А. И. Казанцева теоретическая механика - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Теоретическая механика 8 707.15kb.
Механическое движение как одна из форм движения материн. Предмет... 1 98.32kb.
Статика твердого тела 1 102.38kb.
Рабочая программа учебной дисциплины теоретическая механика Кафедра-разработчик... 4 338.13kb.
«Теоретическая физика» по физико-математическим наукам 1 116.43kb.
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Теоретическая... 1 207.8kb.
Методические указания для проведения практических занятий по курсу... 1 186.26kb.
Методические указания по курсу Специальность: 050502 технология и... 1 199.63kb.
Экзаменационные билеты по дисциплине «Теоретическая механика» 1 17.92kb.
Рабочая программа по дисциплине «Теоретическая механика» 4 377.3kb.
Программа минимум кандидатского экзамена по курсу «История и философия... 1 79.32kb.
«Основы кинематики»; исследовать различные виды движения тел, записать... 1 32.8kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

А. И. Казанцева теоретическая механика - страница №1/4


  • Министерство образования Российской Федерации

  • Южно-Уральский государственный университет


Филиал в г. Златоусте
  • Кафедра технической механики


531(07)

  1. К142



  • А. И. Казанцева




  1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА




  • Часть 2
  • КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА




  • Учебное пособие для самостоятельного изучения студентами


Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2002


УДК 531(075)
Казанцева А.И. Теоретическая механика: В 6 частях. Часть 2. Кинематика точки и твердого тела: Учебное пособие для самостоятельного изучения студентами. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. — 66 с.
Учебное пособие предназачено для самостоятельного изучения разделов теоретической механики «Кинематика точки», «Кинематика твердого тела». Пособие состоит из теоретической и практической частей. В разделе «Ответы и решения» даны примеры решения задач и анализ типичных ошибок, допускаемых студентами при их решении.

Пособие предназначено для студентов всех технических специальностей.


Ил. 68, список лит. — 4 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией филиала ЮУрГУ в г. Златоусте.

Рецензенты: В.С. Карманов, Л.Н. Родионова.

© Издательство ЮУрГУ, 2002.



  1. ВВЕДЕНИЕ

Программированное обучение базируется на достижениях кибернетики, как науки об общих закономерностях процессов управления и передачи информации, и представляет собой совокупность методов и средств оптимизации массового обучения на основе последовательного осуществления принципа программного управления. Главной задачей высшей школы в повышении качества обучения является программированное обучение, прежде всего, как система управления самостоятельной работой студентов.



  1. Основные требования к такой системе


  1. Увеличение числа часов на самостоятельную работу студентов во время, регламентированное расписанием.

  2. Обеспечение всех студентов учебниками и учебно-методическими пособиями.

  3. Самостоятельная работа в аудитории должна проходить под контролем преподавателя.

  4. Самостоятельная работа как аудиторная, так и домашняя должна сопровождаться самоконтролем студентов в процессе обучения и достаточно частым и эффективным контролем преподавателя по отдельным этапам изучаемого курса.

  5. Должна быть представлена возможность изучения курса в темпе, определяемом индивидуальными способностями каждого студента.

  6. Система должна обеспечить логическую связь между всеми формами учебного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа дома и в аудитории.

  1. Тема 1. ПРЕДМЕТ КИНЕМАТИКИ И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ В ТЕХНИКЕ


Кинематика изучает движение тел, независимо от причин, вызывающих и изменяющих эти движения (т.е. геометрические свойства движения). Кинематика является как бы вспомогательным, подготовительным этапом в изучении движений в динамики. Но вместе с тем кинематика имеет и самостоятельное значение. Результаты, полученные в кинематике, находят широкое применение в технике.

Методы и приемы кинематики используются при определении траекторий, скоростей и ускорений точек звеньев механизмов, при изучении преобразования одного движения в другое, при создании механизмов с наперед заданными кинематическими характеристиками.

Особенно возросло значение кинематики (как и всей механики) в настоящее время в связи с использованием космического пространства, с постройкой космических кораблей. Расчеты, основанные на законах механики, позволили установить геометрические формы кораблей, вычислить траекторию искусственных спутников Земли, космических кораблей настолько точно, что предсказанные задолго координаты спутника или корабля на небесной сфере, хорошо совпадают с наблюдаемыми. В конечном итоге развитием механики определяется уровень сегодняшнего машиностроения.



  1. Краткий исторический очерк

Сведения древних ученых по кинематике были очень скудными. Первыми объектами, движение которых стали изучать люди, были небесные тела: звезды, планеты. Наблюдения за движением звезд велись с 3000 г. до н.э. Но настоящей кинематики там еще не было: изучалось не движение планеты как искомого материального или геометрического объекта, а только различные особенности, явления, характеризующие движение рассматриваемой планеты. Настоящая кинематика появилась только у греков (IV в. до н.э.), когда стали строиться различные модели движений для каждой планеты в отдельности. Но все эти теории — теория планетных движений Птолемея, механизм эксцентриков Гиппарха и др. — были построены на понятии равномерного движения. Понятия «ускорение» в то время не было.

Термин «ускорение» появляется лишь в 19 в., когда кинематика выделилась из динамики. Название «кинематика» (от греческого слова «кинема» — движение) дано этому разделу в 1834 г. знаменитым физиком и математиком Ампером. Важность геометрического изучения законов движения отмечал еще Даламбер (1717–1783), но лишь Ампер (1775–1836) обосновал необходимость этого изучения.

Дальнейшее развитие основ кинематики связано с именами Шаля, Эйлера, Пуансо, Кориолиса.

В 1862 г. французским механиком Резалем (1828–1896) создан курс «Чистая кинематика», в котором даны аналитические методы изучения законов движения. С появлением этого курса кинематика окончательно утвердилась как самостоятельный раздел механики.
Философия курса
Как уже отмечалось, механика, а следовательно, и кинематика изучает простейшую форму движения — механическое движение. Движение в широком смысле слова есть форма существования материи. Кроме механического движения существуют и другие виды движения — биологическое, химическое и т.д. Механическое движение является простейшей формой движения и составной частью остальных, более сложных форм движения материи. Всякое движение происходит в пространстве и во времени. Пространство и время представляют собой формы существования материи. Они объективно реальны, т.е. существуют независимо от нашего сознания и не являются продуктом человеческой мысли. Обе эти формы неотделимы от материи. Без материи пространство и время — пустая абстракция. В классической механике пространство рассматривается как трехмерное евклидово пространство: все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу измерения длины принимают 1 м. Время в классической механике считается абсолютным, т.е. одинаковым во всех системах отсчета, во всех точках пространства, оно протекает «…само по себе, независимо от чего бы то ни было внешнего» (Ньютон). С математической точки зрения время является непрерывно меняющейся величиной, в зависимости от которой изменяются все другие величины.

Отчет времени ведется от некоторого начального момента, выбираемого в каждой задаче особо. Число секунд, прошедшее от некоторого начального момента до рассматриваемого, определяет данный момент времени t. Разность между двумя моментами времени называют промежутком времени.

За единицу времени принимают секунду. Пространство и время неразрывно связаны с материей и между собой, как учит диалектика. В классической же механике, отвлекаясь от действительности, считают пространство и время независящими как от материи, так и друг от друга. Эта абстракция делает выводы классической механики, как следует из теории относительности, приближенными. Но практика показывает, что эти выводы достаточно точны для движений, происходящих со скоростями, значительно меньшими, чем скорость света.
Система отсчета
Механическим движением называют изменение с течением времени положения тел относительно друг друга, т.е. всякое движение можно наблюдать и изучать относительно какого-либо тела, которое называют телом отсчета. Систему координат, связанную с телом отсчета, относительно которого рассматриваем изучаемое движение, называют системой отсчета.

Понятие «система отсчета» было введено Коперником. Он первый признал необходимость системы отсчета при изучении движения.

В кинематике движение тел изучается чисто с геометрической точки зрения и связь между движением и движущими силами не рассматривается. Поэтому в кинематике безразлично, как движется та система отсчета, относительно которой рассматриваем движение данного тела.

Кинематика изучает движение абсолютно твердых тел, которые можно рассматривать как совокупность точек. При движении тела точки его в общем случае движутся различно. Для полного изучения тела надо знать движение всех его точек. Поэтому сначала нужно изучить движение одной точки, а потом перейти к изучению движения всего тела. Раздел, в котором изучают движение точки, называется «Кинематика точки»; раздел, в котором изучается движение тела, называется «Кинематика твердого тела».




Кинематика точки
Раздел «Кинематика точки» рассчитан на 6 академических часов самостоятельной работы студентов.

Критерий успешного изучения раздела — правильные ответы на все вопросы самоконтроля, а также ответы на вопросы текущего контроля (по всему разделу) перед контрольной работой.

Изучив раздел, студент должен:

знать три способа задания движения точки, определение скорости и ускорения при каждом из этих способов;

уметь практически применять знания при выполнении домашних заданий и контрольных работ; задавать движение, отыскивать траекторию, скорость, ускорение точки, анализировать движение точки, переходить от одного способа задания к другому;

помнить формулы для отыскания скорости и ускорения точки при каждом способе задания движения ее.


Способы задания движения точки
Кинематически задать движение точки — это, значит, указать такой способ, с помощью которого можно определить положение движущейся точки в выбранной системе отсчета в любой момент времени.

Рассмотрим три способа задания движения точки: естественный, координатный и векторный.


Естественный способ

Пусть некоторая точка М (рис. 1) движется по криволинейной траектории АВ. Траекторией точки называется линия, которую описывает точка при своем движении.


Чтобы определить движение этой точки, задать одну лишь траекторию недостаточно, нужно знать еще положение точки на траектории в любой момент времени. Для этого выберем на траектории какую-либо произвольную точку О за начало отсчета и установим положительный (+) и отрицательный (–) отсчет расстояний на траектории. Положение точки М на траектории в любой момент определится ее расстоянием = S от начала отсчета О. Расстояние = S от начала отсчета называется дуговой координатой. С течением времени точка будет занимать на траектории различные положения, и, следовательно, ее расстояние = S будет меняться с течением времени, т.е. S представляет некоторую однозначную функцию времени:

S = f(t). (1)

Равенство (1) называется законом движения точки по траектории.



Вывод. Таким образом, при естественном способе движение точки задается:

  1. траекторией точки;

  2. началом отсчета на траектории;

  3. законом движения точки по траектории.

Примечание. Не следует путать координату S с длиной пути П, пройденного точкой за соответствующий промежуток времени. Координата S может с течением времени и уменьшаться, и увеличиваться, а путь П только увеличиваться.
Координатный способ

Естественный способ нагляден, но траектория точки не всегда известна. Именно поэтому наиболее удобен координатный способ.

Рассмотрим движение точки М относительно неподвижной прямоугольной системы отсчета. Положение точки М (рис. 2) в этой системе в любой момент времени вполне определится тремя координатами ее x, y, z. С течением времени координаты точки меняются, так как точка движется в этой системе отсчета. Следовательно, x, y, z представляют собой некоторые однозначные функции аргумента t:

. (2)

Уравнения системы (2) называются уравнениями движения точки в декартовых координатах и определяют положение точки. Если точка движется в плоскости, то, взяв эту плоскость за плоскость OXY (рис. 3), получим два уравнения:



. (3)

Если же точка движется по прямой, то, приняв эту прямую за ось OX (рис.4), получим одно уравнение движения:



x = f1(t). (4)

В случае прямолинейного движения координатный способ совпадает с естественным способом задания движения точки, уравнение (4) является также и законом движения точки, так как дуговая координата S совпадает с абциссой x точки.

Уравнения (2) и (3) можно рассмотреть как уравнения траектории точки в параметрической форме, где параметром служит время t. Для получения уравнения траектории в обычном виде, как зависимости, связывающей координаты точки, следует из уравнений движения (2) и (3) исключить переменную t — время. Тогда в случае пространственного движения точки ее траектория выразится совокупностью двух уравнений вида

φ1 (x,y,z) = 0; φ2 (x,y,z) = 0,

а в случае плоского движения траектория выразится одним уравнением вида



φ (x,y) = 0.

Математический смысл исключения t: чтобы найти линию пересечения двух поверхностей, заданных системами (2) и (3), нужно решить их совместно.

Траекторию точки можно найти и графически, построив по заданным уравнениям движения точки ряд ее последовательных положений и соединив их плавной кривой.

Вывод. Таким образом, при координатном способе движение точки вполне определяется ее уравнениями движения.

Пример. По заданным уравнениям движения точки найти ее траекторию. Исследовать движение точки.

Движение точки задано координатным способом:



.

Чтобы найти траекторию, нужно исключить из приведенных выше уравнений переменную t. Для этого преобразуем их:



,

возведем в квадрат и сложим:



x2 + (y – 3)2 = 25 — окружность радиусом = 5 см (рис. 5) с центром в точке О1 (О,3). Построим ее. Исследуем движение точки. Прежде всего, выясним, вся ли окружность будет траекторией или только часть ее. Для этого нужно выяснить область изменения координат точки х, у.

х, у — это ограниченные функции sin и cos, поэтому

; ; .

Через точки х = 5 и х = – 5 проводим прямые параллельно оси ОY, а через точки оси у = – 2 и у = 8 — параллельно оси ОХ. Вся окружность лежит в нашей области определения, траекторией точки будет вся окружность. Теперь найдем положение точки в начальный момент М0 при t0 = 0:



; M0 (5;3).

Определим направление движения точки по траектории. При возрастании t х убывает, у возрастает в начале движения. Следовательно, точка движется по окружности в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Движение точки полностью исследовано. Мы выяснили, что заданная точка движется по всей окружности, описывая ее в направлении, противоположном ходу часовой стрелки.

Переходим к третьему способу задания движения точки.


Векторный способ

Рассмотрим движение точки М (рис. 6) относительно неподвижной прямоугольной системы координат. Положение точки М относительно выбранной системы отсчета вполне определяется ее радиус-вектором = . Точка движется, в различные моменты времени она занимает в системе отсчета различные положения, которые будут соответственно определяться различными значениями вектора , т.е. можно представить как векторную функцию времени:

. (5)

Уравнение (5) называют законом движения точки в векторной форме.




Переход от координатного к векторному способу задания движения точки и обратно

От координатного способа легко можно перейти к векторному и обратно от векторного к координатному. Так как проекции радиус-вектора на оси x, y, zrх, rу, rz равны координатам точки x, y, z, т.е. rх = x, rу = y, rz = z, то всегда можно выразить через координаты:



или , (6)

где i, j, k — орты прямоугольной системы.

Из формулы (6) видно, что если известны в каждый момент x, y, z, то известен . Следовательно, задание векторной функции равносильно заданию трех скалярных функций x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t).

Векторный способ используется обычно при доказательстве теорем кинематики и динамики. При решении задач кинематики пользуются координатным и естественным способами.

Рассмотрим еще один пример. Кривошип ОА = 0,8 м вращается так, что угол φ изменяется по закону φ = 10t; длина шатуна АВ = ОА. Найти траекторию средней точки М шатуна, а также движение ползуна В.

Уравнения движения точек М и В не заданы. Их нужно составить самим, используя данные задачи. Выберем неподвижную систему отсчета ОХY (рис. 7) и определим координаты точек М и В функциями времени. Так как функцией времени является угол φ = 10t, то через него и выразим координаты xМ, yМ, xВ:



;

Это уравнения движения точки М.

Теперь найдем траекторию точки М. Для этого из уравнений движения исключим переменную t:

;

——————


— эллипс.

Траекторией точки М является эллипс, центр его в начале координат О, полуоси: а = 120; в = 40. Теперь перейдем к точке В. Ее траектория известна, она все время движется по оси ОХ, значит, для нее уВ = 0 и нужно отыскать только хВ:



хB = 2‡ОК = 2‡ОА cosφ, т.е. хB = 160 cos10 t (м) уравнение или закон движения точки В.

Задача решена.


Контрольные вопросы

№1

Точка М движется по окружности радиусом R с центром С (О;а). Положение точки определяется углом, изменяющимся по закону φ =2t (рис. 8).



Задать движение точки координатным способом (время t в секундах).

1. x = R cos 2t; y = a + R sin 2t.

2. O1M = S = 2tR.

3. = R sin 2t + R cos 2t .


№2

Точка М движется по окружности радиусом R с центром С (О; а). Положение точки измеряется углом, изменяющимся по закону φ = 2t (рис. 9).

Задать движение точки естественным способом (время t в секундах).

1. = R cos 2t + (R sin 2t+a) .

2. x = R cos 2t; y=a+R sin 2t.

3. S = O1M = 2tR..


№3

Составить уравнение движения точки Д, если линейка ВС остается все время перпендикулярной стержню ОА (рис. 10), φ = kt; ВС = 2а.

1. хД = а sin 2kt cos kt; уД = а sin 2kt sin kt.

2. Нет верного ответа.

3. хД = а cos kt; уД = а sin kt.
№4

По заданному в векторной форме уравнению движения точки определить его траекторию:



= 6 cos2t + t .

1. х = 6 cos 2у; z = 0.

2. у = 6 cos 2z; х = 0.

3. у = 6 cos 2z; х = 0; – ∞ ≤ z < + ∞.

4. у = 6 cos 2z; х = 0; 0 ≤ z < ∞.
№5

Какой будет траектория точки, если ее уравнения движения таковы:



x = a cos2 t; y = a sin2 t?

  1. Прямая х + у = а (отрезок ее).

  2. Окружность х2 + у2 = а2 (часть ее).

  3. Эллипс (часть его).

№6

Движение точки задано: x = 2t; y = 12t2. Траекторией ее является часть



  1. прямой;

  2. параболы;

  3. окружности.

№7

Точка М движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ = 10t рад.



Задать движение точки естественным способом:

1. .

2. S = O1M = 40t (м).

3. = 4 cos 10t + 4 sin 10t .


№8

В механизме эллипсографа ползуны А и В соединены стержнем АВ и движутся при вращении кривошипа ОС по взаимно перпендикулярным направляющим ОХ и ОY (рис. 12). Составить уравнение движения ползунов А и В, если угол φ = 3t:

1. xA = 2 l sin 3t; yB = 2 l cos 3t.

2. xA = yB = 2 l cos 3t.

3. xA = yB =2 l sin 3t.

4. xA = 2 l cos 3t; yB = 2 l sin 3t.


№9

Точка М (рис. 13) движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ = 10t рад.

Задать движение точки координатным способом (время t в секундах):

1. O1M = S = R φ = 40t (м).

2. xM = 4 cos 10t (м); yM = 4 sin 10t (м).

3. = 4 cos 10t + 4 sin 10t .


№10


Найти закон движения стержня, если диаметр эксцентрика d = 2r, а ось вращения О (рис. 14) находится от оси диска С на расстоянии ОС = а, ось ОХ направлена по стержню, начало отсчета — на оси вращения (φ = kt).

1. x = a sin kt + ; y = 0.

2. x = a cos kt; y = a sin kt.

3. x = a cos kt + ; y = 0.

Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ВЕКТОРА.

СКОРОСТЬ ТОЧКИ
Переменный вектор — это вектор, меняющийся с течением времени как по величине, так и по направлению. Например, радиус-вектор точки . Рассмотрим, как дифференцировать переменный вектор.

Пусть имеем переменный вектор ā, изменяющийся (по величине и направлению) с течением времени по определенному закону ā = (t) — векторная функция времени. Пусть в моменты t0, t1, t2,… ā имеет значения ā0, ā1, ā2,…. Поместим начало всех векторов в одну точку О (рис. 15). Соединим их концы А, А1, А2,плавной линией, называемой годографом.



Определение. Линия, описанная концом переменного вектора, начало которого находится в неподвижной точке, называется годографом этого переменного вектора. Например, годографом радиус-вектора является траектория точки.

Рассмотрим теперь два каких-либо близких момента времени: t0 и t1 = t0 + t, где t — малый промежуток времени. В начальный момент t0 вектор имел значение ā = , в момент t1  ā1 = 1. Соединив точки А и А1, получим OAA1; ā1 = ā  1 или 1 = ā1 ā = ā, следовательно, 1 = ā является приращением вектора ā за промежуток времени t. Разделив ā на t, получим новый вектор , отличающийся от ā лишь скалярным множителем , совпадающим по направлению с ā. Будем уменьшать промежуток t, перейдем к пределу. В пределе вектор займет положение вектора . Так как при A1A и t→0 секущая АВ превратится в касательную, то вектор , являющийся предельным положением вектора , будет направлен по касательной к годографу вектора ā. Это и будет искомый вектор: .

Следовательно, производная от переменного вектора по времени есть предел отношения приращения переменного вектора за промежуток времени t к этому промежутку при t→0. Видно, что операция векторного дифференцирования аналогична дифференцированию скалярной функции, но производная от переменного вектора по времени — новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора.
Частный случай. Дифференцирование единичного вектора

Рассмотрим единичный вектор ā0 ==1, меняющийся в плоскости. Его годографом будет окружность радиусом R = ā0 = 1 (рис. 16).

Пусть ā0 и ā0′ два близких положения этого вектора, соответствующих моментам t и t + t, за промежуток времени t вектор ā0 повернется на угол φ и получит приращение ā0. Известно, что искомая величина — это новый вектор , направленный по касательной к годографу ā, то есть к окружности. Теперь найдем его величину:

,

где S = ; S = φ R; R = ā0 = 1 — радиус окружности; φ — угол поворота; S — дуга, соответствующая φ (S > 0).

Введем единичный вектор касательной . Тогда вектор , направленный тоже по касательной, можно представить в виде произведения его модуля и единичного вектора :

. (2)

Вывод. Производная единичного вектора перпендикулярна этому вектору, направлена в сторону увеличения угла поворота и равна производной от угла поворота вектора по времени.

Примечание. Дифференцирование векторов подчиняется теоремам и правилам дифференциального исчисления.


Скорость точки
Важным параметром, характеризующим движение, является скорость перемещения точки.

Определение. Скорость точки есть вектор, характеризующий быстроту и направление движения.

Выясним, как определяется этот вектор при каждом известном способе задания движения. Начнем с естественного способа.


1. Определение скорости при естественном способе задания движения

Пусть некоторая точка М (рис. 17) описывает криволинейную траекторию, двигаясь по ней по закону S = f(t), S = — дуговая координата этой точки, соответствующая моменту времени t, a S1 = 1 — дуговая координата, соответствующая моменту времени t1 = t + t тогда = 1 = S1 S = S приращение дуговой координаты за бесконечно малый промежуток t. Соединим М с М1 и установим направление на отрезке ММ1 от М к М1. Вектор 1, начало которого совпадает с положением точки М в начале данного промежутка, а конец — с ее положением М1 в конце этого промежутка, называется перемещением точки за данный промежуток времени t.

Построим новый вектор

=  /t, назовем его средней скоростью:

= = /t.

Чем меньше t, тем точнее средняя скорость представит быстроту перемещения. Поэтому будем уменьшать t, точка М1 будет приближаться к М, перейдем к пределу. В пределе вектор , направленный по секущей, займет положение касательной к траектории в точке М. Это предельное положение вектора = обозначим через .Он и определит истинную мгновенную скорость точки или скорость точки в данный момент времени = .



Определение. Предел средней скорости при t→0 называется истинной скоростью точки или скоростью точки в данный момент времени t.

Итак, .

Направление вектора = известно, найдем его величину:

; ,

так как — хорда, стягивающая дугу S, предполагая S  0,



; (3)

. (4)

Вывод. При естественном способе задания движения скорость точки определится первой производной от дуговой координаты по времени = . Направлен вектор скорости по касательной, проведенной в данной точке траектории в сторону движения точки.

Примечания.

1. Если производная положительна в данный момент времени, то скорость точки в этот момент времени направлена в сторону возрастания дуговой координаты, если отрицательна — в сторону убывания.

2. Так как движущаяся точка может изменять направление движения по траектории, то путь П, пройденный точкой за промежуток времени (0; t), определяется как сумма длин дуг отдельных участков, на каждом из которых скорость сохраняет свой знак.

Следовательно, П = S1 S0 + S2 S1 ++ S Sn,

где S1, S2,…, Sn — значения дуговой координаты в моменты t1, t2,…, tn, в которые скорость v изменяет свой знак.

3. Точкой, поставленной над какой-либо величиной, будем обозначать производную по времени от этой величины, двумя точками — вторую производную от этой величины. Такое обозначение производных по времени ввел впервые Ньютон.
Пример. Точка движется по окружности радиусом 30 м по закону ОМ = 40π cos πt /3 (S — в метрах, t — в секундах). Определить скорость точки в момент t = 2 с. За начало отсчета взята точка О, положительный отсчет дуговых координат — против хода часовой стрелки.

Найдем значение дуговой координаты в момент t1 = 2 с:



ОМ1 = S1 = π 40 cos 2π/3 = 40 π (–1/2) = –20 π.

Определим угол φ1 (рис. 18), соответствующий данной дуге S = φ R: φ = S1/R = 20π/30 = 2π/3, так как S < 0, то отсчитаем ОМ1 по часовой стрелке.

Вычислим скорость. Ее величина в момент t:

; = – 40π sin t;

в момент t1 = 2 с: v1 = |t1 = – 40π sin2π/3 =

= – 40π /2 = – 20π м/с.

Знак минус говорит о том, что точка движется в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.


2. Определение скорости точки при векторном способе задания ее движения

Пусть движение точки М (рис. 19) задано векторным способом: , положение точки в момент t определено радиус-вектором , в момент t = t + t радиус-вектором 1. Тогда — есть приращение радиус-вектора за промежуток времени t. Построим вектор . Так как годографом радиус-вектора является траектория точки М, то производная будет (по определению производной от переменного вектора) новый вектор, направленный по касательной к годографу радиус-вектора , то есть к траектории точки. Теперь найдем модуль вектора :



где S = .

Сравнивая вектор с вектором , определенным выше естественным способом, приходим к выводу о том, что скорость точки при векторном способе находят как производную от радиус-вектора по времени.

Итак, = = ;

= . (5)
3. Определение скорости точки при координатном способе задания ее движения
Пусть движение точки задано координатным способом:

.

Чтобы найти скорость с помощью этих уравнений, воспользуемся разложением радиус-вектора (рис. 20) по неподвижным осям координат и определением скорости при векторном способе задания = .

Так как x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t); = const;

= const; = const; то

.

Мы уже условились производные по времени обозначать точкой над этой величиной, поэтому ; ; , тогда



. (6)

Полученное равенство есть разложение вектора по неподвижным осям, следовательно, коэффициенты при ортах в нем будут не что иное, как проекции вектора на неподвижные оси:



{ vx; vy; vz}; vx = ; vy = ; vz = .

Зная проекции вектора на оси, нетрудно найти величину и направление его:



, (7)

cosα = vx/v = /v; cosβ = /v; cosγ = /v.
Частный случай

Плоские движения точки: ; (8)



cosα = /v; cosβ = /v.

Прямолинейное движение: . (9)



Переход от координатного способа задания движения точки

к естественному
Пусть движение точки задано координатным способом:

.

От координатного способа можно перейти к естественному, т.е. определить траекторию и закон движения точки.

Мы уже знаем, как найти траекторию: нужно из заданных уравнений движения исключить переменную t. Затем найти закон движения. Для этого воспользуемся определением скорости при естественном способе, как dS/dt, а скорость с помощью уравнения движения мы знаем как найти: = v(t).

Зная v, представим ее в виде v = dS/dt, разделим переменные и найдем S.



dS = v(t) dt; ; ;

(10)

— закон движения точки.

Так с помощью уравнений движения нашли траекторию и закон движения точки.

Равномерное движение
Определение. Равномерным движением точки называется такое движение, при котором точка за любых два равных промежутка времени проходит равные отрезки пути.

Так за промежуток времени t1, точка прошла путь S1, за t2 = t1S2 = S1.

Тогда скорость vcр = S1/t1 = S2/t2 = const; v = vcр = const, но v = , тогда dS = v dt .

Можно найти закон равномерного движения:



(v = const);

S = S0 + v t (11)

— закон равномерного движения.

Построим график равномерного движения. Это прямая линия. Видно (рис. 21), что t1 = t2; S1 = S2.
Контрольные вопросы
№11

Точка движется вдоль траектории согласно закону S = 5 + 6 t + t3 м.

Определить дуговую координату точки, если скорость точки равна 9 м/с.


  1. S = (9 + 5) м.

  2. Нет верного ответа.

  3. S = 12 м.

  4. S = 7 м.

№12


Точка движется вдоль траектории S = t2/2 – 4 t + 6 м.

Вычислить скорость точки к моменту времени, когда она пройдет путь 10,5 м от начального положения.



  1. v = 5 м/с.

  2. v = м/с.

  3. v = – м/с.

  4. v = м/с.

№13

Точка движется вдоль траектории S = 3tt2/2 – 3 м.

Определить положение и путь, пройденный точкой, когда модуль скорости точки достигает минимальной величины.


  1. S = 1,5 м; П = 4,5 м.

  2. Задача не имеет решения, так как нет такого положения точки на траектории, где бы скорость точки достигала минимальной величины.

  3. S = 1,5 м; П = –1,5 м.

  4. S = 1,5 м; П = 1,5 м.

№14


Oпределить закон движения точки вдоль траектории, если даны уравнения ее движения в декартовых координатах: x = et cos t ; y = et sin t; z = et.

  1. S = (et – 1).

  2. S = (et – 1).

  3. S = et .

  4. S = (et + 1).

№15


Найти на какую длину опускается стержень, опирающийся своим концом о круговой контур радиусом r = 0,3 м кулака, движущегося поступательно со скоростью v = 0,05 м/с (рис. 22). Время опускания стержня t = 3 с. В начальный момент стержень находится в наивысшем положении.


  1. h = 0,26 м.

  2. Нет верного ответа.

  3. h = 0,15 м.

  4. h = 0,04 м.

№16


Определить модуль скорости точки по заданному в векторной форме ее уравнению движения: = sin t3 + cos t3 .

  1. = 0.

  2. = 3t2 м/с.

  3. = 1 м/с.

№17


Начальное положение точки задано координатами x0 = 2 м, y0 = 0. Точка движется так, что проекция вектора скорости точки на ось ОХ постоянна и равна vx = 2 м/с, а проекция на ось ОY меняется по закону vy = (– 4πt/3) cos πt2/3.

Определить положение точки в момент времени t = t1 = 2 с.



  1. Нет правильного ответа.

  2. х = 4 м; y = 4 м.

  3. х = 6 м; y = – 4 м.

  4. х = 6 м; y = м.

№18


Движение точки задано уравнениями: x = t м; y = sin t2 м.

Определить величину скорости точки в ее наивысшем положении на траектории.





  1. v = 0.

  2. Задача не имеет решения.

  3. v = 1 м/с.

  4. Нет верного ответа.

№19


Точка М (рис. 23) движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ = 10t рад.

Найти скорость точки по модулю.



  1. v = 4 м/с.

  2. v = 40 м/с.

  3. v = 60 м/с.

№20


Вычислить расстояние П, пройденное точкой за 3 с, если скорость ее задана уравнением v = t2 – 3t + 2 м/с.

1. П = 6 м.

2. П = 1,5 м.

3. П = м.

Тема 3. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
Движение точки с неизменной по величине и направлению скоростью (прямолинейное равномерное) встречается на практике сравнительно редко. В большинстве случаев скорость точки при движении изменяется.

Определение. Величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости как по модулю, так и по направлению, называется ускорением.

Выясним, что такое ускорение.

Пусть точка, движущаяся по некоторой криволинейной траектории АВ (рис. 24), занимает в момент времени t положение М, в момент t1 = t + t — положение М1. Обозначим скорости точки в эти моменты через и 1.

Перенесем начало вектора 1 в точку М и соединив концы и 1, получим треугольник, достроим его до параллелограмма. Тогда представит собой вектор, равный разности 1 = .  = называется приращением вектора скорости за промежуток времени t. Построим теперь новый вектор /t.Назовем его средним ускорением = /t = . Вектор отличается от скалярным множителем 1/t. Следовательно, его направление совпадает с направлением . Будем уменьшать промежуток t. При t→0 будет стремиться к некоторому определенному пределу, который называется истинным ускорением точки или ускорением в данный момент времени — :



;

. (1)

Определение. Ускорение точки в данный момент времени есть вектор , равный производной от вектора скорости по времени. Вектор ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории, что следует из геометрического построения его.

Действительно,



.

направлен в сторону вогнутости.

Построим годограф вектора скорости. Известно, что производная от переменного вектора по времени есть новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора. Следовательно, вектор определится в каждый момент как вектор, направленный по касательной к годографу вектора скорости (рис. 25), подобно тому, как вектор направлен по касательной к годографу . Но положение относительно траектории не находят так просто, как . Ни модуль, ни направление из формулы определить непосредственно нельзя. Способы определения теперь и рассмотрим.

В зависимости от того, каким способом задано движение точки, ускорение ее отыскивается по-разному.

Чтобы не нарушать принятого порядка, начнем снова с естественного способа задания движения точки.




  1. Определение ускорения точки при естественном способе

Ускорение точки при естественном способе отыскивается по его проекциям на естественные оси координат. Рассмотрим, что это за система координат, и чем она отличается от неподвижной системы координат.


Естественная система координат

Траектория точки, в общем случае, представляет собой кривую, не лежащую в одной плоскости.

Проведем через точку М (рис. 26), движение которой мы рассматриваем в данный момент, касательную к траектории Мτ и будем определять положительное направление касательной единичным вектором = 1, направленным по касательной в сторону возрастания дуговой координаты S. Вектор — единичный орт касательной. Возьмем на траектории вторую точку М, близкую к точке М, и построим единичный вектор касательной . Перенесем вектор параллельно самому себе в точку М и проведем плоскость через два пересекающихся вектора и . Затем точку М будем неограниченно приближать к точке М.

Тогда плоскость, определяемая векторами и , будет поворачиваться около прямой τ0, стремясь к некоторому предельному положению. Это предельное положение плоскости М определяет соприкасающуюся плоскость траектории в точке М. Далее проведем через точку М плоскость, перпендикулярную касательной ; эта плоскость называется нормальной плоскостью траектории в точке М. Всякая прямая, проведенная через точку М в нормальной плоскости, будет перпендикулярна М и называется нормалью. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью траектории в точке М. За положительное направление главной нормали принимается направление от точки М в сторону вогнутости траектории. Единичный вектор (орт) главной нормали обозначим .

Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Единичный вектор бинормали (орт) , его направление выбирается так, чтобы ; ; образовали правую систему осей, т.е. = .

Плоскость, проходящая через и , называется спрямляющей плоскостью.

Полученные три плоскости — соприкасающаяся, нормальная, спрямляющая — образуют так называемый естественный трехгранник, а три оси, направленные по ребрам этого трехгранника, — касательная, нормальная, бинормальная, — имеющие начало в точке М, и называются естественными осями. Эта новая система координатных осей будет двигаться по траектории вместе с точкой М, поэтому положение этой системы в пространстве будет меняться с течением времени. Этим новая система отличается от прежней неподвижной системы отсчета.

Введем еще одно новое понятие — кривизна кривой, радиус кривизны.

Пусть мы имеем некоторую кривую. Возьмем на ней две близкие точки А и В (рис. 27), длину дуги обозначим через S. Проведем в точках А и В касательные к данной кривой. Угол, обозначенный этими касательными, называется углом смежности, измеряется он в радианах, обозначается φ. Отношение φ/S называется средней кривизной кривой на участке АВ. Будем приближать В к А. Предел, к которому стремится средняя кривизна при S → 0, называется кривизной данной кривой в точке A: ;

. (2)

Кривизна кривой не постоянна и меняется от точки к точке. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны и обозначается через ρ:



ρ = 1/ k = dS/d;

ρ = 1/k. (3)

Если отложить на главной нормали к траектории от точки в сторону вогнутости отрезок, равный радиусу кривизны траектории в данной точке, то можно определить центр кривизны траектории.

Например, если траекторией точки является окружность радиусом R (рис. 28), отложив на ней две точки M, M1 и проведя в них касательные, найдем угол смежности φ, который будет равен углу MOM1, но = S и S = R φ и, следовательно, ρ = R, т.к. . Таким образом, окружность — это кривая постоянной кривизны, радиус кривизны ее равен радиусу самой окружности, и если от точки M отложить в сторону вогнутости отрезок, равный ρ (MO = ρ), то найдем центр кривизны этой кривой, т.е. центр окружности — точку O.

Для прямой линии φ = 0 и k = 0;


ρ = 1/ k = ∞.

Теперь найдем ускорение. Для этого рассмотрим движение точки M. Проведем с началом в точке M (рис. 29) оси естественного трехгранника. Нужно найти проекции ускорения точки на эти оси. Представим вектор скорости в виде произведения его модуля v и единичного вектора : v .

Вектор ā есть d /dt, поэтому возьмем от производную по времени:

.

Найдем d /dt по определению производной от единичного вектора, это будет вектор, перпендикулярный вектору и равный dφ/dt, где dφ — угол, образованный и , т.е. угол смежности. Он же будет углом поворота единичного вектора за время t. Следовательно,



,

где dS = . Этот вектор будет направлен по главной нормали, потому что он должен быть перпендикулярным и лежать в соприкасающейся плоскости. О том, что d /dt находится в соприкасающейся плоскости видно из уравнения



по определению производной от переменного вектора, но приращение за t: = лежит в пределе в соприкасающейся плоскости, значит d /dt лежит в ней же.

Подставив значение d /dt, получим

. (4)

Это есть разложение вектора ускорения по подвижным осям и, следовательно, коэффициенты при ортах — ; ; определяют проекции ускорения на эти оси: aτ = dv/dt; an = v2/ρ; ab = 0.

Зная проекции вектора на оси, найдем величину и направление его:

; (5)

tg ψ = aτ/an. (6)

Вектор ā можно представить как сумму двух векторов: (d /dt) = āτ; (v2/ρ) = ān, называемых касательным и нормальным ускорениями (рис. 30): āτ направлен по касательной, об этом говорит и равен dv/dt; ān направлен по нормали, об этом говорит и равен v2/ρ, так как āτ перпендикулярен ān, ā = āτ + ān. По модулю

, приходим к тому же результату. Оба вектора āτ, ān и их сумма ā лежат в соприкасающейся плоскости.

Вывод. Итак, если задано движение точки естественным способом, то ускорение ее отыскиваем по проекциям на естественные оси координат:

aτ = dv/dt; но v = dS /dt = ; aτ = d2S /dt2 = .

Зная скорость и радиус кривизны (траектория и закон движения вам известны), находим an = v2/ρ и ; tg ψ = aτ/an.

Теперь перейдем к векторному способу.


  1. Определение ускорения точки при векторном способе

Если известны , и ā = d /dt , то учитывая, что = d / dt, получаем



ā = d2r/dt2 = .

Вывод. Вектор ускорения определяется второй производной от радиус-вектора по времени. Эту формулу мы будем применять при доказательстве теорем кинематики и динамики. Пользуясь ею, определим ускорение точки при координатном способе.


  1. Ускорение точки при координатном способе

Ускорение при координатном способе определяем по его проекциям на неподвижные оси координат.

Пусть движение точки задано координатным способом:

x = f1(t); y= f2(t); z= f3(t).

Запишем разложение вектора по неподвижным осям: и дважды продифференцируем это равенство:



; ;

. (7)

Это равенство есть ни что иное, как разложение вектора ускорения по неподвижным осям координат. Коэффициенты при ортах ; ; определяют проекции на неподвижные оси: ax = ; ay = ; az = .

Зная проекции вектора на оси, найдем его величину и направление:

; (8)

cos α = ax /a = /a; cos β = /a; cos γ = /a.

При плоском движении точки ; (9)

cos α = /a; cos β = /a.

При прямолинейном a = ax = . (10)

Вывод. При координатном способе движения точки ускорение ее отыскиваем по его проекциям на неподвижные оси координат. Эти проекции равны вторым производным от координат движущейся точки по времени.
Нахождение an и aτ с помощью уравнений движения
Пусть нам даны уравнения движения точки:

x = f1(t); y= f2(t); z= f3(t).

Нужно найти an и aτ этой точки: an = v2/ρ; aτ = dv / dt.

Это соответственно касательное и нормальное ускорения точки.

Возьмем скорость точки по проекциям на неподвижные оси:



;

тогда . (11)

Теперь определим полное ускорение этой точки: и, зная, что , найдем ,

. (12)

Теперь можно найти ρ = v2/an.




Частные случаи движения точки

1. Ускоренное движение. Это движение, при котором абсолютная величина скорости с течением времени возрастает.

Проекции на касательную ось (рис. 31) ускорения и скорости при этом движении имеют одинаковый знак: aτ > 0; vτ > 0; (или aτ < 0; vτ < 0); ā = āτ + ān; угол ψ откладывается по движению, aτ направлен в сторону вектора скорости .

2. Замедленное движение. Это движение, при котором абсолютная величина скорости с течением времени убывает.

Проекции на касательную скорости и ускорения имеют разные знаки:

aτ < 0; vτ > 0 (aτ > 0; vτ < 0); āτ направлен в сторону, противоположную скорости (рис. 32), ā = āτ + ān; угол ψ откладывается против движения.

3. Равномерное движение. Это движение, при котором абсолютная величина скорости не изменяется (рис. 33).



aτ = 0,   = const; ā = ān; ψ = 0.

4. Прямолинейное движение точки.



ρ = ∞; an = 0; a = aτ = dv/dt; при v > 0:

а) a > 0 — ускоренное движение (или v < 0; a < 0) (рис. 34);

в) a < 0 — замедленное движение (или v < 0; a > 0) (рис. 35);

с) a = 0 — равномерное, = const (рис. 36).



Вывод. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю, нормальное — по направлению.
5. Равнопеременное движение. Это движение, при котором aτ = const. Оно может быть равноускоренным, если aτ > 0 (при v > 0), и равнозамедленным, если

aτ < 0 (при v > 0).

Найдем закон этого движения. Так как aτ = dv / dt, то



; v = v0 + aτ t;

v = v0 ± aτ t (13)

— закон изменения скорости.

Но v= dS /dt; dS /dt = v0 ± aτ t, то ; S S0 = v0 t ± ;

S = S0 + v0 t ± (14)

— закон равнопеременного движения точки, или при S0 = 0



S = v0 t ± = (2 v0 ± aτ t) = [v0 + (v0 ± aτ t)] = ;

S = (15)

— другой вид этого закона.




Контрольные вопросы
№21

Движение точки задано уравнениями: x = 10t ; y = 5t,

(x, y — в метрах, t — в секундах).

Определить расстояние, пройденное точкой за 5 с.



  1. S = a t2/ 2 = 253/2 = 37,5 м.

  2. S = vt = 155 = 75 м.

  3. Оба ответа не верны.

№22


Точка М движется по кривой по закону S = 6t2 м. Найти тот момент времени, когда v = 12 м/с составляет с ускорением угол α =30, и ускорение ее в этот момент равно:

1) a = 12 м/с2; t = 1 с.



  1. a = 8 м/с2, t = 1 с.

  2. a = 8 м/с2; t = с.

№23


Точка М движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ = 10t рад (рис. 37).

Найти ускорение точки.



  1. a = aτ = d2S /dt2.

  2. .

  3. a = v2/R.

  4. .

Укажите неверный ответ.
№24

Точка М движется по окружности радиусом r. Положение точки определяется углом φ = 2t. На каком чертеже ускорение этой точки указано верно (рис. 38–40).


№25

Точка движется ускоренно по прямой. Чему равно ее ускорение?



  1. a = v2/ρ.

  2. a = dv/dt.

  3. a = d2S/dt2.

  4. ā = d /dt.

Укажите неверный ответ.
№26

Точка движется по криволинейной траектории ускоренно. Чему равно ее ускорение?

1. a = dv/dt.

2. ā = d /dt.

3. a = v2/ρ.

4. a = d2S/dt2.


№27

Точка движется по закону S = a sin2 t.

Каким будет движение точки в момент t = π/3 с?


  1. Ускоренным.

  2. Равномерным.

  3. Замедленным.

№28


Точка М движется по окружности радиусом 1 м по закону S = t2 + 1 м.

Чему равно ее ускорение в момент t1 = 0,5 с?



  1. a = 2 м/с2.

  2. a = 1 м/с2.

  3. a = м/с2.

№29


Точка движется из состояния покоя с aτ = d = const по окружности радиусом r. В какой момент ее нормальное ускорение будет равно касательному?

  1. t = .

  2. t = .

  3. t = d r.

№30


Как движется точка, если касательное ускорение ее всегда равно нулю, а нормальное по модулю постоянно (a 0)?

  1. По прямой.

  2. По окружности ускоренно.

  3. По окружности равномерно.

№31


Движение точки задано уравнениями: x = a cos t2 c; y = a sin t2 c; z = a t2 c.

Определить характер движения точки.



  1. Ускоренно.

  2. Равноускоренно.

  3. Замедленно.

  4. Равномерно.

№32


Движение точки задано уравнениями:

Как направлен ā? Чему равен он?



  1. a = dv /dt; где .

  2. ā || OX; где .

  3. ; где .

№33


Какой угол составляет вектор ускорения с вектором скорости при замедленном криволинейном движении?

  1. Тупой.

  2. Острый.

  3. Прямой.

№34


Точка М движется по кривой по закону S = 2t3 м. Найти ее ускорение в тот момент, когда угол между скоростью и ускорением равен 45, а ρ = 24 м (кроме t = 0).

  1. a = 24 м/с2.

  2. a = 24 м/с2.

  3. a = 12t м/с2.

№35


Движение точки задано уравнениями: x = t + cos t (м); y = sin t (м).

Определить скорость точки в тот момент, когда радиус кривизны траектории достигает минимальной величины.



  1. v= м/с.

  2. v = 2 м/с.

  3. v = 0.

  4. Нет верного ответа.

Тема 4. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА



Простейшие виды движения твердого тела

следующая страница >>



Война — национальная индустрия Пруссии. Оноре Мирабо
ещё >>