнений с параметрами.

Исследуем линейное уравнение вида: ax =b (1)

  1. а0, bR, то уравнение (1) имеет единственный корень х= .

  2. а=0, b=0, уравнение (1) имеет корнем любое действительное число, т.е. хR.

  3. а0, 0, уравнение (1) не имеет корней.

Пример №1: ax = 5; при a=0 имеем 0х=5, чего не может быть,

тогда х , при а0 х= .

Пример №2: 0х=а; при а=0 получим 0х=0 хR, при а0 х .

Пример №3: Iхl=а, при а=0 х=0; при а>0 х=а, при а х .

Пример №4: ах-5=х+1

Решение

Приведем уравнение к виду: х(а-1)=6;

если а=1, то 0х=6, нет решений;

если а1, то х= .

Ответ: при а1 х = ; при а=1 нет решений.

  1. Более сложные линейные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением на ОДЗ.

Алгоритм решения таких уравнений:

  1. Найти ОДЗ.

  2. Решить уравнение относительно х.

  3. Определить контрольные значения параметра (к.з.п.)

  4. Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, не входящему в ОДЗ.

Пример №1 =3

Решение

  1. ОДЗ: х2

  2. К.з.п. а=0.

  3. Решим уравнение относительно х:

  • При а=0 уравнение имеет вид =3. Уравнение корней не имеет.

  • При а0 уравнение имеет вид а=3(х-2), отсюда х=

  1. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых х=2, т.е. решим уравнение: =2, а=0 ( т.е. приа=0 нет решений)

Ответ: при а0 х=; при а=0 нет решений.

Пример №2 =(х-1) +

Решение

1.ОДЗ: хR, а0.

2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на а0: 2(а-1)х=(х-1)а +5;

2ах -2х – ах = 5 – а;

(а-2)х = 5 – а.

  1. К.з.п. а = 2, т.к. коэффициент при х обращается в 0 при а=2

  • Если а=2, то 0х=3, нет решений;

  • Если а2, то х = .

Ответ: при а=2 нет решений; при а2 и при а0 х = ; при а=0 уравнение не имеет смысла.

Примечание. Если при каком-нибудь значении параметра а=а0 данное уравнение не имеет смысла, то нет и решений при а=а0. Обратное утверждение не верно. Бывает, что при контрольном значении параметра уравнение имеет корни, но они не входят в ОДЗ.

3.Уравнения, сводящиеся к линейным

Пример №1 Решить уравнение: m = +

Решение

  1. ОДЗ: т0, х1.

  2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на т(х-1)0, получим т2(х-1) = х – 1 + т – 1;

Х( т2 – 1) = т2+ т – 2;

Х(т-1)(т+1) = (т-1)(т+2).

  1. К.з.п. т= 1

  • Если т=1, то 0х=0, следовательно, х-любое действительное число, где х 1.

  • Если т=-1, то 0х=-2, нет решений.

  • Если т1 и т то х= .

  • Если т = 0, то нет решений.

  1. Проверим, нет ли значений параметра а, при которых найденное значение х равно 1:

= 1, т+2=т+1, 0т=1, нет решений.

Ответ: при т=0 и т=-1 нет решений; при т=1 х(-∞;1) (1;+∞); при т1 и

т х= .

Пример №2 Решить уравнение: = .

Решение

  1. ОДЗ: 0, х1.

2)Решим уравнение относительно х: (a+b)х = ab.

3) К.з.п.: a+b = 0, a = -b.

  • Если a = -b, то нет решений.

  • Если a-b, то х = .

  1. Найдем значения параметров а и b, при которых полученное значение х=1:

1 = , 2b = 0, b = 0. Следовательно, при b = 0 нет решений.

Ответ: при a-b и b0 х = ; при a = -b и b=0 нет решений.

Пример №3 (МГУ, 2002) При каких значениях параметра b уравнение

9х+ b2 – (2 - )b - 2 = b4х – b2(b + ) не имеет корней?

Решение

  1. ОДЗ: х .

  2. Решим уравнение относительно х:

(b4 – 9)х = b3 + (1+ ) b2 – (2 - )b -2,

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда



Первое уравнение системы имеет два корня: b1= , b2= - .

  1. Подставим во второе уравнение системы b1= , получим: 2+6 ;

b2= - , получим 0=0. Т.е. второму условию удовлетворяет b1= .

Ответ: при b= уравнение корней не имеет.

Решить самостоятельно уравнения

1) (а+5)(а-3)х=а2- 25 ( при аи а х= ; при а=3 ; при а=-5 хR)

2) а2х = а(х+2) – 2 ( при аи а х= ; при а=0 ; при а=1 хR)

3) = - ( при а=-3, а=-2, а=1/2 ; при а и а х= )

4)1+ = - ( при а и а х= ; при а=-3, а=0, а=1 )

5) Для каких значений а решение уравнения 10х-15а = 13- 5ах = 2а больше 2? (МГУ, 1982)

( х ( -; -2) ( 1; +)

Используемая литература:

  • Г.А. Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М. Просвещение.1972.

  • А.Г. Корянов. Задачи с параметрами. Брянск.2010.

  • М.А. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Углубленное изучение математики. М. Просвещение. 1992.







Красивая женщина не должна быть слишком умна — это отвлекает внимание. Марк Жильбер Соважон
ещё >>