7. малые колебания и устойчивость равновесия - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Самостоятельная работа «Колебания математического маятника и груза... 1 40.92kb.
Лабораторная работа №1 Техника лабораторных работ. Методы разделения... 1 204.29kb.
Колебания и динамическая устойчивость глубоководных нефтегазопроводов 1 232.86kb.
Лекция 14 Колебания системы с двумя степенями свободы 1 64.1kb.
Колебания и Волны 1 17.39kb.
Колебания виды колебаний. Гармонические колебания 2 422.72kb.
Электромагнитные колебания и волны 1 71.42kb.
«Механическое колебание и величины, характеризующие колебания» 1 86.77kb.
Информация о продукте 1 60.57kb.
Устойчивость экономических систем 1 306.03kb.
Развитие средств связи 1 65.81kb.
Рабочая программа дисциплины Аналитическая динамика и теория колебаний... 1 135.58kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

7. малые колебания и устойчивость равновесия - страница №1/1

7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
7.1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ


Встречающиеся в тематических структурах АПИМ названия тем заданий: малые колебания механической системы с одной степенью свободы (уравнения); уравнение малых колебаний (уравнения Лагранжа 2 рода); малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы (параметры).
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Определение положений равновесия

Для системы с одной степенью свободы положения равновесия необходимо искать из условия .

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы , где – обобщенный коэффициент инерции.

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы , где – обобщенный коэффициент жесткости.

Диссипативная функция

Диссипативная функция системы (функция Рэлея) , где – обобщенный коэффициент сопротивления.

Свободные колебания

Уравнение свободных колебаний (при отсутствии сопротивления) имеет вид , где – собственная частота колебаний системы, связанная с периодом колебаний соотношением .

Решение этого уравнения с учетом начальных условий имеет вид , или , где амплитуда колебаний, а начальная фаза.

График колебаний имеет вид обычной синусоиды (со сдвигом по времени).



Затухающие колебания

Уравнение затухающих колебаний (свободных колебаний при наличии сопротивления) имеет вид , где – коэффициент сопротивления. Решение этого уравнения зависит от величин параметров.

Случай малого сопротивления .

В этом случае общее решение имеет вид , где .

Движение, соответствующее полученному решению, представляет собой затухающие колебания, происходящие с круговой частотой и с периодом . График колебаний имеет две огибающие: и .

Отношение двух последовательных максимальных отклонений системы от положения равновесия называется декрементом колебаний, а величина логарифмическим декрементом колебаний.



Граничный случай .

В этом случае общее решение уравнения имеет вид , то есть движение не является колебательным, но остается затухающим. Такое движение называется апериодическим.



Случай большого сопротивления .

В этом случае общее решение уравнения имеет вид , где и отрицательны, а движение также является апериодическим.


ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Задание 7.1.1 ™ – выберите один вариант ответа

На рисунке изображен график движения механической колебательной системы с одной степенью свободы ( – обобщенная координата, – время).

Начальные условия , выбраны произвольно.

Дифференциальное уравнение движения этой системы .



Варианты ответов

™ ™

™ ™ .
Задание 7.1.2

На рисунке – схемы трёх механических систем с одной степенью свободы; – обобщенная координата; штриховая прямая соответствует положению равновесия . Рассеяние энергии при движении не учитывается.

После малого начального возмущения ,   будут двигаться согласно уравнению  (где и зависят от,  , а – постоянная) системы (указать номера).


Задание 7.1.3 ™ – выберите один вариант ответа

Механическая система совершает колебания описываемые законом . Дифференциальное уравнение движения этой системы имеет вид .



Варианты ответов

™ ™

™ ™ .
Задание 7.1.4

Колебательное движение груза, подвешенного к пружине, описывается дифференциальным уравнением . Коэффициент жесткости пружины равен . Масса подвешенного груза равна .


Задание 7.1.5

Статическая деформация пружины, к которой подвешен груз, равна . Ускорение земного притяжения принять равным .

Тогда колебательное движение груза описывается дифференциальным уравнением .

Задание 7.1.6

Выражение потенциальной энергии механической системы с одной степенью свободы имеет вид: . Значение обобщенной координаты в положении равновесия равно .


Задание 7.1.7

Консервативная механическая система с одной степенью свободы имеет устойчивое положение равновесия при значении обобщенной координаты  . Зная, что потенциальная энергия системы является квадратичной формой, а в положении равновесия ее значение равно , функция, определяющая потенциальную энергию, имеет вид



Варианты ответов

™ ™

™ ™ .

7.2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
(на занятиях не рассматривали)
Встречающиеся в тематических структурах АПИМ названия тем заданий: вынужденные колебания механических систем с одной степенью свободы (уравнения); вынужденные колебания механических систем с одной степенью свободы (с функцией Рэлея).
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Уравнения вынужденных колебаний

Колебания называются вынужденными, если в системе действует вынуждающая (возмущающая, возбуждающая) сила. Соответствующая обобщенная сила называется обобщенной вынуждающей силой.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы при наличии сопротивления имеет вид , или , где .

При отсутствии сопротивления уравнение вынужденных колебаний имеет вид , или .

В качестве выражения для вынуждающей силы рассматривается следующее: , где амплитуда вынуждающей силы, частота этой силы и – начальная фаза.

Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления

Частное решение уравнения вынужденных колебаний (чисто вынужденные колебания) , где амплитуда вынужденных колебаний.



Резонанс

При амплитуда стремится к бесконечности. Случай называется резонансом.



Вынужденные колебания при наличии сопротивления

Частное решение уравнения вынужденных колебаний (чисто вынужденные колебания) , где .


ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Задание 7.2.1 ™ – выберите один вариант ответа

Механическая система совершает вынужденные колебания. Собственная частота системы , частота вынуждающей силы . В случае отсутствия сопротивления дифференциальное уравнение движения этой системы имеет вид .



Варианты ответов

™ ™

™ ™ .
Задание 7.2.2 ™ – выберите один вариант ответа

Механическая система совершает вынужденные колебания. Кинетическая энергия системы , потенциальная энергия системы , функция Рэлея . Гармоническая возмущающая сила изменяется по закону . Дифференциальное уравнение движения этой системы имеет вид .



Варианты ответов

™ ™

™ ™ .
Задание 7.2.3 ™ – выберите один вариант ответа

На рисунке изображен график зависимости амплитуды установившихся вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы от частоты вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний этой системы имеет вид , где – обобщенная координата системы. Значение коэффициента .  

Варианты ответов

™ ™ ™ ™ .


7.3. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
(на занятии не рассматривали)

Встречающиеся в тематических структурах АПИМ названия тем заданий: малые колебания механической системы с несколькими степенями свободы (основные определения); малые колебания механической системы с несколькими степенями свободы (уравнения).

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Определение положений равновесия

Для консервативных механических систем с двумя степенями свободы, описываемой обобщенными координатами и , в положении равновесия: и , где – потенциальная энергия системы. Это система уравнений, решения которой определяют положения равновесия.



Свободные колебания

Рассматриваются малые колебания механической системы с двумя степенями свободы (обобщенные координаты и ) вблизи положения устойчивого равновесия: .



Кинетическая энергия

,

где – обобщенные коэффициенты инерции.



Потенциальная энергия

,

где – обобщенные коэффициенты жесткости (квазиупругие коэффициенты).



Уравнения колебаний и их решение

.

Решение этой системы уравнений отыскивается в форме гармонических колебаний: .

Из уравнений следует



.

Эта система уравнений может иметь ненулевое решение только в том случае, если ее определитель равен нулю:



,

что приводит к уравнению, которое называется уравнением частот:



.

Уравнение частот имеет вещественные положительные корни и . Величины и являются собственными частотами данной системы, а меньшая из них обычно называется основной частотой.

Каждому из значений и соответствует свое решение исходной системы уравнений, которые называются главными колебаниями.

Общее решение уравнений колебаний будет суммой главных колебаний:

,

где постоянные величины и называются коэффициентами формы или коэффициентами распределения:



; .

Постоянные и определяются из четырех начальных условий, заданных величинами и


ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Задание 7.3.1 ™ – выберите один вариант ответа

Коэффициенты  в выражении кинетической энергии в случае малых колебаний системы с двумя степенями свободы называются .



Варианты ответов

™ обобщенными инерциальными коэффициентами

™ квазиупругими коэффициентами

™ обобщенными диссипативными коэффициентами

™ коэффициентами распределения амплитуд

Задание 7.3.2 ™ – выберите один вариант ответа

Выражение потенциальной энергии механической системы с двумя степенями свободы имеет вид: . Значения обобщенных координат в положении равновесия равны .



Варианты ответов

™ ™

™ ™ .

Задание 7.3.3 ™ – выберите один вариант ответа

Дифференциальные уравнения свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы имеют вид



; .

Частотное уравнение для этой системы имеет вид.



Варианты ответов

™ ™

™ ™ .

7.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
(на занятиях коснулись кратко)

Встречающиеся в тематических структурах АПИМ названия тем заданий: критерий устойчивости равновесия консервативной механической системы (по обобщенной координате); критерий устойчивости равновесия консервативной механической системы (две переменные).
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Теорема Лагранжа – Дирихле

Если в положении равновесия консервативной механической системы потенциальная энергия имеет минимум, то это положение устойчиво.

Таким образом, если вторая производная от потенциальной энергии в положении равновесия , то такое положение устойчиво.



Критерий Сильвестра

Для механической системы с двумя степенями свободы в случае малых колебаний потенциальная энергия имеет вид



,

где – обобщенные коэффициенты жесткости.

Положение равновесия устойчиво, если и
ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Задание 7.4.1 ™ – выберите один вариант ответа

Для механической системы с одной степенью свободы зависимость потенциальной энергии от значений обобщенной координаты представлена на рисунке.

Устойчивым положением равновесия этой механической системы соответствуют значения обобщенной координаты .

Варианты ответов

™ ™ ™ и ™ .



Задание 7.4.2 ™ – выберите один вариант ответа

Для механической системы с двумя степенями свободы потенциальная энергия имеет вид .

Положение равновесия является .

Варианты ответов

™ неустойчивым ™ устойчивым ™ безразличным.












Политическое влияние как банковский счет: чем реже его используешь, тем больше у тебя остается. Эндрю Янг
ещё >>